Rovnostranný trojúhelník - Equilateral triangle
Rovnostranný trojúhelník | |
---|---|
![]() | |
Typ | Pravidelný mnohoúhelník |
Hrany a vrcholy | 3 |
Schläfliho symbol | {3} |
Coxeterův diagram | ![]() ![]() ![]() |
Skupina symetrie | D3 |
Plocha | |
Vnitřní úhel (stupňů ) | 60° |
v geometrie, an rovnostranný trojúhelník je trojúhelník ve kterém mají všechny tři strany stejnou délku. Ve známém Euklidovská geometrie, rovnostranný trojúhelník je také rovnoramenný; to znamená všechny tři vnitřní úhly jsou také shodný navzájem a jsou každý 60 °. Je to také a pravidelný mnohoúhelník, takže se také označuje jako a pravidelný trojúhelník.
Hlavní vlastnosti

Společnou délku stran rovnostranného trojúhelníku označíme jako , můžeme určit pomocí Pythagorova věta že:
- Tato oblast je ,
- Obvod je
- Poloměr opsaná kružnice je
- Poloměr vepsaný kruh je nebo
- Geometrický střed trojúhelníku je středem popsaných a zapsaných kruhů
- The nadmořská výška (výška) z kterékoli strany je
Označíme poloměr ohraničené kružnice jako R, můžeme určit pomocí trigonometrie že:
- Plocha trojúhelníku je
Mnoho z těchto veličin má jednoduchý vztah k nadmořské výšce ("h") každého vrcholu z opačné strany:
- Tato oblast je
- Výška středu z každé strany, nebo apothem, je
- Poloměr kruhu ohraničující tři vrcholy je
- Poloměr vepsané kružnice je
V rovnostranném trojúhelníku se nadmořské výšky, úhlové přímky, kolmé přímky a mediány na každé straně shodují.
Charakterizace
Trojúhelník ABC která má strany A, b, C, semiperimetr s, plocha T, exradii rA, rb, rC (tečna k A, b, C ) a kde R a r jsou poloměry obvod a incircle je rovnostranný kdyby a jen kdyby kterékoli z tvrzení v následujících devíti kategoriích je pravdivé. Jedná se tedy o vlastnosti, které jsou jedinečné pro rovnostranné trojúhelníky, a vědění, že některý z nich je pravdivý, přímo naznačuje, že máme rovnostranný trojúhelník.
Strany
Semiperimetr
Úhly
Plocha
Circumradius, inradius a exradii
Stejní cevians
Tři druhy cevians se shodují a jsou stejné pro (a pouze pro) rovnostranné trojúhelníky:[8]
- Strom nadmořské výšky mají stejnou délku.
- Strom mediány mají stejnou délku.
- Strom úhlové přímky mají stejnou délku.
Náhodné trojúhelníkové středy
Každý střed trojúhelníku rovnostranného trojúhelníku se shoduje s jeho těžiště, což znamená, že rovnostranný trojúhelník je jediným trojúhelníkem bez č Eulerova linie propojení některých center. U některých párů středů trojúhelníků stačí skutečnost, že se shodují, aby byla zajištěna rovnostrannost trojúhelníku. Zejména:
- Trojúhelník je rovnostranný, pokud existují dva z circumcenter, stimulant, těžiště, nebo ortocentrum shodovat se.[9]:str.37
- Rovněž je rovnostranný, pokud se jeho circumcenter shoduje s Nagel point, nebo pokud se jeho stimul shoduje s devítibodový střed.[7]
Šest trojúhelníků vytvořených rozdělením podle mediánů
Pro jakýkoli trojúhelník tři mediány rozdělte trojúhelník na šest menších trojúhelníků.
- Trojúhelník je rovnostranný právě tehdy, pokud jakékoli tři z menších trojúhelníků mají buď stejný obvod, nebo stejný inradius.[10]:Věta 1
- Trojúhelník je rovnostranný právě tehdy, mají-li oběžníky kterékoli ze tří menších trojúhelníků stejnou vzdálenost od těžiště.[10]:Důsledek 7
Body v rovině
- Trojúhelník je rovnostranný právě tehdy, když pro každý směřovat P v rovině, se vzdálenostmi str, q, a r na strany a vzdálenosti trojúhelníku X, y, a z k jeho vrcholům,[11]:str. 178, # 235.4
Pozoruhodné věty

1. | Jsou zobrazeny nejbližší vzdálenosti od bodu P ke stranám rovnostranného trojúhelníku ABC. |
2. | Řádky DE, FG a HI rovnoběžně s AB, BC a CA definují menší trojúhelníky PHE, PFI a PDG. |
3. | Jelikož jsou tyto trojúhelníky rovnostranné, lze jejich nadmořské výšky otáčet tak, aby byly svislé. |
4. | Protože PGCH je rovnoběžník, lze posunout nahoru trojúhelník PHE, aby se ukázalo, že nadmořské výšky odpovídají výšce trojúhelníku ABC. |
Morleyova věta o trisektoru uvádí, že v každém trojúhelníku jsou tři průsečíky sousedních úhlové trisektory tvoří rovnostranný trojúhelník.
