Devítibodový kruh - Nine-point circle

Devět bodů

I když orthocenter a circumcenter spadají mimo trojúhelník, konstrukce stále funguje.

v geometrie, devítibodový kruh je kruh které lze postavit pro jakýkoli daný trojúhelník. Je pojmenován tak, protože prochází devíti významnými koncyklické body definované z trojúhelníku. Těchto devět bodů jsou:

• The střed každé strany trojúhelníku
• The chodidlo každého nadmořská výška
• Střed bodu úsečka od každého vrchol trojúhelníku k ortocentrum (kde se setkávají tři nadmořské výšky; tyto úsečky leží v příslušných nadmořských výškách).^[1][2]

Devítibodový kruh je také známý jako Feuerbachův kruh, Eulerův kruh, Terquem kruh, šestibodový kruh, dvanáctibodový kruh, n-bodový kruh, medioscribe circle, střední kruh nebo obvodový kruh. Jeho středem je devítibodový střed trojúhelníku.^[3][4]

Devět významných bodů

Výše uvedený diagram ukazuje devět významných bodů devítibodové kružnice. Body D, E, a F jsou středy tří stran trojúhelníku. Body G, H, a Já jsou nohy výšek trojúhelníku. Body J, K., a L jsou středy úseček mezi jednotlivými nadmořskými výškami vrchol průsečík (body A, B, a C) a ortocentrum trojúhelníku (bod S).

Pro akutní trojúhelník, šest z bodů (středy a výškové stopy) leží na samotném trojúhelníku; pro tupý trojúhelník dvě z výšek mají nohy mimo trojúhelník, ale tyto nohy stále patří do devítibodového kruhu.

Objev

I když je za jeho objev připočítán, Karl Wilhelm Feuerbach neobjevil úplně devítibodový kruh, ale spíše šestibodový kruh, uznávající význam středních bodů tří stran trojúhelníku a nohou výšek tohoto trojúhelníku. (Viz obr. 1, body D, E, F, G, H, a I.) (O něco dříve, Charles Brianchon a Jean-Victor Poncelet uvedla a prokázala stejnou větu.) Ale brzy poté, Feuerbach, matematik Olry Terquem sám dokázal existenci kruhu. Byl prvním, kdo rozpoznal další význam tří středů mezi vrcholy trojúhelníku a orthocentrem. (Viz obr. 1, body J, K, a L.) Terquem tedy jako první použil název devítibodový kruh.

Tečné kruhy

Devítibodová kružnice je tečná k incircle a excircles

V roce 1822 Karl Feuerbach zjistil, že devítibodový kruh kteréhokoli trojúhelníku je zvenčí tečna na trojku toho trojúhelníku excircles a vnitřně se dotýká jeho incircle; tento výsledek je znám jako Feuerbachova věta. Dokázal, že:

... kruh, který prochází nohami výšek trojúhelníku, je tečný ke všem čtyřem kruhům, které jsou zase tečné ke třem stranám trojúhelníku ... (Feuerbach 1822 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFFeuerbach1822 (Pomoc)

The střed trojúhelníku ve kterém se incircle a devítibodový kruhový dotek nazývá Feuerbachův bod.

Další vlastnosti devítibodové kružnice

• Poloměr trojúhelníku obvod je dvakrát poloměr devítibodové kružnice trojúhelníku.^[5]:str.153

Obrázek 3

• Devítibodová kružnice půlí úsečku vedoucí z ortocentra příslušného trojúhelníku do libovolného bodu v jeho kruhovém kruhu.

Obrázek 4

• Střed N devítibodové kružnice půlí segment z ortocentra H do circumcenter Ó (aby se z orthocentra stal střed dilatace do obou kruhů):^[5]:str.152

NA = NH.

• Devítibodový střed N je čtvrtina cesty podél Eulerova linie z těžiště G do orthocentra H:^[5]:str.153

HN = 3NG.

