Morleyova věta o trisektoru - Morleys trisector theorem - Wikipedia

Pokud je každý vrcholový úhel vnějšího trojúhelníku rozříznut, Morleyova věta o trisektoru uvádí, že fialový trojúhelník bude rovnostranný.

v rovinná geometrie, Morleyova věta o trisektoru uvádí, že v každém trojúhelník, tři průsečíky sousedních úhlové trisektory pro muže rovnostranný trojúhelník, nazvaný první Morleyův trojúhelník nebo jednoduše Morleyův trojúhelník. Věta byla objevena v roce 1899 Anglo-americký matematik Frank Morley. Má různé zobecnění; zejména pokud se protínají všechny trisektory, získá se další čtyři rovnostranné trojúhelníky.

Důkazy

Je jich mnoho důkazy Morleyho věty, z nichž některé jsou velmi technické.^[1] Několik prvních důkazů bylo založeno na delikátních trigonometrický výpočty. Nedávné důkazy zahrnují algebraický důkaz Alain Connes  (1998, 2004 ) rozšíření věty na obecnou pole jiné než charakteristické tři a John Conway důkaz elementární geometrie.^[2][3] Ten začíná rovnostranným trojúhelníkem a ukazuje, že kolem něj může být vytvořen trojúhelník, který bude podobný na libovolný vybraný trojúhelník. Morleyova věta neplatí sférický^[4] a hyperbolická geometrie.

Obr. 1. Elementární důkaz Morleyho věty o trisektoru

Jeden důkaz používá trigonometrickou identitu

${ displaystyle sin (3 theta) = 4 sin theta sin (60 ^ { circ} + theta) sin (120 ^ { circ} + theta)}$

(1)

kterému lze pomocí součtu dvou úhlů identity ukázat, že se rovná

${ displaystyle sin (3 theta) = - 4 sin ^ {3} theta +3 sin theta.}$

Poslední rovnici lze ověřit dvojitým uplatněním součtu dvou úhlů identity na levou stranu a eliminací kosinu.

Body ${ displaystyle D, E, F}$ jsou postaveny na ${ displaystyle { overline {BC}}}$ jak je znázorněno. My máme ${ displaystyle 3 alpha +3 beta +3 gamma = 180 ^ { circ}}$, součet úhlů libovolného trojúhelníku, tak ${ displaystyle alpha + beta + gamma = 60 ^ { circ}.}$ Proto úhly trojúhelníku ${ displaystyle XEF}$ jsou ${ displaystyle alpha, (60 ^ { circ} + beta),}$ a ${ displaystyle (60 ^ { circ} + gamma).}$

Z obrázku

${ displaystyle sin (60 ^ { circ} + beta) = { frac { overline {DX}} { overline {XE}}}}$

(2)

a

${ displaystyle sin (60 ^ { circ} + gamma) = { frac { overline {DX}} { overline {XF}}}.}$

(3)

Také z obrázku

${ displaystyle angle {AYC} = 180 ^ { circ} - alpha - gamma = 120 ^ { circ} + beta}$

a

${ displaystyle angle {AZB} = 120 ^ { circ} + gamma.}$

(4)

Zákon sinusů platil pro trojúhelníky ${ displaystyle AYC}$ a ${ displaystyle AZB}$ výnosy

${ displaystyle sin (120 ^ { circ} + beta) = { frac { overline {AC}} { overline {AY}}} sin gamma}$

(5)

a

${ displaystyle sin (120 ^ { circ} + gamma) = { frac { overline {AB}} { overline {AZ}}} sin beta.}$

(6)

Vyjádřete výšku trojúhelníku ${ displaystyle ABC}$ dvěma způsoby

${ displaystyle h = { overline {AB}} sin (3 beta) = { overline {AB}} cdot 4 sin beta sin (60 ^ { circ} + beta) sin ( 120 ^ { circ} + beta)}$

a

${ displaystyle h = { overline {AC}} sin (3 gamma) = { overline {AC}} cdot 4 sin gamma sin (60 ^ { circ} + gamma) sin ( 120 ^ { circ} + gamma).}$

kde k nahrazení byla použita rovnice (1) ${ displaystyle sin (3 beta)}$ a ${ displaystyle sin (3 gama)}$ v těchto dvou rovnicích. Dosazením rovnic (2) a (5) v ${ displaystyle beta}$ rovnice a rovnice (3) a (6) v ${ displaystyle gamma}$ rovnice dává

