Cevian - Cevian

v geometrie, a cevian je čára který protíná jak a trojúhelník je vrchol, a také strana, která je naproti tomuto vrcholu.^[1][2] Mediány a úhlové přímky jsou zvláštní případy cevianů. Název „cevian“ pochází od italského matematika Giovanni Ceva, který prokázal známá věta o Cevians, který také nese jeho jméno.^[3]

Délka

Trojúhelník s cevianem délky d

Stewartova věta

Délka cevian může být určena Stewartova věta: v diagramu cevianská délka d je dáno vzorcem

${displaystyle, b ^ {2} m + c ^ {2} n = a (d ^ {2} + mn).}$

Méně obyčejně to také představuje mnemotechnická pomůcka

${displaystyle, man + dad = bmb + cnc.}$^[4]

Medián

Pokud je cevian náhodou a medián (tím pádem půlení strany ), jeho délku lze určit ze vzorce

${displaystyle, m (b ^ {2} + c ^ {2}) = a (d ^ {2} + m ^ {2})}$

nebo

${displaystyle, 2 (b ^ {2} + c ^ {2}) = 4d ^ {2} + a ^ {2}}$

od té doby

${displaystyle, a = 2m.}$

Proto v tomto případě

${displaystyle d = {sqrt {frac {2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2}} {4}}}.}$

Úhlová osa

Pokud je cevian náhodou úhlová osa, jeho délka se řídí vzorci

${displaystyle, (b + c) ^ {2} = a ^ {2} vlevo ({frac {d ^ {2}} {mn}} + 1 světlo),}$

a^[5]

${displaystyle d ^ {2} + mn = bc}$

a

${displaystyle d = {frac {2 {sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}}}$

Kde semiperimetr s = (a + b + c)/2.

Strana délky A je rozdělen v poměru b:C.

Nadmořská výška

Pokud je cevian náhodou nadmořská výška a tudíž kolmý na stranu se jeho délka řídí vzorci

${displaystyle, d ^ {2} = b ^ {2} -n ^ {2} = c ^ {2} -m ^ {2}}$

a

${displaystyle d = {frac {2 {sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)}}} {a}},}$

kde semiperimetr s = (a + b + c) / 2.

Vlastnosti poměru

Tři cevians procházející společným bodem

Existují různé vlastnosti poměrů délek tvořených třemi cevianami, které všechny procházejí stejným libovolným vnitřním bodem:^{[6]:177–188} S odkazem na diagram vpravo

${displaystyle {frac {AF} {FB}} cdot {frac {BD} {DC}} cdot {frac {CE} {EA}} = 1;}$ (Cevova věta )

${displaystyle {frac {AO} {OD}} = {frac {AE} {EC}} + {frac {AF} {FB}};}$

${displaystyle {frac {OD} {AD}} + {frac {OE} {BE}} + {frac {OF} {CF}} = 1;}$

${displaystyle {frac {AO} {AD}} + {frac {BO} {BE}} + {frac {CO} {CF}} = 2.}$

Tyto poslední dvě vlastnosti jsou ekvivalentní, protože součet těchto dvou rovnic dává identita 1 + 1 + 1 = 3.

Rozdělovač

A rozdělovač trojúhelníku je cevian půlení the obvod. Tři rozdělovače souhlasit na Nagel point trojúhelníku.

Plošné půlení

Tři z plošné půlové větve trojúhelníku jsou jeho mediány, které spojují vrcholy s středy na opačné straně. Trojúhelník jednotné hustoty by tedy v zásadě balancoval na břitvě podporující kterýkoli z mediánů.

Úhlové trisektory

Pokud z každého vrcholu trojúhelníku jsou nakresleny dva ceviany tak, aby roztrojit úhel (rozdělte jej na tři stejné úhly), poté se šest cevianů protíná ve dvojicích a tvoří rovnostranný trojúhelník, volal Morleyův trojúhelník.

Plocha vnitřního trojúhelníku tvořená cevians

Routhova věta určuje poměr plochy daného trojúhelníku k ploše trojúhelníku tvořeného párovými průsečíky tří cevianů, jednoho z každého vrcholu.

Viz také

• Geometrie hmotného bodu
• Menelausova věta

Poznámky

Reference

• Eves, Howard (1963), Průzkum geometrie (sv. 1)Allyn a Bacon
• Ross Honsberger (1995). Epizody v euklidovské geometrii devatenáctého a dvacátého století, strany 13 a 137. Mathematical Association of America.
• Vladimír Karapetoff (1929). "Některé vlastnosti korelačních vrcholů v rovinném trojúhelníku." Americký matematický měsíčník 36: 476–479.
• Indika Shameera Amarasinghe (2011). "Nová věta o jakémkoli úhlovém Cevianském trojúhelníku." Věstník Světové federace národních matematických soutěží, Sv 24 (02), str. 29–37.