• Nechat ${ displaystyle omega}$ být devítibodová kružnice úhlopříčného trojúhelníku cyklického čtyřúhelníku. Průsečík bimédiánů cyklického čtyřúhelníku patří do devítibodové kružnice.^[6][7]

abeceda je cyklický čtyřúhelník. EFG je úhlopříčný trojúhelník abeceda. Bod T křižovatky bimediánů z abeceda patří do devítibodového kruhu EFG.

• Devítibodová kružnice referenčního trojúhelníku je obvodem obou referenčních trojúhelníků mediální trojúhelník (s vrcholy ve středech stran referenčního trojúhelníku) a jeho ortický trojúhelník (s vrcholy u nohou výšek referenčního trojúhelníku).^[5]:str.153
• Centrum všeho obdélníkové hyperboly které procházejí vrcholy trojúhelníku leží na jeho devítibodové kružnici. Jako příklady lze uvést známé obdélníkové hyperboly Keiperta, Jeřábek a Feuerbach. Tato skutečnost je známá jako kuželovitá věta o Feuerbachovi.

Kruh devíti bodů a 16 tečných kruhů ortocentrického systému

• Pokud ortocentrický systém čtyř bodů A, B, C a H je dáno, pak všechny čtyři trojúhelníky tvořené libovolnou kombinací tří odlišných bodů tohoto systému sdílejí stejný devětbodový kruh. To je důsledek symetrie: strany jednoho trojúhelníku sousedícího s vrcholem, který je orthocentrem jiného trojúhelníku, jsou segmenty z toho druhého trojúhelníku. Třetí střed leží na jejich společné straně. (Stejné „středy“, které definují samostatné devítibodové kruhy, musí být tyto kruhy souběžné.)
• V důsledku toho mají tyto čtyři trojúhelníky circumcircles se stejnými poloměry. Nechat N představují společný devítibodový střed a P být libovolný bod v rovině ortocentrického systému. Pak

NA²+Pozn²+NC²+NH² = 3R²

kde R je běžné circumradius; a pokud

PA²+PB²+PC²+PH² = K.²,

kde K. se udržuje konstantní, pak se nachází lokus P je kruh se středem na N s poloměrem ${ displaystyle scriptstyle { frac {1} {2}} { sqrt {K ^ {2} -3R ^ {2}}}}$. Tak jako P přístupy N místo P pro odpovídající konstantu K., se zhroutí na N devítibodový střed. Kromě toho je devítibodový kruh lokusem P takhle

PA²+PB²+PC²+PH² = 4R².

• Středy incircle a excircles z trojúhelníku tvoří ortocentrický systém. Devítibodová kružnice vytvořená pro tento ortocentrický systém je kruhem původního trojúhelníku. Nohy výšek v ortocentrickém systému jsou vrcholy původního trojúhelníku.
• Pokud čtyři libovolné body A, B, C, D jsou uvedeny, které netvoří ortocentrický systém, pak devítibodové kruhy ABC, BCD, CDA a DAB souhlasit v bodě. Zbývajících šest průsečíků těchto devítibodových kruhů se shoduje se středy čtyř trojúhelníků. Je pozoruhodné, že existuje jedinečná devítibodová kuželovice se středem těžiště těchto čtyř libovolných bodů, která prochází všemi sedmi průsečíky těchto devítibodových kruhů. Navíc kvůli výše zmíněné kuželovité větě Feuerbach existuje jedinečný obdélníkový cirkadiální, se středem ve společném průsečíku čtyř devítibodových kruhů, který prochází čtyřmi původními libovolnými body i ortocentry čtyř trojúhelníků.
• Pokud čtyři body A, B, C, D jsou uvedeny, že forma a cyklický čtyřúhelník, pak devítibodové kruhy ABC, BCD, CDA a DAB souhlasit s anticenter cyklického čtyřúhelníku. Devítibodové kružnice jsou shodné s poloměrem polovičním o poloměru kruhového kruhu cyklického čtyřúhelníku. Devítibodové kruhy tvoří sadu čtyř Johnsonovy kruhy. V důsledku toho jsou čtyři devítibodové středy cyklické a leží na kružnici shodné se čtyřmi devítibodovými kružnicemi, která je vycentrována na anticentru cyklického čtyřúhelníku. Kromě toho je cyklický čtyřúhelník vytvořený ze čtyř středů devíti mostů homotetický na referenční cyklický čtyřúhelník abeceda faktorem -¹/₂ a jeho homotetické centrum (N) leží na linii spojující circumcenter (Ó) do anticentra (M) kde

NA = 2NM.

