Druhá odmocnina ze 3 - Square root of 3

	Seznam čísel; Iracionální čísla; ζ(3); √2; √3; √5; φ; E; π;
Binární	1.10111011011001111010…
Desetinný	1.7320508075688772935…
Hexadecimální	1. BB67AE8584CAA73B…
Pokračující zlomek

Výška rovnostranný trojúhelník se stranami délky 2 se rovná druhé odmocnině 3.

The druhá odmocnina ze 3 je pozitivní reálné číslo to, když se vynásobí samo o sobě, dává číslo 3. Matematicky se označuje jako √3. Přesněji se tomu říká druhá odmocnina ze 3, k odlišení od záporného čísla se stejnou vlastností. The odmocnina ze 3 je iracionální číslo. Je také známý jako Theodorova konstanta, po Theodorus z Kyrény, který dokázal svou iracionalitu.

V prosinci 2013 byla jeho číselná hodnota v desítkové soustavě vypočítána na nejméně deset miliard číslic.^[1] Své desítkové rozšíření, zapsaný zde na 65 desetinných míst, je dán vztahem OEIS: A002194:

1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806

Zlomek 97/56 (≈ 1.732142857...) se někdy používá jako dobrá racionální aproximace s přiměřeně malým jmenovatelem.

Dějiny

Starověké řecko-římské objevy

Archimedes nahlásil následující rozsah pro hodnotu √3:^[2]

$(1351 / 780) 2 > 3 > (265 / 153) 2$

Jednou z nejčastěji diskutovaných otázek v historii matematiky je „záhadná“ aproximace √3, kterou použil Archimedes při výpočtu π. Zde je přehled toho, co na toto téma říká několik populárních knih: Archimedes a druhá odmocnina ze 3.

Výrazy

Lze jej vyjádřit jako pokračující zlomek [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (sekvence A040001 v OEIS ).

Je tedy pravda, že:

{displaystyle {egin {bmatrix} 1 & 2 1 & 3end {bmatrix}} ^ {n} = {egin {bmatrix} a_ {11} & a_ {12} a_ {21} & a_ {22} end {bmatrix}}}

pak kdy ${displaystyle n o infty}$ :

{displaystyle {sqrt {3}} = 2cdot {frac {a_ {22}} {a_ {12}}} - 1}

To může být také vyjádřeno zobecněné pokračující zlomky jako

{displaystyle [2; -4, -4, -4, ...] = 2- {cfrac {1} {4- {cfrac {1} {4- {cfrac {1} {4-ddots}}}} }}}

který je [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] hodnoceny v každém druhém semestru.

Následující vnořené čtvercové výrazy konvergují k √3:

{displaystyle! {sqrt {3}} = 2-2left ({frac {1} {2}} - vlevo ({frac {1} {2}} - vlevo ({frac {1} {2}} - vlevo ({frac { 1} {2}} - tečky ight) ^ {2} ight) ^ {2} ight) ^ {2} ight) ^ {2} = {frac {7} {4}} - 4left ({frac {1} {16}} + vlevo ({frac {1} {16}} + vlevo ({frac {1} {16}} + vlevo ({frac {1} {16}} + tečky vpravo) ^ {2} vpravo) ^ {2} ight) ^ {2} ight) ^ {2}.}

Desetinná hodnota

Výpočtové algoritmy a vzorce

Další informace: Metody výpočtu druhé odmocniny

Nejběžnějším algoritmem, který se používá jako základ v mnoha počítačích a kalkulačkách, je a rekurzivní metoda:

První, vyberte libovolnou hodnotu pro A₁. Volba této hodnoty ovlivní rychlost, s jakou se odhady sbíhají ke správné hodnotě.

Druhý, iterovat přes následující rekurzivní výpočet a algoritmus:

Začít s n=1.

Vypočítat nth odhad jako (2 × A_n² - 1) / (b_n × 2ⁿ)

kde b_n = A_n × b_n-1
a b₀ = 1

Další hodnota A = A_n+1 = 2 × a_n² - 1

Třetí, zvýšit n o 1 a opakujte.

Čím více iterací prostřednictvím algoritmu (to znamená, tím více provedených výpočtů a tím větší n), tím lepší je aproximace.

Začínání s A₁ = 2, výsledky algoritmu jsou následující:

1. odhad = (2 × 2 ^ 2 - 1) / (1 × 2 ^ 2) = 7/4 = 1.75000;

A₂ = (2 × 2^2 - 1) = 7;

2. odhad = (2 × 7 ^ 2 - 1) / (7 × 1 × 2 ^ 3) = 97/56 = 1.73214;

A₃ = (2 × 7^2 - 1) = 97;

3. odhad = (2 × 97 ^ 2 - 1) / (97 × 7 × 1 × 2 ^ 4) = 18817/10864 = 1.732050810;

(srov. skutečná hodnota 1.732050808)

Každá iterace zhruba zdvojnásobuje počet správných číslic.