Napoleonova věta uvádí, že pokud jsou rovnostranné trojúhelníky konstruovány po stranách libovolného trojúhelníku, buď celý ven, nebo dovnitř, středy těchto rovnostranných trojúhelníků samy o sobě tvoří rovnostranný trojúhelník.
Verze izoperimetrická nerovnost pro trojúhelníky uvádí, že trojúhelník největší plocha mezi všemi s daným obvod je rovnostranný.[12]
Vivianiho věta uvádí, že pro jakýkoli vnitřní bod P v rovnostranném trojúhelníku se vzdálenostmi d, E, a F ze stran a nadmořské výšky h,
nezávisle na umístění P.[13]
Pompeiuova věta uvádí, že pokud P je libovolný bod v rovině rovnostranného trojúhelníku ABC ale ne na jeho obvod, pak existuje trojúhelník se stranami délek PA, PB, a PC. To znamená, PA, PB, a PC uspokojit nerovnost trojúhelníku že součet jakýchkoli dvou z nich je větší než třetí. Li P je na circumcircle, pak součet dvou menších se rovná nejdelší a trojúhelník se zvrhl v linii, tento případ je známý jako Van Schootenova věta.
Další vlastnosti
Podle Eulerova nerovnost, má rovnostranný trojúhelník nejmenší poměr R/r z circumradius na inradius libovolného trojúhelníku: konkrétně R/r = 2.[14]:str. 198
Trojúhelník největší plochy ze všech zapsaných do daného kruhu je rovnostranný; a trojúhelník nejmenší plochy ze všech ohraničených kolem dané kružnice je rovnostranný.[15]
Poměr plochy incircle k oblasti rovnostranného trojúhelníku, , je větší než u jakéhokoli nerovnostranného trojúhelníku.[16]:Věta 4.1
Poměr plochy k čtverci obvodu rovnostranného trojúhelníku, je větší než u jiného trojúhelníku.[12]
Pokud segment rozděluje rovnostranný trojúhelník na dvě oblasti se stejnými obvody as oblastmi A1 a A2, pak[11]:str.151, # J26
Pokud je v trojúhelníku umístěn trojúhelník složité letadlo se složitými vrcholy z1, z2, a z3, pak pro kořen nerealistické krychle z 1 je trojúhelník rovnostranný právě tehdy[17]:Lemma 2
Daný bod P ve vnitřku rovnostranného trojúhelníku je poměr součtu jeho vzdáleností od vrcholů k součtu jeho vzdáleností od stran větší nebo roven 2, rovnost platí, když P je těžiště. V žádném jiném trojúhelníku není bod, pro který je tento poměr tak malý jako 2.[18] To je Erdős – Mordell nerovnost; jeho silnější varianta je Barrowova nerovnost, který nahradí svislé vzdálenosti do stran vzdálenostmi od P do bodů, kde úhlové přímky z ∠APB, ∠BPCa ∠CPA přes boky (A, B, a C jsou vrcholy).
Pro jakýkoli bod P v letadle, se vzdálenostmi str, q, a t z vrcholů A, B, a C respektive[19]
Pro jakýkoli bod P v rovině, se vzdálenostmi str, q, a t z vrcholů, [20]
a
kde R je ohraničený poloměr a L je vzdálenost mezi bodem P a těžiště rovnostranného trojúhelníku.
Pro jakýkoli bod P na vepsané kružnici rovnostranného trojúhelníku, se vzdálenostmi str, q, a t z vrcholů,[21]
a
Pro jakýkoli bod P na vedlejším oblouku BC v kruhu, se vzdálenostmi str, q, a t z A, B a C,[13]
a
navíc, pokud bod D na straně BC rozdělí PA na segmenty PD a DA, přičemž DA má délku z a PD mají délku y, pak [13]:172
což se také rovná -li t ≠ q; a
který je optická rovnice.
