Eulersova věta o geometrii - Eulers theorem in geometry - Wikipedia

Eulerova věta:
${ displaystyle d = | IO | = { sqrt {R (R-2r)}}}$

v geometrie, Eulerova věta uvádí, že vzdálenost d mezi circumcentre a pobídka a trojúhelník darováno^[1][2]

${ displaystyle d ^ {2} = R (R-2r)}$

nebo ekvivalentně

${ displaystyle { frac {1} {R-d}} + { frac {1} {R + d}} = { frac {1} {r}},}$

kde R a r označte circumradius a inradius (poloměry opsaná kružnice a vepsaný kruh příslušně). Věta je pojmenována pro Leonhard Euler, který ji publikoval v roce 1765.^[3] Stejný výsledek však dříve zveřejnil William Chapple v roce 1746.^[4]

Z věty vyplývá Eulerova nerovnost:^[5][6]

${ displaystyle R geq 2r,}$

který platí s rovností pouze v rovnostranný případ.^{[7]:str. 198}

Důkaz

Důkaz Eulerovy věty v geometrii

Pronájem Ó být circumcentre trojúhelníku ABC, a Já být jeho pobídkou, rozšíření AI protíná kružnici v L. Pak L je střed oblouku před naším letopočtem. Připojit se HLE a prodlužte jej tak, aby protínal kruhový kruh v M. Z Já postavit kolmo na AB a nechat D být jeho nohou, tak ID = r. Není těžké tento trojúhelník dokázat ADI je podobný trojúhelníku MBL, tak ID / BL = AI / ML, tj. ID × ML = AI × BL. Proto 2Rr = AI × BL. Připojit se BI. Protože

∠ BIL = ∠ A / 2 + ∠ ABC / 2,

∠ IBL = ∠ ABC / 2 + ∠ CBL = ∠ ABC / 2 + ∠ A / 2,

máme ∠ BIL = ∠ IBL, tak BL = IL, a AI × IL = 2Rr. Rozšířit OI tak, aby protínala obvod v P a Q; pak PI × QI = AI × IL = 2Rr, tak (R + d)(R − d) = 2Rr, tj. d² = R(R − 2r).

Silnější verze nerovnosti

Silnější verze^{[7]:str. 198} je

${ displaystyle { frac {R} {r}} geq { frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} geq { frac {a } {b}} + { frac {b} {c}} + { frac {c} {a}} - 1 geq { frac {2} {3}} vlevo ({ frac {a} {b}} + { frac {b} {c}} + { frac {c} {a}} doprava) geq 2,}$

kde a, b, c jsou postranní délky trojúhelníku.

Eulerova věta pro vepsaný kruh

Li ${ displaystyle r_ {a}}$ a ${ displaystyle d_ {a}}$ označte poloměr vepsaný kruh naproti vrcholu ${ displaystyle A}$ a vzdálenost mezi jeho středem a středem popsané kružnice ${ displaystyle d_ {a} ^ {2} = R (R + 2r_ {a})}$.

Eulerova nerovnost v absolutní geometrii

Eulerova nerovnost ve formě uvádějící, že pro všechny trojúhelníky zapsané do dané kružnice je dosaženo maxima poloměru vepsané kružnice pro rovnostranný trojúhelník a pouze pro něj, platí v absolutní geometrie.^[8]

Viz také

• Fussova věta pro vztah mezi stejnými třemi proměnnými v dvoustranných čtyřúhelnících
• Ponceletova věta o uzavření, což ukazuje, že existuje nekonečno trojúhelníků se stejnými dvěma kruhy (a tedy stejnými R, r, a d)
• Seznam nerovností trojúhelníku

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Eulerův trojúhelníkový vzorec“. MathWorld.