Seznam nerovností trojúhelníku - List of triangle inequalities

Pro základní nerovnost A < b + C, vidět Nerovnost trojúhelníku.

Nerovnosti ostrých nebo tupých trojúhelníků viz Akutní a tupé trojúhelníky.

v geometrie, nerovnosti trojúhelníku jsou nerovnosti zahrnující parametry z trojúhelníky, které platí pro každý trojúhelník nebo pro každý trojúhelník splňující určité podmínky. Nerovnosti dávají uspořádání dvou různých hodnot: mají tvar „menší než“, „menší než nebo rovný“, „větší než“ nebo „větší než nebo rovný“. Parametry v trojúhelníkové nerovnosti mohou být délky stran, semiperimetr, úhel opatření, hodnoty trigonometrické funkce z těchto úhlů plocha trojúhelníku, mediány ze stran, nadmořské výšky, délky vnitřní úhlové přímky z každého úhlu na opačnou stranu, kolmé půlící čáry stran, vzdálenost od libovolného bodu k jinému bodu, inradius, exradii, circumradius a / nebo jiná množství.

Pokud není uvedeno jinak, tento článek pojednává o trojúhelnících v Euklidovské letadlo.

Hlavní parametry a notace

Parametry, které se nejčastěji objevují v nerovnostech trojúhelníků, jsou:

• délky stran A, b, a C;
• the semiperimetr s = (A + b + C) / 2 (polovina obvod str);
• the úhel opatření A, B, a C úhlů vrcholy naproti příslušným stranám A, b, a C (s vrcholy označenými stejnými symboly jako jejich úhlové míry);
• hodnoty trigonometrické funkce úhlů;
• the plocha T trojúhelníku;
• the mediány m_A, m_b, a m_C stran (každá je délkou úsečky od střed strany na opačný vrchol);
• the nadmořské výšky h_A, h_b, a h_C (každá je délka segmentu kolmý na jednu stranu a sahající z té strany (nebo případně prodloužení této strany) na opačný vrchol);
• délky vnitřní úhlové přímky t_A, t_b, a t_C (každý je segment od vrcholu k opačné straně a půlí úhel vrcholu);
• the kolmé půlící čáry str_A, str_b, a str_C ze stran (každá je délka segmentu kolmého na jednu stranu v jeho středu a sahající k jedné z ostatních stran);
• délky úseček s koncovým bodem v libovolném bodě P v rovině (například délka segmentu od P na vrchol A je označen PA nebo AP);
• the inradius r (poloměr kruh napsaný v trojúhelníku, tečna na všechny tři strany), exradii r_A, r_b, a r_C (každý je poloměr excircle tečna ke straně A, bnebo C a tečna k prodloužení dalších dvou stran) a circumradius R (poloměr kruhu ohraničeného kolem trojúhelníku a procházejícího všemi třemi vrcholy).

Boční délky

Základní nerovnost trojúhelníku je

${displaystyle a$

nebo ekvivalentně

${displaystyle {ext {max}} (a, b, c)$

Navíc,

${displaystyle {frac {3} {2}} leq {frac {a} {b + c}} + {frac {b} {a + c}} + {frac {c} {a + b}} <2, }$

kde hodnota pravé strany je nejnižší možná mez,^{[1]:p. 259} přiblížil asymptoticky jak se určité třídy trojúhelníků blíží k degenerovat případ nulové plochy. Levá nerovnost, která platí pro všechny pozitivní a, b, c, je Nesbittova nerovnost.

My máme

${displaystyle 3left ({frac {a} {b}} + {frac {b} {c}} + {frac {c} {a}} ight) geq 2left ({frac {b} {a}} + {frac {c} {b}} + {frac {a} {c}} no) +3.}$^{[2]:s. 250, č. 82}

${displaystyle abcgeq (a + b-c) (a-b + c) (- a + b + c) .quad}$^{[1]:p. 260}

${displaystyle {frac {1} {3}} leq {frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}} {(a + b + c) ^ {2}}} <{frac {1} {2}}. Quad}$^{[1]:p. 261}

${displaystyle {sqrt {a + bc}} + {sqrt {a-b + c}} + {sqrt {-a + b + c}} leq {sqrt {a}} + {sqrt {b}} + {sqrt {C}}.}$^{[1]:p. 261}

${displaystyle a ^ {2} b (a-b) + b ^ {2} c (b-c) + c ^ {2} a (c-a) geq 0.}$^{[1]:p. 261}

Pokud úhel C je tupý (větší než 90 °)

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}$

-li C je akutní (méně než 90 °)

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> c ^ {2}.}$

Mezipřípad rovnosti, když C je pravý úhel je Pythagorova věta.

