Ternární děj - Ternary plot

A ternární spiknutí, ternární graf, trojúhelníkový graf, simplexní spiknutí, Gibbsův trojúhelník nebo de Finettiho diagram je barycentrický spiknutí na tři proměnné, které součet na konstantu. Graficky zobrazuje poměry tří proměnných jako pozic v rovnostranný trojúhelník. Používá se v fyzikální chemie, petrologie, mineralogie, hutnictví a další fyzikální vědy, které ukazují složení systémů složených ze tří druhů. v populační genetika, často se tomu říká a de Finettiho diagram. v herní teorie, často se tomu říká a simplexní spiknutí.^[1] Ternární grafy jsou nástroje pro analýzu údaje o složení v trojrozměrném případě.

Přibližné barvy slitin Ag – Au – Cu při výrobě šperků

V ternárním grafu jsou hodnoty tří proměnných $A$ , $b$ , a $C$ musí součet nějaké konstanty, $K.$ . Obvykle je tato konstanta reprezentována jako 1,0 nebo 100%. Protože $A + b + C = K.$ pro všechny látky, které se zobrazují v grafu, není každá proměnná nezávislá na ostatních, takže k nalezení bodu vzorku v grafu musí být známy pouze dvě proměnné: například $C$ musí se rovnat $K. - A - b$ . Protože tři číselné hodnoty se nemohou lišit nezávisle - existují pouze dvě stupně svobody —Je možné grafovat kombinace všech tří proměnných pouze ve dvou dimenzích.

Čtení hodnot na ternárním grafu

Výhoda použití ternárního grafu pro zobrazení chemické složení je, že tři proměnné lze pohodlně vykreslit do dvourozměrného grafu. K vytváření lze také použít ternární grafy fázové diagramy načrtnutím oblastí kompozice na pozemku, kde existují různé fáze.

Každý bod na ternárním grafu představuje odlišné složení tří složek.

Paralela k straně trojúhelníku je lokus bodů představujících systémy s konstantou chemické složení v komponentě umístěné ve vrcholu proti straně.

K určení poměru tří druhů ve složení se používají tři běžné metody.

První metodou je odhad založený na mřížce fázového diagramu. Koncentrace každého druhu je 100% (čistá fáze) v každém rohu trojúhelníku a 0% v přímce proti němu. Procento konkrétního druhu klesá lineárně s rostoucí vzdáleností od tohoto rohu, jak je vidět na obrázcích 3–8. Kreslením rovnoběžných čar v pravidelných intervalech mezi nulovou čarou a rohem (jak je vidět na obrázcích) lze vytvořit jemné rozdělení pro snadný odhad obsahu druhu. Pro daný bod je zlomek každého ze tří materiálů ve směsi lze určit prvním.

U fázových diagramů, které neobsahují mřížkové čáry, je nejjednodušší způsob, jak určit složení, nastavit nadmořskou výšku trojúhelníku na 100% a určit nejkratší vzdálenosti od bodu zájmu ke každé ze tří stran. Podle Vivianiho věta, vzdálenosti (poměry vzdáleností k celkové výšce 100%) dávají obsah každého z druhů, jak je znázorněno na obrázku 1.

Třetí metoda je založena na větším počtu měření, ale nevyžaduje kreslení kolmých čar. Přímé čáry jsou nakresleny z každého rohu přes bod zájmu na opačnou stranu trojúhelníku. Délky těchto čar, stejně jako délky segmentů mezi bodem a odpovídajícími stranami, se měří jednotlivě. Poměry pak lze určit vydělením těchto segmentů celou odpovídající čarou, jak je znázorněno na obrázku 2. (Součet poměrů by měl být přidán k 1).

Obrázek 1. Metoda nadmořské výšky
Obrázek 2. Metoda průniku
Obrázek 3. Příklad ternárního diagramu bez vykreslení bodů.
Obrázek 4. Příklad ternárního diagramu zobrazujícího přírůstky podél první osy.
Obrázek 5. Příklad ternárního diagramu zobrazujícího přírůstky podél druhé osy.
Obrázek 6. Příklad ternárního diagramu zobrazujícího přírůstky podél třetí osy.
Obrázek 7. Prázdný ternární graf
Obrázek 8. Indikace toho, jak tři osy fungují.

Odvození od kartézských souřadnic

Odvození ternárního grafu z kartézských souřadnic

Obrázek (1) ukazuje šikmá projekce bodu $P (A, b, C)$ v trojrozměrném Kartézský prostor se sekerami $A$ , $b$ a $C$ , resp.