Racionální aproximace

Zlomek 97/56 (1.732142857...) lze použít jako základní aproximaci. Přesto, že má jmenovatel pouze 56, liší se od správné hodnoty o méně než 1/10,000 (přibližně 9.2×10⁻⁵). Zaokrouhlená hodnota 1.732 je správné s přesností na 0,01% skutečné hodnoty.

Archimedes nahlásil rozsah pro svou hodnotu: $(1351 / 780) 2 > 3 > (265 / 153) 2$ ;^[2] spodní limit přesný na 1/608400 (šest desetinných míst) a horní hranice do 2/23409 (čtyři desetinná místa).

Částečný seznam nejužitečnějších a nejpřesnějších racionálních aproximací: 7/4, 26/15, 97/56, 265/153, 362/209, 989/571, 1351/780, 2340/1351, 3691/2131, 5042/2911, 13775/7953, 18817/10864, 70226/40545, ...

Důkaz iracionality

Tento důkaz iracionality pro √3 používá Fermat metoda nekonečný sestup:

Předpokládejme to √3 je racionální a vyjádřit to v nejnižších možných termínech (tj. jako a plně redukovaný zlomek ) tak jako $m / n$ pro přirozená čísla $m$ a $n$ .

Vynásobením 1 tedy získáte stejný výraz:

{displaystyle {frac {m ({sqrt {3}} - q)} {n ({sqrt {3}} - q)}}}

kde $q$ je největší celé číslo menší než √3. Pamatujte, že čitatel i jmenovatel byly vynásobeny číslem menším než 1.

Díky tomu a vynásobením čitatele i jmenovatele dostaneme:

{displaystyle {frac {m {sqrt {3}} - mq} {n {sqrt {3}} - nq}}}

Z toho vyplývá, že $m$ lze nahradit $\sqrt 3 n$ :

{displaystyle {frac {n {sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {sqrt {3}} - nq}}}

Pak, √3 lze také nahradit $m / n$ ve jmenovateli:

{displaystyle {frac {n {sqrt {3}} ^ {2} -mq} {n {frac {m} {n}} - nq}}}

Náměstí √3 lze nahradit 3. As $m / n$ se vynásobí $n$ , jejich produkt se rovná $m$ :

{displaystyle {frac {3n-mq} {m-nq}}}

Pak √3 lze vyjádřit v nižších termínech než $m / n$ (protože první krok zmenšil velikosti čitatele i jmenovatele a následné kroky je nezměnily) jako $3 n - mq / m - nq$ , což je v rozporu s hypotézou $m / n$ byl v nejnižších hodnotách.^[3]

Alternativní důkaz toho je, za předpokladu $\sqrt 3 = m / n$ s $m / n$ být plně redukovaný zlomek:

Vynásobením $n$ oba termíny a potom druhé mocniny oba dávají

{displaystyle 3n ^ {2} = m ^ {2}.}

Vzhledem k tomu, že levá strana je dělitelná 3, je tomu tak i na pravé straně, což vyžaduje $m$ být dělitelný 3. Potom, $m$ lze vyjádřit jako $3 k$ :

{displaystyle 3n ^ {2} = (3k) ^ {2} = 9k ^ {2}}

Vydělením obou termínů 3 tedy:

{displaystyle n ^ {2} = 3k ^ {2}}

Vzhledem k tomu, že pravá strana je dělitelná čísly 3, je i levá strana, a tedy i je $n$ . Tedy jako oba $n$ a $m$ jsou dělitelné 3, mají společný faktor a $m / n$ není plně redukovaný zlomek, který je v rozporu s původní premisou.

Geometrie a trigonometrie

The výška z rovnostranný trojúhelník s délkou hrany 2 je √3. Také dlouhý noha a 30-60-90 trojúhelník s přepona 2.

A výška pravidelného šestiúhelník se stranami délky 1.

Úhlopříčka jednotková kostka je √3.

Tato projekce Bilinski dodecahedron je kosočtverec s poměrem úhlopříček √3.

Druhá odmocnina 3 lze nalézt jako noha délka rovnostranného trojúhelníku, který zahrnuje kruh o průměru 1.

Pokud rovnostranný trojúhelník se stranami délky 1 je rozřezán na dvě stejné poloviny, rozdělením vnitřního úhlu napříč, aby se vytvořil pravý úhel s jednou stranou, trojúhelník pravého úhlu přepona je délka jedna a strany jsou dlouhé 1/2 a √3/2. Z toho se trigonometrická funkce tangenta 60 ° rovná √3a sinus 60 ° a kosinus 30 ° jsou stejné √3/2, tedy √3 = 2 × sin (60 °) = opálení (60 °) = 3 × ctan (60 °) = 2 × cos (30 °) = 3 × opálení (30 °).

Druhá odmocnina 3 se také objevuje v algebraických výrazech pro různé jiné trigonometrické konstanty, počítaje v to^[4] sinusy 3 °, 12 °, 15 °, 21 °, 24 °, 33 °, 39 °, 48 °, 51 °, 57 °, 66 °, 69 °, 75 °, 78 °, 84 ° a 87 °.

