Heronský trojúhelník - Heronian triangle
v geometrie, a Heronský trojúhelník je trojúhelník který má boční délky a plocha to jsou všichni celá čísla.[1][2] Heronské trojúhelníky jsou pojmenovány po Hrdina Alexandrie. Termín je někdy aplikován více široce na trojúhelníky, jejichž strany a plocha jsou všechny racionální čísla,[3] protože lze změnit měřítko stran společným násobkem, abychom získali trojúhelník, který je ve výše uvedeném smyslu heronský.
Vlastnosti
Libovolný pravoúhlý trojúhelník, jehož vedlejší síly jsou a Pytagorejský trojnásobek je heronský trojúhelník, protože boční délky takového trojúhelníku jsou celá čísla a jeho plocha je také celé číslo, které je polovinou součinu dvou kratších stran trojúhelníku, z nichž alespoň jedna musí být sudá.

Příkladem heronského trojúhelníku, který není pravoúhlý, je rovnoramenný trojúhelník s bočními délkami 5, 5 a 6, jejichž plocha je 12. Tento trojúhelník se získá spojením dvou kopií pravoúhlého trojúhelníku se stranami 3, 4 a 5 po stranách délky 4. Tento přístup funguje obecně jako na vedlejším obrázku. Jeden vezme Pythagorovu trojku (A, b, C), s C být největší, pak další (A, d, E), s E je největší, konstruuje trojúhelníky s těmito bočními délkami a spojuje je dohromady po stranách délky A, pro získání trojúhelníku s délkami celých stran C, E, a b + da s oblastí
- (jedna polovina základny krát výška).
Li A je i tehdy oblast A je celé číslo. Méně zjevné, pokud A je potom zvláštní A je stále celé číslo, jako b a d musí být oba vyrovnané b+d dokonce taky.
Některé heronské trojúhelníky nelze získat spojením dvou pravoúhlých trojúhelníků s celočíselnými stranami, jak je popsáno výše. Například heronský trojúhelník 5, 29, 30 s plochou 72 nelze zkonstruovat ze dvou celočíselných Pythagorovských trojúhelníků, protože žádný z jeho nadmořské výšky jsou celá čísla. Ze dvou menších celočíselných Pythagorovských trojúhelníků také nelze sestrojit žádný primitivní Pythagorovský trojúhelník.[4]:str.17 Takové heronské trojúhelníky jsou známé jako nerozložitelný.[4] Pokud však člověk dovolí Pythagorovy trojice s racionálními hodnotami, nemusí to být nutně celá čísla, pak vždy existuje rozklad na pravé trojúhelníky s racionálními stranami,[5] protože každá výška heronského trojúhelníku je racionální (protože se rovná dvojnásobku celočíselné oblasti dělené celočíselnou základnou). Heronský trojúhelník se stranami 5, 29, 30 lze tedy sestrojit z racionálních Pythagorových trojúhelníků se stranami 7/5, 24/5, 5 a 143/5, 24/5, 29. Pamatujte si, že Pythagorova trojice s racionálními hodnotami je jen zmenšená verze trojice s celočíselnými hodnotami.
Další vlastnosti heronských trojúhelníků jsou následující:
- Obvod heronského trojúhelníku je vždy sudé číslo.[6] Každý heronský trojúhelník má tedy lichý počet stran sudé délky,[7]:str.3 a každý primitivní heronský trojúhelník má přesně jednu sudou stranu.
- Semiperimetr s heronského trojúhelníku se stranami A, b a C nikdy nemůže být prime. To je patrné ze skutečnosti, že s (s − a) (s − b) (s − c) musí být perfektní čtverec a pokud s je prvočíslo, pak musí mít jeden z dalších výrazů s jako faktor, ale to je nemožné, protože všechny tyto termíny jsou menší než s.