Li $A + b + C = K.$ (kladná konstanta), $P$ je omezeno na letadlo obsahující $A(K.,0,0)$ , $B (0, K.,0)$ a $C (0,0, K.)$ . Li $A$ , $b$ a $C$ každý nemůže být záporný, $P$ je omezeno na trojúhelník ohraničený $A$ , $B$ a $C$ , jako v (2).

V bodě (3) se osy otáčejí, čímž se získá izometrické Pohled. Zobrazí se trojúhelník při pohledu zepředu rovnostranný.

V (4) jsou vzdálenosti $P$ z řádků $před naším letopočtem$ , $AC$ a $AB$ jsou označeny $A'$ , $b'$ a $C'$ , resp.

Pro jakoukoli linku $l = s + t n̂$ ve vektorové podobě ( $n̂$ je jednotkový vektor) a bod $p$ , kolmá vzdálenost z $p$ na $l$ je

{ displaystyle left | ( mathbf {s} - mathbf {p}) - { bigl (} ( mathbf {s} - mathbf {p}) cdot mathbf { hat {n}} { bigr)} mathbf { hat {n}} doprava | ,.}

V tomto případě bod $P$ je v

{ displaystyle mathbf {p} = { begin {pmatrix} a b c end {pmatrix}} ,.}

Čára $před naším letopočtem$ má

{ displaystyle mathbf {s} = { začátek {pmatrix} 0 K 0 konec {pmatrix}} quad { text {a}} quad mathbf { hat {n}} = { frac {{ begin {pmatrix} 0 K 0 end {pmatrix}} - { begin {pmatrix} 0 0 K end {pmatrix}}} { left | { začátek {pmatrix} 0 K 0 konec {pmatrix}} - { begin {pmatrix} 0 0 K end {pmatrix}} doprava |}} = { frac { začátek {pmatrix} 0 K - K end {pmatrix}} { sqrt {0 ^ {2} + K ^ {2} + {(- K)} ^ {2}}}} = { začátek {pmatrix} 0 { frac {1} { sqrt {2}}} - { frac {1} { sqrt {2}}} end {pmatrix}} ,.}

Pomocí vzorce kolmé vzdálenosti

{ displaystyle { begin {zarovnáno} a '& = left | { begin {pmatrix} -a Kb - c end {pmatrix}} - left ({ begin {pmatrix} -a Kb - c end {pmatrix}} cdot { begin {pmatrix} 0 { frac {1} { sqrt {2}}} - { frac {1} { sqrt {2}}} end {pmatrix}} right) { begin {pmatrix} 0 { frac {1} { sqrt {2}}} - { frac {1} { sqrt { 2}}} end {pmatrix}} right | [10px] & = left | { begin {pmatrix} -a Kb - c end {pmatrix}} - left ( 0 + { frac {Kb} { sqrt {2}}} + { frac {c} { sqrt {2}}} right) { begin {pmatrix} 0 { frac {1} { sqrt {2}}} - { frac {1} { sqrt {2}}} end {pmatrix}} right | [10px] & = left | { begin {pmatrix } -a Kb - { frac {K-b + c} {2}} - c + { frac {K-b + c} {2}} end {pmatrix}} right | = left | { begin {pmatrix} -a { frac {Kbc} {2}} { frac {Kbc} {2}} end {pmatrix}} right | [10px ] & = { sqrt {{(-a)} ^ {2} + { left ({ frac {Kbc} {2}} right)} ^ {2} + { left ({ frac {Kbc } {2}} right)} ^ {2}}} = { sqrt {a ^ {2} + { frac {{(Kbc)} ^ {2}} {2}}}} ,. konec {zarovnáno}}}

Střídání $K. = A + b + C$ ,

{ displaystyle a '= { sqrt {a ^ {2} + { frac {{(a + b + cbc)} ^ {2}} {2}}}} = { sqrt {a ^ {2} + { frac {a ^ {2}} {2}}}} = a { sqrt { frac {3} {2}}} ,.}

Podobný výpočet na řádcích $AC$ a $AB$ dává

{ displaystyle b '= b { sqrt { frac {3} {2}}} quad { text {a}} quad c' = c { sqrt { frac {3} {2}}} ,.}

To ukazuje, že vzdálenost bodu od příslušných čar je lineárně úměrná původním hodnotám $A$ , $b$ a $C$ .^[2]

Vytvoření ternárního pozemku

Kartézské souřadnice jsou užitečné pro vykreslování bodů v trojúhelníku. Zvažte rovnostranný ternární graf, kde $A = 100%$ je umístěn na $(X, y) = (0,0)$ a $b = 100%$ v $(1,0)$ . Pak $C = 100%$ je $(1 / 2, \sqrt 3 / 2)$ a trojnásobek $(A, b, C)$ je