Je jich mnoho nerovnosti trojúhelníku které platí s rovností právě tehdy, když je trojúhelník rovnostranný.
Rovnostranný trojúhelník je nejvíce symetrický trojúhelník, který má 3 řádky odraz a rotační symetrie řádu 3 o jeho středu. Své skupina symetrie je dihedrální skupina řádu 6 D3.
Rovnostranné trojúhelníky jsou jediné trojúhelníky, jejichž Steiner inellipse je kruh (konkrétně se jedná o kruh).
Celočíselný rovnostranný trojúhelník je jediný trojúhelník s celočíselnými stranami a tři racionální úhly měřené ve stupních.[22]
Rovnostranný trojúhelník je jediný akutní trojúhelník, který je podobný jeho ortický trojúhelník (s vrcholy u nohou nadmořské výšky ) (dále jen sedmiúhelníkový trojúhelník jako jediný tupý).[23]:p. 19

Rovnostranné trojúhelníky se nacházejí v mnoha dalších geometrických konstrukcích. Průsečík kruhů, jejichž středy jsou od sebe vzdálené o poloměru, je dvojice rovnostranných oblouků, z nichž každý může být vepsán rovnostranným trojúhelníkem. Vytvářejí pravidelné a jednotné tváře mnohostěn. Tři z pěti Platonické pevné látky jsou složeny z rovnostranných trojúhelníků. Zejména pravidelný čtyřstěn má čtyři rovnostranné trojúhelníky pro plochy a lze jej považovat za trojrozměrný analog tvaru. Letadlo může být kachlová pomocí rovnostranných trojúhelníků dávajících trojúhelníkové obklady.
Geometrická konstrukce

Rovnostranný trojúhelník je snadno sestaven pomocí a pravítko a kompas, protože 3 je a Fermat prime. Nakreslete přímku a umístěte bod kompasu na jeden konec čáry a otočte oblouk z tohoto bodu do druhého bodu úsečky. Opakujte s druhou stranou linky. Nakonec spojte bod, kde se dva oblouky protínají s každým koncem úsečky
Alternativní metodou je nakreslení kružnice s poloměrem r, umístěte bod kompasu na kružnici a nakreslete další kružnici se stejným poloměrem. Tyto dva kruhy se protínají ve dvou bodech. Rovnostranný trojúhelník lze zkonstruovat tak, že vezmeme dva středy kruhů a jeden z průsečíků.
V obou metodách je vedlejším produktem tvorba vesica piscis.
Důkaz, že výsledný údaj je rovnostranný trojúhelník, je první tvrzení v knize I z Euklidova Elementy.

Odvození plošného vzorce
Vzorec oblasti pokud jde o délku strany A lze odvodit přímo pomocí Pythagorovy věty nebo pomocí trigonometrie.
Použití Pythagorovy věty
Plocha trojúhelníku je polovina jedné strany A násobek výšky h z té strany:
Nohy každého pravého trojúhelníku tvořené nadmořskou výškou rovnostranného trojúhelníku jsou polovinou základny Aa přepona je boční A rovnostranného trojúhelníku. Výšku rovnostranného trojúhelníku lze zjistit pomocí Pythagorova věta
aby
Střídání h do plošného vzorce (1/2)ah dává plošný vzorec pro rovnostranný trojúhelník:
Pomocí trigonometrie
Použitím trigonometrie, oblast trojúhelníku s libovolnými dvěma stranami A a ba úhel C mezi nimi je
Každý úhel rovnostranného trojúhelníku je 60 °
Sinus 60 ° je . Tím pádem
protože všechny strany rovnostranného trojúhelníku jsou stejné.
V kultuře a společnosti
Rovnostranné trojúhelníky se často objevují v konstrukcích vytvořených člověkem:
- Tvar se vyskytuje v moderní architektuře, jako je průřez Gateway Arch.[24]
- Jeho aplikace ve vlajkách a heraldice zahrnuje vlajka Nikaraguy[25] a vlajka Filipín.[26]
- Je to tvar různých dopravní značky, včetně znak výnosu.[27]
Viz také
Reference
- ^ Bencze, Mihály; Wu, Hui-Hua; Wu, Shan-He (2008). „Ekvivalentní forma nerovnosti základních trojúhelníků a její aplikace“ (PDF). Výzkumná skupina pro matematické nerovnosti a aplikace. 11 (1).
