Weitzenböcksova nerovnost - Weitzenböcks inequality - Wikipedia

Podle Weitzenböckovy nerovnosti se plocha z toho trojúhelník je nanejvýš (A² + b² + C²) ⁄ 4√3.

${ displaystyle { begin {aligned} & { text {všechny vnitřní úhly}} <120 ^ { circ}: & { text {šedá oblast}} = 3 Delta leq Delta _ {a} + Delta _ {b} + Delta _ {c} end {zarovnáno}}}$

${ displaystyle { begin {aligned} & { text {jeden vnitřní úhel}} geq 120 ^ { circ}: & { text {šedá oblast}} = 3 Delta leq Delta _ {c } < Delta _ {a} + Delta _ {b} + Delta _ {c} end {zarovnáno}}}$

v matematika, Weitzenböckova nerovnost, pojmenoval podle Roland Weitzenböck, uvádí, že pro trojúhelník bočních délek ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$a oblast ${ displaystyle Delta}$, platí tato nerovnost:

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq 4 { sqrt {3}} , Delta.}$

Rovnost nastává tehdy a jen tehdy, je-li trojúhelník rovnostranný. Pedoeova nerovnost je zobecněním Weitzenböckovy nerovnosti. The Nerovnost Hadwiger-Finsler je posílená verze Weitzenböckovy nerovnosti.

Geometrický výklad a důkaz

Přepsání výše uvedené nerovnosti umožňuje konkrétnější geometrickou interpretaci, která zase poskytuje okamžitý důkaz.^[1]

${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {4}} a ^ {2} + { frac { sqrt {3}} {4}} b ^ {2} + { frac { sqrt { 3}} {4}} c ^ {2} geq 3 , Delta.}$

Nyní jsou summandy na levé straně oblasti rovnostranných trojúhelníků vztyčených po stranách původního trojúhelníku, a tudíž v nerovnosti se uvádí, že součet ploch rovnostranných trojúhelníků je vždy větší nebo roven trojnásobku plochy původního trojúhelníku.

${ displaystyle Delta _ {a} + Delta _ {b} + Delta _ {c} geq 3 , Delta.}$

To lze nyní ukázat trojnásobnou replikací oblasti trojúhelníku v rámci rovnostranných trojúhelníků. K dosažení tohoto cíle Fermatův bod se používá k rozdělení trojúhelníku na tři tupé subtriangles s a ${ displaystyle 120 ^ { circ}}$ úhel a každý z těchto dílčích trojúhelníků se třikrát replikuje v rovnostranném trojúhelníku vedle něj. To funguje, pouze pokud je každý úhel trojúhelníku menší než ${ displaystyle 120 ^ { circ}}$, protože jinak Fermatův bod není umístěn uvnitř trojúhelníku a místo toho se stává vrcholem. Pokud je však jeden úhel větší nebo rovný ${ displaystyle 120 ^ { circ}}$ je možné replikovat celý trojúhelník třikrát v rámci největšího rovnostranného trojúhelníku, takže součet ploch všech rovnostranných trojúhelníků zůstává stejně větší než trojnásobná plocha trojúhelníku.

Další důkazy

Důkaz této nerovnosti byl položen jako otázka v Mezinárodní matematická olympiáda z roku 1961. I přesto není výsledek příliš obtížné odvodit pomocí Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku:

${ displaystyle { begin {aligned} Delta & {} = { frac {1} {4}} { sqrt {(a + b + c) (a + bc) (b + ca) (c + ab )}} [4pt] & {} = { frac {1} {4}} { sqrt {2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})}}. end {zarovnáno}}}$

První metoda

Je možné ukázat, že oblast vnitřní Napoleonův trojúhelník, což musí být nezáporné, je^[2]

${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {24}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} -4 { sqrt {3}} Delta),}$

takže výraz v závorkách musí být větší nebo roven 0.

Druhá metoda

Tato metoda nepředpokládá žádnou znalost nerovností, kromě toho, že všechny čtverce jsou nezáporné.