{ displaystyle left ({ frac {1} {2}} cdot { frac {2b + c} {a + b + c}}, { frac { sqrt {3}} {2}} cdot { frac {c} {a + b + c}} vpravo) ,.}

Příklad

Zbarvený půdní texturní trojúhelník z Ministerstvo zemědělství USA

Tento příklad ukazuje, jak to funguje u hypotetické sady tří vzorků půdy:

Vzorek	Jíl	Silt	Písek	Poznámky
Ukázka 1	50%	20%	30%	Protože jíl a bahno tvoří dohromady 70% tohoto vzorku, musí být podíl písku 30%, aby součásti dosáhly 100%.
Ukázka 2	10%	60%	30%	Podíl písku je 30% jako ve vzorku 1, ale s nárůstem podílu bahna o 40% se odpovídajícím způsobem snižuje podíl jílu.
Ukázka 3	10%	30%	60%	Tento vzorek má stejný podíl jílu jako vzorek 2, ale podíly bahna a písku jsou vyměněny; děj se odráží kolem jeho svislé osy.

Vynesení bodů

Plotting Sample 1 (1): Najděte linii 50% jílu
Ukázka vykreslení 1 (2): Najděte 20% bahno
Ukázka vykreslení 1 (3): Průnik se shoduje s 30% hranicí písku, protože je matematicky závislý na prvních dvou
Plotování všech vzorků

Viz také

Zdánlivá molární vlastnost
Vivianiho věta
Barycentrické souřadnice (matematika)
Kompoziční údaje
Seznam informačního grafického softwaru
Druhy ternárních pozemků:
- Chromatický diagram
- de Finettiho diagram
- Diagram hořlavosti
- Jensenův kationový graf
- Piper diagram, používaný v hydrochemii
- QFL diagram
Projekt trojúhelník
Trilema

Reference

^ Karl Tuyls, „Evoluční herně-teoretická analýza pokerových strategií“, Zábava na počítači Leden 2009 doi:10.1016 / j.entcom.2009.09.002, str. 9
^ Vaughan, Will (5. září 2010). „Ternární zápletky“. Archivovány od originál 20. prosince 2010. Citováno 7. září 2010.

externí odkazy

„Šablona Excel pro ternární diagramy“. serc.carleton.edu. Science Education Resource Center (SERC) Carleton College. Citováno 14. května 2020.
„Tri-plot: Ternary diagram plotting software“. www.lboro.ac.uk. Univerzita Loughborough - Katedra geografie / zdrojů Domovská stránka brány> Tri-plot. Citováno 14. května 2020.
"Ternary Plot Generator - Rychle vytvářejte ternární diagramy online". www.ternaryplot.com. Citováno 14. května 2020.
Holland, Steven (2016). „Analýza dat v geovědách - ternární diagramy vyvinuté v jazyce R.“. vrstvy.uga.edu. University of Georgia. Citováno 14. května 2020.

[1] Karl Tuyls, „Evoluční herně-teoretická analýza pokerových strategií“, Zábava na počítači Leden 2009 doi:10.1016 / j.entcom.2009.09.002, str. 9

[Vaughan-2] Vaughan, Will (5. září 2010). „Ternární zápletky“. Archivovány od originál 20. prosince 2010. Citováno 7. září 2010.

[1]

[2]

Řešení
Řešení	Ideální řešení Vodný roztok Pevné řešení Pufrovací roztok Flory – Huggins Směs Suspenze Koloidní Fázový diagram Fázová separace Eutektický bod Slitina Nasycení Přesycení Sériové ředění Ředění (rovnice) Zdánlivá molární vlastnost Mezera mísitelnosti
Koncentrace a související množství	Molární koncentrace Hromadná koncentrace Koncentrace čísel Objemová koncentrace Normálnost Molalita Molární zlomek Hmotnostní zlomek Izotopová hojnost Míchací poměr Ternární děj
Rozpustnost	Rovnováha rozpustnosti Celkový obsah rozpuštěných pevných látek Řešení Solvation shell Entalpie řešení Mřížová energie Raoultův zákon Henryho zákon Tabulka rozpustnosti (údaje) Tabulka rozpustnosti
Solventní	(Kategorie) Disociační konstanta kyseliny Protické rozpouštědlo Anorganické nevodné rozpouštědlo Řešení Seznam informací o varu a zmrazení rozpouštědel Rozdělovací koeficient Polarita Hydrofob Hydrofil Lipofilní Amphiphile Lyoniový ion Lyátový ion