- Plocha heronského trojúhelníku je vždy dělitelná 6.[6]
- Všechny výšky heronského trojúhelníku jsou racionální.[8] To je patrné ze skutečnosti, že plocha trojúhelníku je polovina jedné strany krát jeho nadmořská výška z této strany a heronský trojúhelník má celé strany a plochu. Některé heronské trojúhelníky mají tři jiné než celočíselné nadmořské výšky, například akutní (15, 34, 35) s oblastí 252 a tupé (5, 29, 30) s oblastí 72. Libovolný heronský trojúhelník s jednou nebo více necelými nadmořskými výškami může být zvětšen faktorem rovnajícím se nejmenšímu společnému násobku jmenovatelů nadmořských výšek za účelem získání a podobný Heronský trojúhelník se třemi celočíselnými výškami.
- Heronské trojúhelníky, které nemají celočíselnou nadmořskou výšku (nerozložitelný a non-Pythagorean) mají strany, které jsou všechny dělitelné prvočísly formy 4k+1.[4] Rozložitelné heronské trojúhelníky však musí mít dvě strany, které jsou přeponou Pythagorových trojúhelníků. Proto všechny heronské trojúhelníky, které nejsou Pytagorovy, mají alespoň dvě strany, které jsou dělitelné prvočísly formy 4k+1. Zbývají jen Pythagorovy trojúhelníky. Proto všechny heronské trojúhelníky mají alespoň jednu stranu, která je dělitelná prvočísly formy 4k+1. A konečně, pokud má heronský trojúhelník pouze jednu stranu dělitelnou prvočísly tvaru 4k+1, musí to být Pythagorovo písmo se stranou jako přepona a přepona musí být dělitelné 5.
- Všechny vnitřní kolmé půlící čáry heronského trojúhelníku jsou racionální: Pro jakýkoli trojúhelník jsou dány vztahem a kde jsou strany A ≥ b ≥ C a oblast je A;[9] v heronském trojúhelníku všechny A, b, C, a A jsou celá čísla.
- Neexistují rovnostranné heronské trojúhelníky.[8]
- Neexistují žádné heronské trojúhelníky s délkou strany 1 nebo 2.[10]
- Existuje nekonečné množství primitivních heronských trojúhelníků s délkou jedné strany rovnou A pokud a> 2.[10]
- Neexistují žádné heronské trojúhelníky, jejichž boční strany tvoří a geometrický průběh.[11]
- Pokud mají dvě strany (ale ne tři) heronského trojúhelníku společný faktor, musí být tímto faktorem součet dvou čtverců.[12]
- Každý úhel heronského trojúhelníku má racionální sinus. Vyplývá to z plošného vzorce Plocha = (1/2)ab hřích C, ve kterém je plocha a boky A a b jsou celá čísla a ekvivalentně pro ostatní úhly.
- Každý úhel heronského trojúhelníku má racionální kosinus. To vyplývá z zákon kosinů , C2 = A2 + b2 − 2ab cos C, ve kterém jsou strany A, b, a C jsou celá čísla a ekvivalentně pro ostatní úhly.
- Jelikož všechny heronské trojúhelníky mají sinusy a kosiny všech úhlů racionální, znamená to, že každý z nich šikmý úhel Heronova trojúhelníku má racionální tangens, kotangens, secan a kosekans. Polovina každého úhlu má navíc racionální tečnu, protože tan C / 2 = hřích C / (1 + cos C)a ekvivalentně pro jiné úhly.
- Neexistují žádné heronské trojúhelníky, jejichž tři vnitřní úhly tvoří aritmetický postup. Je to proto, že všechny rovinné trojúhelníky s úhly v aritmetické posloupnosti musí mít jeden úhel 60 °, který nemá racionální sinus.[13]
- Libovolný čtverec vepsaný do heronského trojúhelníku má racionální stránky: Pro obecný trojúhelník vepsaný čtverec na straně délky A má délku kde A je plocha trojúhelníku;[14] v heronském trojúhelníku, oba A a A jsou celá čísla.
- Každý heronský trojúhelník má racionální inradius (poloměr jeho vepsané kružnice): Pro obecný trojúhelník je inradius poměr plochy k polovině obvodu a oba jsou racionální v heronském trojúhelníku.
