Van Schootensova věta - Van Schootens theorem - Wikipedia

${ displaystyle | PA | = | PB | + | PC |}$

Van Schootenova věta, pojmenoval podle nizozemského matematika Frans van Schooten, popisuje vlastnost rovnostranné trojúhelníky. Uvádí:

Pro rovnostranný trojúhelník ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ s bodem ${ displaystyle P}$ na jeho obvod délka nejdelšího ze tří úseček ${ displaystyle PA, PB, PC}$ spojovací ${ displaystyle P}$ s vrcholy trojúhelníku se rovná součtu délek dalších dvou.

Věta je důsledkem Ptolemaiova věta pro koncyklické čtyřúhelníky. Nechat ${ displaystyle a}$ být délka strany rovnostranného trojúhelníku ${ displaystyle trojúhelník ABC}$ a ${ displaystyle PA}$ nejdelší úsečka. Vrcholy trojúhelníku spolu s ${ displaystyle P}$ tvoří koncyklický čtyřúhelník, a proto Ptolemaiova věta poskytuje:

${ displaystyle { begin {zarovnané} & | BC | cdot | PA | = | AC | cdot | PB | + | AB | cdot | PC | [6pt] Longleftrightarrow & a cdot | PA | = a cdot | PB | + a cdot | PC | end {zarovnáno}}}$

Dělení poslední rovnice ${ displaystyle a}$ přináší Van Schootenovu větu.

Reference

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Okouzlující důkazy: Cesta do elegantní matematiky. MAA, 2010, ISBN  9780883853481, str.102–103
• Doug French: Výuka a učení geometrie. Bloomsbury Publishing, 2004, ISBN  9780826434173 , str.62–64
• Raymond Viglione: Důkaz beze slov: van Schootenova věta. Mathematics Magazine, sv. 89, č. 2 (duben 2016), s. 132
• Jozsef Sandor: O geometrii rovnostranných trojúhelníků. Forum Geometricorum, svazek 5 (2005), s. 107–117

externí odkazy

• Van Schootenova věta na cut-the-knot.org