Nadmořská výška (trojúhelník) - Altitude (triangle)

v geometrie, an nadmořská výška a trojúhelník je úsečka přes a vrchol a kolmý k (tj. vytvoření a pravý úhel s) řádek obsahující základna (strana naproti vrcholu). Tento řádek obsahující opačnou stranu se nazývá prodloužená základna nadmořské výšky. Křižovatka prodloužena základna a nadmořská výška se nazývá chodidlo nadmořské výšky. Délka nadmořské výšky, často jednoduše nazývaná „nadmořská výška“, je vzdálenost mezi prodlouženou základnou a vrcholem. Proces čerpání nadmořské výšky od vrcholu k noze je známý jako pokles nadmořské výšky v tom vrcholu. Jedná se o speciální případ ortogonální projekce.
Nadpisy lze použít při výpočtu plocha trojúhelníku: jedna polovina součinu délky nadmořské výšky a délky jeho základny se rovná ploše trojúhelníku. Nejdelší nadmořská výška je tedy kolmá na nejkratší stranu trojúhelníku. Nadmořské výšky také souvisejí se stranami trojúhelníku procházejícími trigonometrické funkce.

V rovnoramenný trojúhelník (trojúhelník se dvěma shodný strany), nadmořská výška s nesouladnou stranou jako základnou bude mít střed té strany jako její noha. Rovněž nadmořská výška, která bude mít jako základnu nesouladnou stranu úhlová osa úhlu vrcholu.
Je obvyklé označovat nadmořskou výšku písmenem h (jako v výška), často s indexem názvu strany, na kterou je čerpána nadmořská výška.
V pravoúhlý trojuhelník, nadmořská výška čerpaná z přepony C rozděluje přeponu na dva segmenty délek p a q. Označíme-li délku nadmořské výšky hC, pak máme vztah

U akutních a pravoúhlých trojúhelníků padají nohy výšek na všechny strany trojúhelníku (nejsou prodlouženy). V tupém trojúhelníku (jeden s tupý úhel ), úpatí výšky k vrcholu tupého úhlu spadá do vnitřku opačné strany, ale nohy výšek k vrcholům s ostrým úhlem padají na protější stranu prodloužená strana, vně trojúhelníku. To je znázorněno na sousedním schématu: v tomto tupém trojúhelníku protíná prodloužená vodorovná strana vně trojúhelníku nadmořská výška klesající kolmo z horního vrcholu, který má ostrý úhel.
Ortocentrum

Tři (případně rozšířené) nadmořské výšky se protínají v jednom bodě, který se nazývá ortocentrum trojúhelníku, obvykle označený H.[1][2] Orthocenter leží uvnitř trojúhelníku kdyby a jen kdyby trojúhelník je ostrý (tj. nemá úhel větší nebo rovný pravému úhlu). Pokud je jeden úhel pravý úhel, orthocenter se shoduje s vrcholem v pravém úhlu.[2]
Nechat A, B, C označíme vrcholy a také úhly trojúhelníku a necháme A = |před naším letopočtem|, b = |CA|, C = |AB| být délkou strany. Ortocentrum má trilineární souřadnice[3]
Vzhledem k tomu, že barycentrické souřadnice jsou kladné pro bod ve vnitřku trojúhelníku, ale alespoň jedna je záporná pro bod v exteriéru a dvě z barycentrických souřadnic jsou nulové pro vrcholný bod, barycentrické souřadnice dané pro ortocentr ukazují, že ortocentrum je v akutní trojúhelník interiér, na pravoúhlém vrcholu a pravoúhlý trojuhelník a externě k tupý trojúhelník.