- Každý heronský trojúhelník má racionální circumradius (poloměr jeho opsané kružnice): Pro obecný trojúhelník se circumradius rovná jedné čtvrtině součinu stran dělených plochou; v heronském trojúhelníku jsou strany a plocha celá čísla.
- V heronském trojúhelníku je vzdálenost od těžiště na každou stranu je racionální, protože pro všechny trojúhelníky je tato vzdálenost poměrem dvojnásobku plochy k trojnásobku délky strany.[15] To lze zobecnit konstatováním, že všechna centra spojená s heronskými trojúhelníky, jejichž barycentrické souřadnice jsou racionální poměry mají racionální vzdálenost ke každé straně. Mezi tato centra patří circumcenter, ortocentrum, devítibodový střed, symmediánský bod, Gergonne bod a Nagel point.[16]
- Všechny heronské trojúhelníky lze umístit na mřížku s každým vrcholem v mřížovém bodě.[17]
Přesný vzorec pro všechny heronské trojúhelníky
Indický matematik Brahmagupta (598-668 n. L.) Odvodil parametrické řešení tak, že každý heronský trojúhelník má strany úměrné:[18][19]
pro celá čísla m, n a k kde:
- .
Faktor proporcionality je obecně racionálnístr⁄q kdeq = gcd (a, b, c) redukuje vygenerovaný heronský trojúhelník na jeho primitivní astr zvětší tento primitiv na požadovanou velikost. Například brát m = 36, n = 4 a k = 3 vytvoří trojúhelník s A = 5220, b = 900 a C = 5400, což je obdoba heronského trojúhelníku 5, 29, 30 a použitý faktor proporcionality má str = 1 a q = 180.
Překážkou pro výpočetní využití parametrického řešení Brahmagupty je jmenovatel q faktoru proporcionality. q lze určit pouze výpočtem největší společný dělitel ze tří stran (gcd (a, b, c)) a zavádí do procesu generování prvek nepředvídatelnosti.[19] Nejjednodušší způsob generování seznamů heronských trojúhelníků je generování všech celočíselných trojúhelníků do maximální délky strany a testování integrální oblasti.
Rychlejší algoritmy byly odvozeny od Kurz (2008).
Existuje nekonečně mnoho primitivních a nerozložitelných nepythagorovských heronských trojúhelníků s celočíselnými hodnotami pro inradius a všechny tři exradii, včetně těch, které generuje[20]:Thm. 4
Existuje nekonečně mnoho heronských trojúhelníků, které lze umístit na mřížku tak, že nejenže jsou vrcholy v mřížových bodech, jak to platí pro všechny heronské trojúhelníky, ale navíc středy incircle a excircles jsou v mřížových bodech.[20]:Thm. 5
Viz také vzorce pro Heronské trojúhelníky s jedním úhlem rovným dvojnásobku druhého, Heronské trojúhelníky se stranami v aritmetickém postupu, a rovnoramenné heronské trojúhelníky.
Druhý přístup

Tangenta poloviny jakéhokoli vnitřního úhlu heronského trojúhelníku je nutně racionální; viz vlastnosti výše. Tyto poloviční úhly jsou kladné a jejich součet je 90 ° (π/2 radiány), protože vnitřní úhly (A, B, C) součet na 180 ° (π radiány). Začneme výběrem r = opálení (A/2) a s = opálení (B/2) být jakákoli pozitivní racionální čísla uspokojující rs < 1. Mezní hodnota 1 tento úhel zajišťuje A/2 + B/2 je menší než 90 ° a tedy úhel C/2 bude pozitivní. Hodnota t = opálení (C/2) bude také kladné racionální číslo, protože
Můžeme vypočítat sinus libovolného úhlu pomocí vzorce . Používáme Zákon sinusů k závěru, že délky stran jsou úměrné sinusům vnitřních úhlů:
Hodnoty A, b, a C jsou racionální, protože hodnoty r, s, a t jsou racionální. Hodnoty celých čísel pro délky stran lze získat vynásobením délek stran celým číslem, které vymaže jmenovatele.