- ^ Dospinescu, G .; Lascu, M .; Pohoata, C .; Letiva, M. (2008). „Elementární důkaz Blundonovy nerovnosti“ (PDF). Žurnál nerovností v čisté a aplikované matematice. 9 (4).
- ^ Blundon, W. J. (1963). „O určitých polynomech spojených s trojúhelníkem“. Matematický časopis. 36 (4): 247–248. doi:10.2307/2687913.
- ^ A b Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2009). Když méně je více. Vizualizace základních nerovností. Mathematical Association of America. 71, 155.
- ^ A b Pohoata, Cosmin (2010). „Nový důkaz Eulerova inradia - cirkumradiová nerovnost“ (PDF). Gazeta Matematica Seria B (3): 121–123.
- ^ McLeman, Cam; Ismail, Andrei. „Weizenbockova nerovnost“. PlanetMath. Archivovány od originál dne 18. 2. 2012.
- ^ A b C Andreescu, Titu; Andrica, Dorian (2006). Komplexní čísla od A do ... Z. Birkhäuser. 70, 113–115.
- ^ Owen, Byer; Felix, Lazebnik; Deirdre, Smeltzer (2010). Metody pro euklidovskou geometrii. Mathematical Association of America. 36, 39.
- ^ Yiu, Paul (1998). „Poznámky k euklidovské geometrii“ (PDF).
- ^ A b Cerin, Zvonko (2004). „Trojúhelníky vrchol-střed-těžiště“ (PDF). Fórum Geometricorum. 4: 97–109.
- ^ A b „Nerovnosti navrhované v“ Crux Mathematicorum"" (PDF).
- ^ A b Chakerian, G. D. „Zkreslený pohled na geometrii.“ Ch. 7 palců Matematické švestky (R. Honsberger, redaktor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979: 147.
- ^ A b C Posamentier, Alfred S .; Salkind, Charles T. (1996). Náročné problémy v geometrii. Dover Publ.
- ^ Svrtan, Dragutin; Veljan, Darko (2012). „Neeuklidovské verze některých klasických trojúhelníkových nerovností“ (PDF). Fórum Geometricorum. 12: 197–209.
- ^ Dörrie, Heinrich (1965). 100 velkých problémů elementární matematiky. Dover Publ. 379–380.
- ^ Minda, D .; Phelps, S. (2008). "Trojúhelníky, elipsy a kubické polynomy". Americký matematický měsíčník. 115 (Říjen): 679–689. doi:10.1080/00029890.2008.11920581. JSTOR 27642581.
- ^ Dao, Thanh Oai (2015). „Rovnostranné trojúhelníky a Kiepertovy perspektivy ve složitých počtech“ (PDF). Fórum Geometricorum. 15: 105–114.
- ^ Lee, Hojoo (2001). „Další důkaz věty Erdős – Mordell“ (PDF). Fórum Geometricorum. 1: 7–8.
- ^ Gardner, Martin, „Elegant Triangles“, v knize Matematický cirkus1979, s. 65.
- ^ Meskhishvili, Mamuka, Cyklické průměry pravidelných polygonů
- ^ De, Prithwijit (2008). "Zvědavé vlastnosti circumcircle a incircle rovnostranného trojúhelníku" (PDF). Matematické spektrum. 41 (1): 32–35.
- ^ Conway, J. H. a Guy, R. K., "Jediný racionální trojúhelník", v Kniha čísel, 1996, Springer-Verlag, s. 201 a 228–239.
- ^ Leon Bankoff a Jack Garfunkel, „sedmiboký trojúhelník“, Matematický časopis 46 (1), leden 1973, 7–19.
- ^ Pelkonen, Eeva-Liisa; Albrecht, Donald, eds. (2006). Eero Saarinen: Tvarování budoucnosti. Yale University Press. str.160, 224, 226. ISBN 978-0972488129.
- ^ White, Steven F .; Calderón, Esthela (2008). Kultura a zvyky Nikaraguy. Greenwood Press. p.3. ISBN 978-0313339943.
- ^ Guillermo, Artemio R. (2012). Historický slovník na Filipínách. Strašák Press. p. 161. ISBN 978-0810872462.
- ^ Riley, Michael W .; Cochran, David J .; Ballard, John L. (prosinec 1982). "Vyšetřování preferovaných tvarů pro varovné štítky". Lidské faktory: The Journal of the Human Factors and Ergonomics Society. 24 (6): 737–742. doi:10.1177/001872088202400610.