V složité letadlo, nechte body A, B a C představují čísla , a a předpokládejme, že circumcenter trojúhelníku ABC se nachází na počátku roviny. Pak komplexní číslo
je reprezentován bodem H, jmenovitě orthocentr trojúhelníku ABC.[4] Z toho následující charakterizace orthocentra H pomocí volné vektory lze stanovit přímo:
První z předchozích vektorových identit je také známá jako problém Sylvestra, navrhl James Joseph Sylvester.[5]
Vlastnosti
Nechat D, E, a F označují nohy výšek od A, B, a C resp. Pak:
- Součin délek segmentů, na které ortocentrum rozděluje nadmořskou výšku, je stejný pro všechny tři nadmořské výšky:[6][7]
- Kruh se soustředil na H s poloměrem druhá odmocnina této konstanty je trojúhelník polární kruh.[8]
- Součet poměrů ve třech nadmořských výškách vzdálenosti orthocentra od základny k délce nadmořské výšky je 1:[9] (Tato vlastnost a další jsou aplikace a obecnější majetek jakéhokoli vnitřního bodu a tří cevians skrz to.)
- Součet poměrů ve třech nadmořských výškách vzdálenosti ortocentra od vrcholu k délce nadmořské výšky je 2:[9]
- The izogonální konjugát orthocentra je circumcenter trojúhelníku.[10]
- The izotomický konjugát orthocentra je symmediánský bod z protikomplementární trojúhelník.[11]
- Čtyři body v rovině, takže jeden z nich je orthocentr trojúhelníku tvořeného dalšími třemi, se nazývají ortocentrický systém nebo ortocentrický čtyřúhelník.
Vztah s kruhy a kuželosečky
Označte circumradius trojúhelníku o R. Pak[12][13]
Kromě toho označování r jako poloměr trojúhelníku incircle, rA, rb, a rC jako poloměry jeho excircles, a R opět jako poloměr jeho kruhového kruhu platí následující vztahy týkající se vzdáleností orthocentra od vrcholů:[14]
Pokud nějaká nadmořská výška, například INZERÁT, je prodloužen tak, aby protínal kruhový kruh v P, aby AP je akordem circumcircle, pak noha D půlený segment HP:[7]
The adresáře ze všech paraboly které jsou externě tečné k jedné straně trojúhelníku a tečné k prodloužení ostatních stran procházejí ortocentrem.[15]
A cirkadiální procházející ortocentrem trojúhelníku je a obdélníková hyperbola.[16]
Vztah k jiným centrům, devítibodovému kruhu
Ortocentrum H, těžiště G, circumcenter Óa střed N z devítibodový kruh všechny leží na jednom řádku, známém jako Eulerova linie.[17] Střed devítibodového kruhu leží na střed Eulerovy linie mezi ortocentrem a circumcenterem a vzdálenost mezi těžištěm a circumcenterem je poloviční oproti vzdálenosti mezi těžištěm a orthocentrem:[18]
Orthocenter je blíže k stimulant Já než je to k těžišti, a orthocenter je dále, než incenter je od těžiště:
Pokud jde o strany a, b, c, inradius r a circumradius R,[19]
- [20]:p. 449
Ortický trojúhelník

Pokud trojúhelník ABC je šikmý (neobsahuje pravý úhel), pedálový trojúhelník orthocentra původního trojúhelníku se nazývá ortický trojúhelník nebo výškový trojúhelník. To znamená, že nohy výšek šikmého trojúhelníku tvoří ortický trojúhelník, DEF. Také incenter (střed vepsané kružnice) ortického trojúhelníku DEF je orthocenter původního trojúhelníku ABC.[21]
Trilineární souřadnice pro vrcholy ortického trojúhelníku jsou dány vztahem
- D = 0: s B : sek C
- E = sek A : 0: s C
- F = sek A : sek B : 0.