Když je to také tak r, snebo t se rovná 1, pak bude odpovídající vnitřní úhel a pravý úhel a tři strany budou také definovat a Pytagorejský trojnásobek.
Příklady
Seznam primitivních celých heronských trojúhelníků seřazených podle oblastí a, pokud je stejný, podle obvod, začíná jako v následující tabulce. „Primitivní“ znamená, že největší společný dělitel ze tří délek stran se rovná 1.
Plocha | Obvod | délka strany b + d | délka strany e | délka strany c |
---|---|---|---|---|
6 | 12 | 5 | 4 | 3 |
12 | 16 | 6 | 5 | 5 |
12 | 18 | 8 | 5 | 5 |
24 | 32 | 15 | 13 | 4 |
30 | 30 | 13 | 12 | 5 |
36 | 36 | 17 | 10 | 9 |
36 | 54 | 26 | 25 | 3 |
42 | 42 | 20 | 15 | 7 |
60 | 36 | 13 | 13 | 10 |
60 | 40 | 17 | 15 | 8 |
60 | 50 | 24 | 13 | 13 |
60 | 60 | 29 | 25 | 6 |
66 | 44 | 20 | 13 | 11 |
72 | 64 | 30 | 29 | 5 |
84 | 42 | 15 | 14 | 13 |
84 | 48 | 21 | 17 | 10 |
84 | 56 | 25 | 24 | 7 |
84 | 72 | 35 | 29 | 8 |
90 | 54 | 25 | 17 | 12 |
90 | 108 | 53 | 51 | 4 |
114 | 76 | 37 | 20 | 19 |
120 | 50 | 17 | 17 | 16 |
120 | 64 | 30 | 17 | 17 |
120 | 80 | 39 | 25 | 16 |
126 | 54 | 21 | 20 | 13 |
126 | 84 | 41 | 28 | 15 |
126 | 108 | 52 | 51 | 5 |
132 | 66 | 30 | 25 | 11 |
156 | 78 | 37 | 26 | 15 |
156 | 104 | 51 | 40 | 13 |
168 | 64 | 25 | 25 | 14 |
168 | 84 | 39 | 35 | 10 |
168 | 98 | 48 | 25 | 25 |
180 | 80 | 37 | 30 | 13 |
180 | 90 | 41 | 40 | 9 |
198 | 132 | 65 | 55 | 12 |
204 | 68 | 26 | 25 | 17 |
210 | 70 | 29 | 21 | 20 |
210 | 70 | 28 | 25 | 17 |
210 | 84 | 39 | 28 | 17 |
210 | 84 | 37 | 35 | 12 |
210 | 140 | 68 | 65 | 7 |
210 | 300 | 149 | 148 | 3 |
216 | 162 | 80 | 73 | 9 |
234 | 108 | 52 | 41 | 15 |
240 | 90 | 40 | 37 | 13 |
252 | 84 | 35 | 34 | 15 |
252 | 98 | 45 | 40 | 13 |
252 | 144 | 70 | 65 | 9 |
264 | 96 | 44 | 37 | 15 |
264 | 132 | 65 | 34 | 33 |
270 | 108 | 52 | 29 | 27 |
288 | 162 | 80 | 65 | 17 |
300 | 150 | 74 | 51 | 25 |
300 | 250 | 123 | 122 | 5 |
306 | 108 | 51 | 37 | 20 |
330 | 100 | 44 | 39 | 17 |
330 | 110 | 52 | 33 | 25 |
330 | 132 | 61 | 60 | 11 |
330 | 220 | 109 | 100 | 11 |
336 | 98 | 41 | 40 | 17 |
336 | 112 | 53 | 35 | 24 |
336 | 128 | 61 | 52 | 15 |
336 | 392 | 195 | 193 | 4 |
360 | 90 | 36 | 29 | 25 |
360 | 100 | 41 | 41 | 18 |
360 | 162 | 80 | 41 | 41 |
390 | 156 | 75 | 68 | 13 |
396 | 176 | 87 | 55 | 34 |
396 | 198 | 97 | 90 | 11 |
396 | 242 | 120 | 109 | 13 |
Seznamy primitivních heronských trojúhelníků, jejichž strany nepřesahují 6 000 000, najdete na "Seznamy primitivních heronských trojúhelníků". Sascha Kurz, University of Bayreuth, Německo. Citováno 29. března 2016.
