Steiner inellipse - Steiner inellipse
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0a/Steiner_Inellipse.svg/250px-Steiner_Inellipse.svg.png)
v geometrie, Steiner inellipse,[1] středová inellipsenebo elipsa uprostřed a trojúhelník je jedinečný elipsa vepsaný do trojúhelníku a tečna do stran v jejich středech. Je to příklad inellipse. Pro srovnání vepsaný kruh a Mandart inellipse trojúhelníku jsou další conics, které jsou tečné do stran, ale ne ve středech, pokud trojúhelník není rovnostranný. Steiner inellipse je připisován Dörrie[2] na Jakob Steiner a jeho jedinečnost dokazuje Dan Kalman.[3]
Steinerova inellipse kontrastuje s Steinerovy kroužky, také nazývaná jednoduše Steinerova elipsa, což je jedinečná elipsa, která se dotýká daného trojúhelníku na jeho vrcholech a jehož střed je trojúhelníkovým těžiště.[4]
Definice a vlastnosti
- Definice
Elipsa, která je tečná ke stranám trojúhelníku v jeho středech se nazývá Steiner inellipse trojúhelníku .
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/aa/Steiner-inellipse-1.svg/220px-Steiner-inellipse-1.svg.png)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/62/Steiner-inellipse-0.svg/220px-Steiner-inellipse-0.svg.png)
Vlastnosti:
Pro libovolný trojúhelník se středovými body jejích stran jsou pravdivá následující tvrzení:
zde existuje přesně jedna Steinerova inellipse.
b) centrum Steinerovy inellipse je těžiště trojúhelníku .
c1) Trojúhelník má stejné těžiště a Steinerova inellipse trojúhelníku je Steinerova elipsa trojúhelníku .
c2) Steinerova inellipse trojúhelníku je zmenšen Steiner Ellipse s měřítkem 1/2 a těžištěm jako středem. Proto mají obě elipsy stejné excentricita, jsou podobný.
d) The plocha Steinerovy inellipse je -násobek plochy trojúhelníku.
e) Steinerova inellipse má největší plocha všech inellips trojúhelníku.[5]:str.146[6]:Dodatek 4.2
- Důkaz
Důkazy vlastností a), b), c) jsou založeny na následujících vlastnostech afinního mapování: 1) jakýkoli trojúhelník lze považovat za afinní obraz rovnostranného trojúhelníku. 2) Středové body stran jsou mapovány na středové body a těžiště na těžištích. Střed elipsy je namapován na střed jejího obrazu.
Proto stačí prokázat vlastnosti a), b), c) pro rovnostranný trojúhelník:
a) Pro jakýkoli rovnostranný trojúhelník existuje incircle. Ve středních bodech se dotýká stran. Neexistuje žádný další (nedegenerovaný) kuželovitý řez se stejnými vlastnostmi, protože kuželovitý řez je určen 5 body / tečnami.
b) Jednoduchým výpočtem.
c) Cirkumcircle je mapován pomocí měřítka, s faktorem 1/2 a centroidem jako středem, na incircle. Excentricita je neměnná.
d) Poměr ploch je invariantní k afinním transformacím. Poměr lze tedy vypočítat pro rovnostranný trojúhelník.
e) Viz Inellipse.
Parametrické znázornění a poloosy
Parametrické znázornění:
- Protože Steinerova inellipse trojúhelníku je měřítková Steinerova elipsa (faktor 1/2, střed je těžiště), získá se parametrické vyjádření odvozené z trigonometrického vyjádření Steinerova elipsa :
- The 4 vrcholy Steinerovy inellipse jsou
- kde je řešením
- s
Poloosy:
- Se zkratkami
- jeden dostane za poloosy :
- The lineární výstřednost Steinerovy inellipse je
Trilineární rovnice
Rovnice Steinerovy inellipse dovnitř trilineární souřadnice pro trojúhelník s bočními délkami a, b, c (s těmito parametry, které mají jiný význam než dříve) je[1]
kde X je libovolná kladná konstanta krát vzdálenost bodu od strany délky A, a podobně pro b a C se stejnou multiplikativní konstantou.
Další vlastnosti
Délky polořadovky a polořadovky pro trojúhelník se stranami a, b, c jsou[1]
kde
Podle Mardenova věta,[3] pokud ti tři vrcholy trojúhelníku jsou komplex nuly krychle polynomiální, pak ohniska Steinerovy inellipse jsou nuly derivát polynomu.
Hlavní osou Steinerovy inellipse je linie nejlepšího ortogonálního uložení pro vrcholy.[6]:Důsledek 2.4
Označit jako G, F+, a F− těžiště a první a druhé Fermatovy body trojúhelníku. Hlavní osa Steinerovy inellipse trojúhelníku je vnitřní půlí čára ∠F+GF−. Délky os jsou |GF−| ± |GF+|: to znamená součet a rozdíl vzdáleností Fermatových bodů od těžiště.[7]:Thm. 1
Osy Steinerovy inellipse trojúhelníku jsou tečné k jeho Kiepertově parabole, jedinečné parabole, která je tečná ke stranám trojúhelníku a má Eulerova linie jako jeho directrix.[7]:Thm. 3
Těžiště Steinerovy inellipse trojúhelníku jsou průsečíky hlavní osy inellipse a kruhu se středem na vedlejší ose a procházející Fermatovými body.[7]:Thm. 6
Stejně jako u jakékoli elipsy zapsané do trojúhelníku ABC, nechat ohniska být P a Q my máme[8]
Zobecnění
Steinerovu inellipsu trojúhelníku lze zobecnit na n-gons: některé n-gony mají vnitřní elipsu, která je tečná ke každé straně ve středu strany. Stále platí Mardenova věta: ohniska Steinerovy inellipse jsou nuly derivace polynomu, jehož nuly jsou vrcholy n-gon.[9]
Reference
- ^ A b C Weisstein, E. „Steiner Inellipse“ - From MathWorld, A Wolfram Web Resource, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html.
- ^ H. Dörrie, 100 velkých problémů elementární matematiky, jejich historie a řešení (trans. D. Antin), Dover, New York, 1965, problém 98.
- ^ A b Kalman, Dan (2008), „Elementární důkaz Mardenovy věty“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475, PAN 2398412, archivovány z originál (PDF) dne 26. 8. 2012.
- ^ Weisstein, Eric W. „Steiner Circumellipse“. MathWorld.
- ^ Chakerian, G. D. (1979), „Deformovaný pohled na geometrii“, Honsberger, Ross (ed.), Matematické švestky„Dolcianiho matematické expozice, 4, Washington, D.C .: Mathematical Association of America, str. 135–136, 145–146.
- ^ A b Minda, D.; Phelps, S. (2008), „Trojúhelníky, elipsy a kubické polynomy“ (PDF), Americký matematický měsíčník, 115 (8): 679–689, PAN 2456092.
- ^ A b C Scimemi, Benedetto, „Jednoduché vztahy týkající se Steinerovy Inellipse trojúhelníku“, Fórum Geometricorum 10, 2010: 55–77.
- ^ Allaire, Patricia R .; Zhou, Junmin; a Yao, Haishen, „Prokázání identity elipsy z devatenáctého století“, Matematický věstník 96, březen 2012, 161-165.
- ^ Parish, James L., „O derivaci vrcholného polynomu“, Fórum Geometricorum 6, 2006, s. 285–288: Tvrzení 5.