The prodloužené strany ortického trojúhelníku se setkávají s protilehlými prodlouženými stranami referenčního trojúhelníku ve třech kolineární body.[22][23][21]
V každém akutní trojúhelník, vepsaný trojúhelník s nejmenším obvodem je ortický trojúhelník.[24] Toto je řešení Fagnanův problém, Pózuje v roce 1775.[25] Strany ortického trojúhelníku jsou rovnoběžné s tečnami k circumcircle u vrcholů původního trojúhelníku.[26]
Ortický trojúhelník ostrého trojúhelníku dává trojúhelníkovou světelnou trasu.[27]
Tečné čáry devítibodového kruhu ve středech po stranách ABC jsou rovnoběžné se stranami ortického trojúhelníku a tvoří trojúhelník podobný ortickému trojúhelníku.[28]
Ortický trojúhelník úzce souvisí s tangenciální trojúhelník, konstruováno následovně: let LA být přímka tečná k oblouku trojúhelníku ABC na vrcholu Aa definovat LB a LC analogicky. Nechat A" = LB ∩ LC, B " = LC ∩ LA, C" = LC ∩ LA. Tangenciální trojúhelník je A „B“ C, jehož strany jsou tečnami trojúhelníku ABCkruh kolem jeho vrcholů; to je homotetický k ortickému trojúhelníku. Cirkumcenter tangenciálního trojúhelníku a centrum podobnosti ortických a tangenciálních trojúhelníků jsou na Eulerova linie.[20]:p. 447
Trilineární souřadnice vrcholů tangenciálního trojúhelníku jsou dány vztahem
- A" = −A : b : C
- B " = A : −b : C
- C" = A : b : −C.
Další informace o ortickém trojúhelníku viz tady.
Některé další věty o nadmořské výšce
Nadmořská výška z hlediska stran
Pro jakýkoli trojúhelník se stranami a, b, c a semiperimetr s = (A + b + C) / 2, nadmořská výška ze strany A darováno
To vyplývá z kombinování Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku, pokud jde o strany, s plošným vzorcem (1/2) × základna × výška, kde je základna brána jako strana A a výška je výška od A.
Inradiovy věty
Vezměme si libovolný trojúhelník se stranami a, b, c as odpovídajícími nadmořskými výškami hA, hb, a hC. Nadmořské výšky a incircle poloměr r jsou ve vztahu[29]:Lemma 1
Circumradiova věta
Označení nadmořské výšky z jedné strany trojúhelníku jako hA, další dvě strany jako b a Ca trojúhelníky circumradius (poloměr opsané kružnice trojúhelníku) jako R, nadmořská výška je dána[30]
Vnitřní bod
Li p1, p2, a p3 jsou kolmé vzdálenosti od kteréhokoli bodu P do stran a h1, h2, a h3 jsou tedy výšky příslušných stran[31]
Věta o ploše
Označení výšek libovolného trojúhelníku ze stran A, b, a C respektive jako , , a , a označující poloviční součet převrácených výšek jako my máme[32]
Obecný bod nadmořské výšky
Li E je jakýkoli bod v nadmořské výšce INZERÁT libovolného trojúhelníku ABC, pak[33]:77–78
Speciální případy trojúhelníky
Rovnostranný trojúhelník
Pro jakýkoli bod P v rámci rovnostranný trojúhelník, součet kolmic na tři strany se rovná výšce trojúhelníku. Tohle je Vivianiho věta.
Pravoúhlý trojuhelník

V pravém trojúhelníku tři nadmořské výšky hA, hb, a hC (první dva se rovnají délkám nohou b a A respektive) souvisí podle[34][35]
Dějiny
Věta, že tři nadmořské výšky trojúhelníku se setkávají v jediném bodě, v orthocentru, byla poprvé prokázána v publikaci z roku 1749 William Chapple.[36]
Viz také
Poznámky
- ^ Inteligentní 1998, str. 156
- ^ A b Berele & Goldman 2001, str. 118
- ^ Encyklopedie trojúhelníkových center Clarka Kimberlinga „Archivovaná kopie“. Archivovány od originál dne 19. 04. 2012. Citováno 2012-04-19.CS1 maint: archivovaná kopie jako titul (odkaz)
- ^ Andreescu, Titu; Andrica, Dorine „Komplexní čísla od A do ... Z“. Birkhäuser, Boston, 2006, ISBN 978-0-8176-4326-3, strana 90, teze 3
- ^ Dörrie, Heinrich, „100 velkých problémů elementární matematiky. Jejich historie a řešení“. Dover Publications, Inc., New York, 1965, ISBN 0-486-61348-8, strana 142
- ^ Johnson 2007, str. 163, oddíl 255
- ^ A b ""Ortocentrum trojúhelníku"". Archivovány od originál dne 05.07.2012. Citováno 2012-05-04.
