Nagel point - Nagel point

Nagelův bod (modrý, N) trojúhelníku (černý). Červený trojúhelník je extouch trojúhelník a oranžové kruhy jsou excircles

v geometrie, Nagel point je střed trojúhelníku, jeden z bodů spojených s daným trojúhelník jehož definice nezávisí na umístění nebo měřítku trojúhelníku. Nagelův bod je pojmenován po Christian Heinrich von Nagel.

Konstrukce

Vzhledem k trojúhelníku ABC, nechť T_A, T_B, a T_C být extouchové body ve kterém A-excircle splňuje linku před naším letopočtem, B-excircle meets line CA, a C-excircle meets line AB, resp. Čáry NA_A, BT_B, CT_C souhlasit v Nagelově bodě N trojúhelníku ABC.

Další konstrukce bodu T_A je začít v A a sledovat kolem trojúhelníku ABC polovina jeho obvodu a podobně pro T_B a T_C. Kvůli této konstrukci je Nagelův bod někdy také nazýván půlený obvodový boda segmenty NA_A, BT_B, CT_C se nazývají trojúhelníky rozdělovače

Existuje snadná konstrukce bodu Nagel. Počínaje každým vrcholem trojúhelníku stačí nést dvojnásobnou délku protilehlé hrany. Získáváme tři linie, které se shodují v bodě Nagel.^[1]

Snadná konstrukce bodu Nagel

Vztah k jiným středům trojúhelníků

Bod Nagel je izotomický konjugát z Gergonne bod. Bod Nagel, těžiště a stimulant jsou kolineární na lince zvané Nagel linka. Motivátor je Nagelův bod mediální trojúhelník;^[2]^[3] ekvivalentně je bod Nagel stimulem protikomplementární trojúhelník.

Barycentrické souřadnice

Barycentrické souřadnice bodu Nagel jsou (Pozor: Normalizováno!) ${displaystyle (s-a: s-b: s-c)}$ kde ${displaystyle s = {frac {a + b + c} {2}}}$ je poloviční obvod referenčního trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ .

Trilineární souřadnice

The trilineární souřadnice bodu Nagel jsou^[4] tak jako

{displaystyle csc ^ {2} (A / 2),:, csc ^ {2} (B / 2),:, csc ^ {2} (C / 2)}

nebo ekvivalentně, pokud jde o délky stran A = |před naším letopočtem|, b = |CA| a C = |AB|,

{displaystyle {frac {b + c-a} {a}},:, {frac {c + a-b} {b}},:, {frac {a + b-c} {c}}.}

Dějiny

Nagelův bod je pojmenován po Christian Heinrich von Nagel, německý matematik z devatenáctého století, který o tom psal v roce 1836. Včasné příspěvky ke studiu tohoto bodu také poskytly August Leopold Crelle a Carl Gustav Jacob Jacobi.^[5]

Viz také

Reference

^ Dussau, Xavieri. „Základní konstrukce bodu Nagel“. HAL.
^ Anonymous (1896). „Problém 73“. Problémy s řešením: Geometrie. Americký matematický měsíčník. 3 (12): 329. doi:10.2307/2970994. JSTOR 2970994.
^ „Proč je Incenter Nagelův bod mediálního trojúhelníku?“. Polymatematika.
^ Gallatly, William (1913). Moderní geometrie trojúhelníku (2. vyd.). London: Hodgson. str. 20.
^ Baptist, Peter (1987). „Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt“. Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften. 71 (2): 230–233. PAN 0936136.

externí odkazy

Nagel Point z Cut-the-uzel
Nagel Point, Clark Kimberling
Weisstein, Eric W. „Nagel Point“. MathWorld.
Spieker Conic a zobecnění linie Nagel na Dynamické geometrické skici Zobecňuje Spiekerův kruh a související Nagelovu linii.

[1] Dussau, Xavieri. „Základní konstrukce bodu Nagel“. HAL.

[Anonymous-2] Anonymous (1896). „Problém 73“. Problémy s řešením: Geometrie. Americký matematický měsíčník. 3 (12): 329. doi:10.2307/2970994. JSTOR 2970994.

[3] „Proč je Incenter Nagelův bod mediálního trojúhelníku?“. Polymatematika.

[Gallatly-4] Gallatly, William (1913). Moderní geometrie trojúhelníku (2. vyd.). London: Hodgson. str. 20.

[5] Baptist, Peter (1987). „Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt“. Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften. 71 (2): 230–233. PAN 0936136.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]