Pompeiova věta - Pompeius theorem - Wikipedia

Pompeiuova věta je výsledkem rovinná geometrie, objevený rumunským matematikem Dimitrie Pompeiu. Věta je jednoduchá, ale ne klasická. Uvádí následující:

Vzhledem k rovnostranný trojúhelník ABC v rovině a bod P v rovině trojúhelníku ABC, délky PA, PB a PC tvoří strany (možná zdegenerovaného) trojúhelníku.^[1][2]

Důkaz Pompeiuovy věty s Pompeiuovým trojúhelníkem ${ displaystyle trojúhelník PCP '}$

Důkaz je rychlý. Zvažte rotaci 60 ° kolem bodu B. Převzít A mapy do C, a P mapy do P '. Pak ${ displaystyle scriptstyle PB = P'B}$, a ${ displaystyle scriptstyle úhel PBP ' = 60 ^ { circ}}$. Proto trojúhelník PBP „je rovnostranný a ${ displaystyle scriptstyle PP ' = PB}$. Pak ${ displaystyle scriptstyle PA = P'C}$. Tedy trojúhelník PCP „má strany rovné PA, PB, a PC a důkaz konstrukcí je kompletní (viz výkres).^[1][2]

Další vyšetřování ukazuje, že pokud P není uvnitř trojúhelníku, ale spíše na obvod, pak PA, PB, PC tvoří zdegenerovaný trojúhelník, přičemž největší se rovná součtu ostatních, je toto pozorování známé také jako Van Schootenova věta.^[1]

Pompeiu však teorém publikoval v roce 1936 August Ferdinand Möbius publikoval obecnější teorém o čtyřech bodech v euklidovské rovině již v roce 1852. V této práci Möbius také odvodil vyjádření Pompeiuovy věty výslovně jako zvláštní případ své obecnější věty. Z tohoto důvodu je věta také známá jako Möbiova-Pompeiuova věta.^[3]

externí odkazy

• Stránka MathWorld o Pompeiuově větě
• Pompeiuova věta na cut-the-knot.org

Poznámky