Rovnoměrné trojúhelníky
Tvar se nazývá vyrovnaný pokud se jeho plocha rovná jeho obvodu. Rovných heronských trojúhelníků je přesně pět: trojúhelníky s délkami stran (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20) a (9,10 , 17).[21][22]
Téměř rovnostranné heronské trojúhelníky
Vzhledem k tomu, že oblast rovnostranný trojúhelník s racionálními stránkami je iracionální číslo, žádný rovnostranný trojúhelník není Heronian. Existuje však jedinečná posloupnost heronských trojúhelníků, které jsou „téměř rovnostranné“, protože tři strany mají tvar n − 1, n, n + 1. Metoda generování všech řešení tohoto problému založená na pokračující zlomky byl popsán v roce 1864 autorem Edward Sang,[23] a v roce 1880 Reinhold Hoppe dal uzavřený výraz pro řešení.[24] Prvních několik příkladů těchto téměř rovnostranných trojúhelníků je uvedeno v následující tabulce (sekvence A003500 v OEIS ):
Délka strany | Plocha | Inradius | ||
---|---|---|---|---|
n − 1 | n | n + 1 | ||
3 | 4 | 5 | 6 | 1 |
13 | 14 | 15 | 84 | 4 |
51 | 52 | 53 | 1170 | 15 |
193 | 194 | 195 | 16296 | 56 |
723 | 724 | 725 | 226974 | 209 |
2701 | 2702 | 2703 | 3161340 | 780 |
10083 | 10084 | 10085 | 44031786 | 2911 |
37633 | 37634 | 37635 | 613283664 | 10864 |
Následné hodnoty n lze najít vynásobením předchozí hodnoty číslem 4 a odečtením hodnoty před touto hodnotou (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14 atd.), tedy:
kde t označuje libovolný řádek v tabulce. Tohle je Lucasova sekvence. Alternativně vzorec generuje vše n. Ekvivalentně, pojďme A = plocha a y = tedy inradius,
kde {n, y} jsou řešení n2 − 12y2 = 4. Malá transformace n = 2x poskytuje konvenční Pellova rovnice X2 − 3y2 = 1, jehož řešení lze poté odvodit z pravidelný pokračující zlomek expanze pro √3.[25]
Proměnná n je ve formě , kde k je 7, 97, 1351, 18817,…. Čísla v tomto pořadí mají tu vlastnost, že k po sobě jdoucí celá čísla mají integrál standardní odchylka.[26]
Viz také
- Heronský čtyřstěn
- Brahmagupta čtyřúhelník
- Robbins pětiúhelník
- Celočíselný trojúhelník # Heronské trojúhelníky
Reference
- ^ Carlson, John R. (1970), „Stanovení heronských trojúhelníků“ (PDF), Fibonacci čtvrtletně, 8: 499–506
- ^ Beauregard, Raymond A .; Suryanarayan, E. R. (leden 1998), „Brahmaguptovské trojúhelníky“ (PDF), College Mathematics Journal, 29 (1): 13–17, doi:10.2307/2687630, JSTOR 2687630
- ^ Weisstein, Eric W. „Heronský trojúhelník“. MathWorld.
- ^ A b C Yiu, Paul (2008), Heron trojúhelníky, které nelze rozložit na dva celočíselné pravé trojúhelníky (PDF), 41. zasedání floridské sekce Mathematical Association of America
- ^ Sierpiński, Wacław (2003) [1962], Pythagorovy trojúhelníky, Dover Publications, Inc., ISBN 978-0-486-43278-6
- ^ A b Friche, Jan (2. ledna 2002). "Na heronských jednoduchostech a vkládání celých čísel". Publikace Ernst-Moritz-Arndt Universät Greiswald. arXiv:matematika / 0112239. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Buchholz, R. H .; MacDougall, J. A. (2001). "Cyklické polygony s racionálními stranami a plochou". CiteSeerX Penn State University: 3. CiteSeerX 10.1.1.169.6336. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ A b Somos, M. (Prosinec 2014). „Racionální trojúhelníky“. Citováno 2018-11-04.