${ displaystyle { begin {aligned} {} & (a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} + (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} + (c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} geq 0 [5pt] {} iff & 2 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4}) - 2 ( a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) geq 0 [5pt] {} iff & { frac { 4 (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4})} {3}} geq { frac {4 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2})} {3}} [5pt] {} iff & { frac {(a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4}) + 2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2})} {3}} geq 2 (a ^ {2} b ^ {2} + a ^ {2} c ^ {2} + b ^ {2} c ^ {2}) - (a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4 }) [5pt] {} iff & { frac {(a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) ^ {2}} {3}} geq (4 Delta ) ^ {2}, end {zarovnáno}}}$

a výsledek následuje okamžitě tím, že vezmeme kladnou druhou odmocninu obou stran. Z první nerovnosti také vidíme, že rovnost nastává pouze tehdy ${ displaystyle a = b = c}$ a trojúhelník je rovnostranný.

Třetí metoda

Tento důkaz předpokládá znalost Nerovnost mezi AM a GM.

${ displaystyle { begin {aligned} && (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} & geq && 0 Rightarrow && 2a ^ {2} + 2b ^ { 2} + 2c ^ {2} & geq && 2ab + 2bc + 2ac iff && 3 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) & geq && (a + b + c ) ^ {2} iff && a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & geq && { sqrt {3 (a + b + c) left ({ frac {a + b + c} {3}} vpravo) ^ {3}}} Rightarrow && a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & geq && { sqrt {3 (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + bc)}} iff && a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} & geq && 4 { sqrt {3}} Delta. end {zarovnáno}}}$

Protože jsme použili aritmeticko-geometrický průměr nerovnosti, rovnost nastane, pouze když ${ displaystyle a = b = c}$ a trojúhelník je rovnostranný.

Čtvrtá metoda

Psát si ${ displaystyle x = dětská postýlka A, c = dětská postýlka A + dětská postýlka B> 0}$ takže součet ${ displaystyle S = dětská postýlka A + dětská postýlka B + dětská postýlka C = c + { frac {1-x (c-x)} {c}}}$ a ${ displaystyle cS = c ^ {2} -xc + x ^ {2} + 1 = left (x - { frac {c} {2}} right) ^ {2} + left ({ frac {c { sqrt {3}}} {2}} - 1 vpravo) ^ {2} + c { sqrt {3}} geq c { sqrt {3}}}$ tj. ${ displaystyle S geq { sqrt {3}}}$. Ale ${ displaystyle cot A = { frac {b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}} {4 Delta}}}$, tak ${ displaystyle S = { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {4 Delta}}}$.

Viz také

• Seznam nerovností trojúhelníku
• Izoperimetrická nerovnost
• Nerovnost Hadwiger-Finsler

Poznámky

Odkazy a další čtení

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Když je méně více: Vizualizace základních nerovností. MAA, 2009, ISBN  9780883853429, str. 84-86
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Geometrické důkazy nerovností Weitzenböck a Hadwiger-Finsler. Mathematics Magazine, sv. 81, č. 3 (červen 2008), s. 216–219 (JSTOR )
• D. M. Batinetu-Giurgiu, Nicusor Minculete, Nevulai Stanciu: Některé geometrické nerovnosti typu Ionescu-Weitzebböck. International Journal of Geometry, sv. 2 (2013), č. 1, duben
• D. M. Batinetu-Giurgiu, Nevulai Stanciu: Nerovnost Ionescu - Weitzenböck. MateInfo.ro, duben 2013, (online kopie )
• Daniel Pedoe: Na některých geometrických nerovnostech. Matematický věstník, sv. 26, č. 272 ​​(prosinec 1942), s. 202-208 (JSTOR )
• Roland Weitzenböck: Über eine Ungleichung in der Dreiecksgeometrie. Mathematische Zeitschrift, svazek 5, 1919, str. 137-146 (online kopie na Göttinger Digitalisierungszentrum )
• Dragutin Svrtan, Darko Veljan: Neeuklidovské verze některých nerovností klasického trojúhelníku. Forum Geometricorum, svazek 12, 2012, s. 197–209 (online kopie )
• Mihaly Bencze, Nicusor Minculete, Ovidiu T. Pop: Nové nerovnosti pro trojúhelník. Octogon Mathematical Magazine, sv. 17, č. 1, duben 2009, s. 70–89 (online kopie )

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Weitzenböckova nerovnost“. MathWorld.
• "Weitzenböckova nerovnost „interaktivní ukázka Jay Warendorff - Demonstrační projekt Wolfram.