Je to vzdálenost mezi rovnoběžnými stranami pravidelného šestiúhelník se stranami délky 1. Na složité letadlo, tato vzdálenost je vyjádřena jako $i \sqrt 3$ zmínil níže.

Je to délka úhlopříčka prostoru jednotky krychle.

The vesica piscis má poměr hlavní osy k vedlejší ose rovný 1:√3, to lze ukázat vytvořením dvou rovnostranných trojúhelníků v něm.

Existuje mnoho zvláštních pravoúhlých trojúhelníků obsahujících √3 jako jednu z jeho stran, například:

1: 2: √3, 1: √2: √3, 1: 3: 2√3, 1: 3√3: 2√7 atd.

Z tohoto a dalších důvodů je √3 velmi užitečné a důležité geometrie a další oblasti vědy.

Druhá odmocnina z -3

Násobení z √3 podle imaginární jednotka dává druhou odmocninu z -3, an imaginární číslo. Přesněji

{displaystyle {sqrt {-3}} = pm {sqrt {3}} i}

(vidět druhá odmocnina ze záporných čísel ). Je to Eisensteinovo celé číslo. Jmenovitě je to vyjádřeno jako rozdíl mezi dvěma nereálnými kubické kořeny 1 (což jsou Eisensteinova celá čísla).

Jiná použití

Energetika

v energetika, napětí mezi dvěma fázemi v a třífázový systém rovná se √3 násobek linky na neutrální napětí. Je tomu tak proto, že jakékoli dvě fáze jsou od sebe vzdáleny 120 ° a dva body na kružnici vzdálené 120 stupňů jsou od sebe odděleny √3 krát poloměr (viz příklady geometrie výše).

Viz také

Poznámky

^ Łukasz Komsta. "Výpočty | Łukasz Komsta". komsta.net. Citováno 24. září 2016.
^ ^A ^b Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes a měření kruhu: nová interpretace“, Archiv pro historii přesných věd, 15 (2): 115–140, doi:10.1007 / bf00348496, JSTOR 41133444, PAN 0497462.
^ Grant, M .; Perella, M. (červenec 1999). „Klesající k iracionálnímu“. Matematický věstník. 83 (497): 263–267. doi:10.2307/3619054.
^ Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

Reference

S., D .; Jones, M. F. (1968). Msgstr "22900D aproximace druhé odmocniny prvočísel menší než 100". Matematika výpočtu. 22 (101): 234–235. doi:10.2307/2004806. JSTOR 2004806.
Uhler, H. S. (1951). "Přibližné hodnoty přesahující 1300 desetinných míst pro √3, 1/√3, hřích ( $π$ /3) a rozdělení číslic v nich “. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 37 (7): 443–447. doi:10.1073 / pnas.37.7.443. PMC 1063398. PMID 16578382.
Wells, D. (1997). Slovník tučňáků zvědavých a zajímavých čísel (Přepracované vydání.). London: Penguin Group. p. 23.

externí odkazy

Theodorova konstanta v MathWorld
[1] Kevin Brown
[2] E. B. Davis

[1] Łukasz Komsta. "Výpočty | Łukasz Komsta". komsta.net. Citováno 24. září 2016.

[:0-2] A ^b Knorr, Wilbur R. (1976), „Archimedes a měření kruhu: nová interpretace“, Archiv pro historii přesných věd, 15 (2): 115–140, doi:10.1007 / bf00348496, JSTOR 41133444, PAN 0497462.

[Grant-3] Grant, M .; Perella, M. (červenec 1999). „Klesající k iracionálnímu“. Matematický věstník. 83 (497): 263–267. doi:10.2307/3619054.

[4] Julian D. A. Wiseman Sin and Cos in Surds

[1]

[2]

[3]

[4]

Seznam čísel Iracionální čísla $ζ$ (3) √2 √3 √5 $φ$ $E$ $π$
Binární	1.10111011011001111010…
Desetinný	1.7320508075688772935…
Hexadecimální	1. BB67AE8584CAA73B…
Pokračující zlomek	${displaystyle 1+ {cfrac {1} {1+ {cfrac {1} {2+ {cfrac {1} {1+ {cfrac {1} {2+ {cfrac {1} {1 + ddots}}}}} }}}}}}$

Iracionální čísla
Chaitin ( $Ω$ ) Liouville primární ( $ρ$ ) Logaritmus 2 Gaussova ( $G$ ) Dvanáctý kořen 2 Apéryho ( $ζ (3)$ ) Plastický ( $ρ$ ) Druhá odmocnina ze 2 Poměr supergoldenů ( $ψ$ ) Erdős – Borwein ( $E$ ) Zlatý řez ( $φ$ ) Druhá odmocnina ze 3 Druhá odmocnina z 5 Poměr stříbra ( $δ S$ ) Euler ( $E$ ) Pi ( $π$ )
Schizofrenik Transcendentální Trigonometrický