${ displaystyle h = 4 { overline {AB}} sin beta cdot { frac { overline {DX}} { overline {XE}}} cdot { frac { overline {AC}} { overline {AY}}} sin gamma}$

a

${ displaystyle h = 4 { overline {AC}} sin gamma cdot { frac { overline {DX}} { overline {XF}}} cdot { frac { overline {AB}} { overline {AZ}}} sin beta}$

Protože čitatelé jsou si rovni

${ displaystyle { overline {XE}} cdot { overline {AY}} = { overline {XF}} cdot { overline {AZ}}}$

nebo

${ displaystyle { frac { overline {XE}} { overline {XF}}} = { frac { overline {AZ}} { overline {AY}}}.}$

Od úhlu ${ displaystyle EXF}$ a úhel ${ displaystyle ZAY}$ jsou stejné a strany tvořící tyto úhly jsou ve stejném poměru, trojúhelníky ${ displaystyle XEF}$ a ${ displaystyle AZY}$ jsou podobní.

Podobné úhly ${ displaystyle AYZ}$ a ${ displaystyle XFE}$ rovnat se ${ displaystyle (60 ^ { circ} + gamma)}$a podobné úhly ${ displaystyle AZY}$ a ${ displaystyle XEF}$ rovnat se ${ displaystyle (60 ^ { circ} + beta).}$ Podobné argumenty poskytují základní úhly trojúhelníků ${ displaystyle BXZ}$ a ${ displaystyle CYX.}$

Zejména úhel ${ displaystyle BZX}$ je zjištěno, že je ${ displaystyle (60 ^ { circ} + alpha)}$ a podle obrázku to vidíme

${ displaystyle úhel {AZY} + úhel {AZB} + úhel {BZX} + úhel {XZY} = 360 ^ { circ}.}$

Nahrazení výnosů

${ displaystyle (60 ^ { circ} + beta) + (120 ^ { circ} + gamma) + (60 ^ { circ} + alpha) + úhel {XZY} = 360 ^ { circ }}$

kde byla pro úhel použita rovnice (4) ${ displaystyle AZB}$ a proto

${ displaystyle angle {XZY} = 60 ^ { circ}.}$

Podobně ostatní úhly trojúhelníku ${ displaystyle XYZ}$ se zjistí, že jsou ${ displaystyle 60 ^ { circ}.}$

Boční a oblast

První Morleyův trojúhelník má boční délky^[5]

${ displaystyle a ^ { prime} = b ^ { prime} = c ^ { prime} = 8R sin (A / 3) sin (B / 3) sin (C / 3), ,}$

kde R je circumradius původního trojúhelníku a A, B, a C jsou úhly původního trojúhelníku. Protože plocha rovnostranného trojúhelníku je ${ displaystyle { tfrac { sqrt {3}} {4}} a '^ {2},}$ oblast Morleyova trojúhelníku lze vyjádřit jako

${ displaystyle { text {Area}} = 16 { sqrt {3}} R ^ {2} sin ^ {2} (A / 3) sin ^ {2} (B / 3) sin ^ { 2} (C / 3).}$

Morleyho trojúhelníky

Morleyova věta zahrnuje 18 rovnostranných trojúhelníků. Trojúhelník popsaný ve výše uvedené větě o trojici, nazývaný první Morleyův trojúhelník, má vrcholy zadané v trilineární souřadnice vzhledem k trojúhelníku ABC jak následuje:

A-vertex = 1: 2 cos (C/ 3): 2 cos (B/3)

B-vertex = 2 cos (C/ 3): 1: 2 cos (A/3)

C-vertex = 2 cos (B/ 3): 2 cos (A/3) : 1

Další z Morleyových rovnostranných trojúhelníků, který je také středovým trojúhelníkem, se nazývá druhý Morleyův trojúhelník a je dán těmito vrcholy:

A-vrchol = 1: 2 cos (C/ 3 - 2π / 3): 2 cos (B/ 3 - 2π / 3)

B-vrchol = 2 cos (C/ 3 - 2π / 3): 1: 2 cos (A/ 3 - 2π / 3)

C-vrchol = 2 cos (B/ 3 - 2π / 3): 2 cos (A/ 3 - 2π / 3): 1

Třetí z Morleyových 18 rovnostranných trojúhelníků, který je také středním trojúhelníkem, se nazývá třetí Morleyův trojúhelník a je dán těmito vrcholy:

A-vertex = 1: 2 cos (C/ 3 - 4π / 3): 2 cos (B/ 3 - 4π / 3)

B-vertex = 2 cos (C/ 3 - 4π / 3): 1: 2 cos (A/ 3 - 4π / 3)

C-vertex = 2 cos (B/ 3 - 4π / 3): 2 cos (A/ 3 - 4π / 3): 1

První, druhý a třetí Morleyův trojúhelník jsou párové homotetický. Další homotetický trojúhelník je tvořen třemi body X na kruhovém kruhu trojúhelníku ABC na které linka XX ⁻¹ je tečna k obvodu, kde X ⁻¹ označuje izogonální konjugát z X. Tento rovnostranný trojúhelník, nazývaný obvodový trojúhelník, má tyto vrcholy:

A-vrchol = csc (C/3 − B/ 3): csc (B/3 + 2C/ 3): −csc (C/3 + 2B/3)

B-vrchol = −csc (A/3 + 2C/ 3): csc (A/ 3 - C / 3): csc (C/3 + 2A/3)

C-vrchol = csc (A/3 + 2B/ 3): −csc (B/3 + 2A/ 3): csc (B/3 − A/3)

Pátý rovnostranný trojúhelník, rovněž homotetický k ostatním, se získá otáčením obvodového trojúhelníku π / 6 kolem jeho středu. Volal kruhový trojúhelník, jeho vrcholy jsou následující:

A-vrchol = s (C/3 − B/ 3): −sec (B/3 + 2C/ 3): −sec (C/3 + 2B/3)

B-vrchol = −sec (A/3 + 2C/ 3): s (A/3 − C/ 3): −sec (C/3 + 2A/3)

C-vrchol = −sec (A/3 + 2B/ 3): −sec (B/3 + 2A/ 3): s (B/3 − A/3)

K získání jednoho z 18 Morleyových trojúhelníků z jiného lze použít operaci nazvanou „extraverze“. Každý trojúhelník lze extrahovat třemi různými způsoby; 18 Morleyho trojúhelníků a 27 extravertních párů trojúhelníků tvoří 18 vrcholů a 27 okrajů Pappusův graf.^[6]

Související středy trojúhelníků

The těžiště prvního Morleyova trojúhelníku je uveden v trilineární souřadnice podle

Morley centrum = X(356) = cos (A/ 3) + 2 cos (B/ 3) cos (C/ 3): cos (B/ 3) + 2 cos (C/ 3) cos (A/ 3): cos (C/ 3) + 2 cos (A/ 3) cos (B/3).

První Morleyův trojúhelník je perspektivní do trojúhelníku ABC:^[7] čáry spojující vrchol původního trojúhelníku s opačným vrcholem Morleyova trojúhelníku souhlasit na místě

1. centrum Morley – Taylor – Marr = X(357) = s (A/ 3): s (B/ 3): s (C/3).

Viz také

• Úhlová trisekce
• Hofstadter body
• Morley centra

Poznámky

Reference

• Connes, Alain (1998), „Nový důkaz Morleyho věty“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, S88: 43–46.
• Connes, Alain (Prosinec 2004), „Symetrie“ (PDF), Evropská matematická společnost Zpravodaj, 54.
• Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S.L. (1967), Geometrie Revisited, Matematická asociace Ameriky, LCCN  67-20607
• Francis, Richard L. (2002), „Modern Mathematical Milestones: Morley's Mystery“ (PDF), Missouri Journal of Mathematical Sciences, 14 (1).
• Guy, Richard K. (2007), „Věta o majáku, Morley a Malfatti - rozpočet paradoxů“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 114 (2): 97–141, JSTOR  27642143, PAN  2290364, archivovány z originál (PDF) dne 01.04.2010.
• Oakley, CO; Baker, J. C. (1978), „The Morley trisector theorem“, Americký matematický měsíčník, 85 (9): 737–745, doi:10.2307/2321680, JSTOR  2321680.
• Taylor, F. Glanville; Marr, W. L. (1913–1914), „Šest trisektorů každého z úhlů trojúhelníku“, Sborník Edinburgh Mathematical Society, 33: 119–131.

externí odkazy

• Morleyova věta na MathWorld
• Morleyova věta o trojici na MathPages
• Morleyova věta autor: Oleksandr Pavlyk, Demonstrační projekt Wolfram.