- ^ Mitchell, Douglas W. (2013), „Perpendicular Bisectors of Triangle Sides“, Fórum Geometricorum 13, 53−59: Věta 2.
- ^ A b Carlson, John R. (1970). "Určení heronských trojúhelníků" (PDF). San Diego State College. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - ^ Buchholz, R. H .; MacDougall, J. A. (1999). „Heron Quadrilaterals with sides in Arithmetic or Geometric progression“. Bulletin of Australian Mathematical Society. 59: 263–269. doi:10.1017 / s0004972700032883.
- ^ Blichfeldt, H. F. (1896–1897). „Na trojúhelnících s racionálními stranami a majících racionální oblasti“. Annals of Mathematics. 11 (1/6): 57–60. doi:10.2307/1967214. JSTOR 1967214.
- ^ Zelator, K., „Úhly a strany trojúhelníku v progresi a diofantická rovnice x2+ 3 roky2= z2", Cornell Univ. archiv, 2008
- ^ Bailey, Herbert a DeTemple, Duane, „Čtverce vepsané do úhlů a trojúhelníků“, Matematický časopis 71(4), 1998, 278–284.
- ^ Clark Kimberling, „Trilineární nerovnosti vzdálenosti pro symediánský bod, těžiště a další středy trojúhelníků“, Fórum Geometricorum, 10 (2010), 135−139. http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201015index.html
- ^ Encyklopedie trojúhelníkových center Clarka Kimberlinga „Encyklopedie trojúhelníkových center“. Archivovány od originál dne 19. 4. 2012. Citováno 2012-06-17.
- ^ Yiu, P., „Heronské trojúhelníky jsou mřížkové trojúhelníky“, Americký matematický měsíčník 108 (2001), 261–263.
- ^ Carmichael, R. D., 1914, "Diophantine Analysis", str. 11-13; v R. D. Carmichael, 1959, Teorie čísel a analýza diofantinu, Dover Publications, Inc.
- ^ A b Kurz, Sascha (2008). „O generaci heronských trojúhelníků“. Serdica Journal of Computing. 2 (2): 181–196. arXiv:1401.6150. Bibcode:2014arXiv1401,6150K. PAN 2473583.CS1 maint: ref = harv (odkaz).
- ^ A b Zhou, Li, „Primitivní heronské trojúhelníky s celým číslem Inradius a Exradii“, Fórum Geometricorum 18, 2018, 71-77. http://forumgeom.fau.edu/FG2018volume18/FG201811.pdf
- ^ Dickson, Leonard Eugene (2005), Historie teorie čísel, svazek Il: Diophantine Analysis Publikace Dover, s. 199, ISBN 9780486442334
- ^ Markowitz, L. (1981), "Plocha = Obvod", Učitel matematiky, 74 (3): 222–3
- ^ Sang, Edward „O teorii odměn“, Transakce Royal Society of Edinburgh, 23: 721–760, doi:10.1017 / s0080456800020019. Viz zejména str. 734.
- ^ Gould, H. W. (únor 1973), „Trojúhelník s integrálními stranami a plochou“ (PDF), Fibonacci čtvrtletně, 11 (1): 27–39.
- ^ Richardson, William H. (2007), Superheronské trojúhelníky
- ^ Online encyklopedie celočíselných sekvencí, OEIS: A011943.
externí odkazy
- Weisstein, Eric W. "Heronský trojúhelník". MathWorld.
- Online encyklopedie celočíselných sekvencí Heronský
- Wm. Fitch Cheney, Jr. (leden 1929), „Heronské trojúhelníky“, Amer. Matematika. Měsíční, 36 (1): 22–28, JSTOR 2300173
- S. sh. Kozhegel'dinov (1994), „O základních heronských trojúhelnících“, Matematika. Poznámky, 55 (2): 151–6, doi:10.1007 / BF02113294