- ^ Johnson 2007, str. 176, oddíl 278
- ^ A b Panapoi, Ronnachai, "Některé vlastnosti orthocentra trojúhelníku", University of Georgia.
- ^ Inteligentní 1998, str. 182
- ^ Weisstein, Eric W. „Izotomický konjugát“ z MathWorld - webový zdroj Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/IsotomicConjugate.html
- ^ Weisstein, Eric W. „Orthocenter“. From MathWorld - A Wolfram Web Resource.
- ^ Altshiller-Court 2007, str. 102
- ^ Bell, Amy, „Hansenova věta o pravoúhlém trojúhelníku, její obrácení a zobecnění“, Fórum Geometricorum 6, 2006, 335–342.
- ^ Weisstein, Eric W. "Kiepert Parabola." From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/KiepertParabola.html
- ^ Weisstein, Eric W. „Jerabek Hyperbola.“ From MathWorld - A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/JerabekHyperbola.html
- ^ Berele & Goldman 2001, str. 123
- ^ Berele & Goldman 2001, str. 124-126
- ^ Marie-Nicole Gras, „Vzdálenosti mezi circumcenterem extouchového trojúhelníku a klasickými středy“, Fórum Geometricorum 14 (2014), 51-61. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201405index.html
- ^ A b Smith, Geoff a Leversha, Gerry, „Eulerova a trojúhelníková geometrie“, Matematický věstník 91, listopad 2007, 436–452.
- ^ A b William H. Barker, Roger Howe (2007). „§ VI.2: Klasické náhody“. Kontinuální symetrie: od Euklida po Kleina. Americká matematická společnost. p. 292. ISBN 0-8218-3900-4. Viz také: Důsledek 5.5, str. 318.
- ^ Johnson 2007, str. 199, oddíl 315
- ^ Altshiller-Court 2007, str. 165
- ^ Johnson 2007, str. 168, oddíl 264
- ^ Berele & Goldman 2001, str. 120-122
- ^ Johnson 2007, str. 172, oddíl 270c
- ^ Bryant, V. a Bradley, H., „Triangular Light Routes,“ Matematický věstník 82, červenec 1998, 298-299.
- ^ Kay, David C. (1993), College Geometry / A Discovery ApproachHarperCollins, str. 6, ISBN 0-06-500006-4
- ^ Dorin Andrica a Dan S. Stefan Marinescu. „New Interpolation Nerovnosti k Eulerově R ≥ 2r“. Fórum Geometricorum, Svazek 17 (2017), s. 149–156. http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201719.pdf
- ^ Johnson 2007, str. 71, oddíl 101a
- ^ Johnson 2007, str. 74, oddíl 103c
- ^ Mitchell, Douglas W., „Vzorec heronského typu pro převrácenou plochu trojúhelníku,“ Matematický věstník 89, listopad 2005, 494.
- ^ Alfred S. Posamentier a Charles T. Salkind, Náročné problémy v geometrii, Dover Publishing Co., druhé přepracované vydání, 1996.
- ^ Voles, Roger, "Integer solutions of ," Matematický věstník 83, July 1999, 269–271.
- ^ Richinick, Jennifer, „Vzhůru nohama Pythagorova věta,“ Matematický věstník 92, červenec 2008, 313–317.
- ^ Bogomolny, Alexander, „Možná první důkaz souběhu nadmořských výšek“, Cut The Knot, vyvoláno 2019-11-17
Reference
- Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry, Dover Publications
- Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometrie / Věty a konstrukce, Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
- Johnson, Roger A. (2007) [1960], Pokročilá euklidovská geometrieDover, ISBN 978-0-486-46237-0
- Chytrý, James R. (1998), Moderní geometrie (5. vydání), Brooks / Cole, ISBN 0-534-35188-3
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Nadmořská výška". MathWorld.
- Ortocentrum trojúhelníku S interaktivní animací
- Animovaná ukázka konstrukce orthocentra Kompas a pravítko.
- Fagnanův problém Jay Warendorff, Demonstrační projekt Wolfram.