• The ortopole řádků procházejících circumcenterem leží na devítibodové kružnici.
• Obvodový kruh trojúhelníku, jeho devítibodový kruh, jeho polární kruh a jeho obvod tangenciální trojúhelník^[8] jsou koaxiální.^[9]
• Trilineární souřadnice pro střed Kiepertova hyperbola jsou

(b² - c²)²/A : (C² − A²)²/b : (A² − b²)²/C

• Trilineární souřadnice středu Jeřábkovy hyperboly jsou

cos A hřích²(B − C): cos B hřích²(C − A): cos C hřích²(A − B)

• Pronájem X : y : z být proměnný bod v trilineárních souřadnicích, rovnice pro devítibodovou kružnici je

X²hřích2A + y²hřích 2B + z²hřích 2C − 2(yz hříchA + zx hříchB + xy hříchC) = 0.

Zobecnění

Kruh je instancí a kuželovitý řez a devítibodová kružnice je instancí obecné devítibodové kuželosečky, která byla vytvořena ve vztahu k trojúhelníku ABC a čtvrtý bod P, kde konkrétní instance devítibodového kruhu vznikne, když P je orthocenter z ABC. Vrcholy trojúhelníku a P určit a kompletní čtyřúhelník a tři „úhlopříčné body“, kde se protínají protilehlé strany čtyřúhelníku. V čtyřúhelníku je šest „vedlejších linií“; devítibodová kuželovina protíná jejich středy a zahrnuje také úhlopříčné body. Kuželovitý je elipsa když P je interiér ABC nebo v oblasti sdílení svislé úhly s trojúhelníkem, ale a devítibodová hyperbola nastane, když P je v jedné ze tří přilehlých oblastí a hyperbola je obdélníková, když P leží na obvodu kruhu ABC.

Viz také

• Lesterova věta
• Poncelet point
• Syntetická geometrie

Poznámky

Reference

• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2. vyd.), New York: Barnes & Noble, LCCN  52013504
• Feuerbach, Karl Wilhelm; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (Monografie vyd.), Nürnberg: Wiessner.
• Kay, David C. (1969), College Geometry, New York: Holt, Rinehart a Winston, LCCN  69012075
• Fraivert, David (2019), „Nové body, které patří do devítibodového kruhu“, Matematický věstník, 103 (557): 222–232, doi:10.1017 / mag.2019.53
• Fraivert, David (2018), "Nové aplikace metody komplexních čísel v geometrii cyklických čtyřúhelníků" (PDF), International Journal of Geometry, 7 (1): 5–16

externí odkazy

• „Javascriptová ukázka devítibodového kruhu“ na rykap.com
• Encyclopedia of Triangles Centers Clark Kimberling. Devítibodový střed je indexován jako X (5), Feuerbachův bod jako X (11), střed Kiepertovy hyperboly jako X (115) a střed Jeřábkovy hyperboly jako X (125).
• Historie o devítibodovém kruhu na základě J.S. MacKayův článek z roku 1892: Historie kruhu devíti bodů
• Weisstein, Eric W. „Devítibodový kruh“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Orthopole". MathWorld.
• Kruh devíti bodů v Javě na cut-the-uzel
• Feuerbachova věta: důkaz na cut-the-uzel
• Speciální čáry a kruhy v trojúhelníku Walter Fendt
• Interaktivní Java applet ukazující několik středů trojúhelníků, který leží na kruhu devíti bodů.
• Interaktivní applet kruhu devíti bodů z Demonstračního projektu Wolfram
• Devítibodová kuželosečka a zobecnění Eulerovy linie na Dynamické geometrické skici Zevšeobecňuje devítibodový kruh na devítibodový kuželovitý s přidruženým zevšeobecněním Eulerovy čáry.