Obecně,^{[2]:str.1, č. 74}

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2}> {frac {c ^ {2}} {2}},}$

s rovností přiblíženou v limitu pouze jako vrcholový úhel rovnoramenného trojúhelníku se blíží 180 °.

Pokud těžiště trojúhelníku je uvnitř trojúhelníku incircle, pak^{[3]:p. 153}

${displaystyle a ^ {2} <4bc, quad b ^ {2} <4ac, quad c ^ {2} <4ab.}$

Zatímco všechny výše uvedené nerovnosti jsou pravdivé, protože A, b, a C musí následovat základní nerovnost trojúhelníku, že nejdelší strana je menší než polovina obvodu, následující vztahy platí pro všechny pozitivní A, b, a C:^{[1]:str. 267}

${displaystyle {frac {3abc} {ab + bc + ca}} leq {sqrt [{3}] {abc}} leq {frac {a + b + c} {3}},}$

každý podnik má rovnost, pouze když A = b = C. To říká, že v nerovnostranném případě harmonický průměr stran je menší než jejich geometrický průměr což je zase méně než jejich aritmetický průměr.

Úhly

${displaystyle cos A + cos B + cos Cleq {frac {3} {2}}.}$ ^{[1]:p. 286}

${displaystyle (1-cos A) (1-cos B) (1-cos C) geq cos Acdot cos Bcdot cos C.}$^{[2]:s. 21, # 836}

${displaystyle cos ^ {4} {frac {A} {2}} + cos ^ {4} {frac {B} {2}} + cos ^ {4} {frac {C} {2}} leq {frac { s ^ {3}} {2abc}}}$

pro poloviční obvod s, s rovností pouze v rovnostranném případě.^{[2]:s. 13, # 608}

${displaystyle a + b + cgeq 2 {sqrt {bc}} cos A + 2 {sqrt {ca}} cos B + 2 {sqrt {ab}} cos C.}$ ^[4]:Thm.1

${displaystyle sin A + sin B + sin Cleq {frac {3 {sqrt {3}}} {2}}.}$ ^{[1]:str. 286}

${displaystyle sin ^ {2} A + sin ^ {2} B + sin ^ {2} Cleq {frac {9} {4}}.}$ ^{[1]:p. 286}

${displaystyle sin Acdot sin Bcdot sin Cleq left ({frac {sin A + sin B + sin C} {3}} ight) ^ {3} leq left (sin {frac {A + B + C} {3}} ight ) ^ {3} = sin ^ {3} vlevo ({frac {pi} {3}} ight) = {frac {3 {sqrt {3}}} {8}}.}$ ^{[5]:p. 203}

${displaystyle sin A + sin Bcdot sin Cleq varphi}$^{[2]:s.149, # 3297}

kde ${displaystyle varphi = {frac {1+ {sqrt {5}}} {2}},}$ the Zlatý řez.

${displaystyle sin {frac {A} {2}} cdot sin {frac {B} {2}} cdot sin {frac {C} {2}} leq {frac {1} {8}}.}$ ^{[1]:p. 286}

${displaystyle an ^ {2} {frac {A} {2}} + an ^ {2} {frac {B} {2}} + an ^ {2} {frac {C} {2}} geq 1.}$ ^{[1]:p. 286}

${displaystyle postýlka A + postýlka B + postýlka Cgeq {sqrt {3}}.}$ ^[6]

${displaystyle sin Acdot cos B + sin Bcdot cos C + sin Ccdot cos Aleq {frac {3 {sqrt {3}}} {4}}.}$^{[2]:str.187, # 309.2}

Pro cirkadius R a inradius r my máme

${displaystyle max left (sin {frac {A} {2}}, sin {frac {B} {2}}, sin {frac {C} {2}} ight) leq {frac {1} {2}} vlevo (1+ {sqrt {1- {frac {2r} {R}}}} noc),}$

s rovností právě tehdy, je-li trojúhelník rovnoramenný s vrcholovým úhlem větším nebo rovným 60 °;^{[7]:Cor. 3} a

${displaystyle min left (sin {frac {A} {2}}, sin {frac {B} {2}}, sin {frac {C} {2}} ight) geq {frac {1} {2}} left (1- {sqrt {1- {frac {2r} {R}}}} noc),}$

s rovností právě tehdy, je-li trojúhelník rovnoramenný s vrcholovým úhlem menším nebo rovným 60 °.^{[7]:Cor. 3}

Také máme

${displaystyle {frac {r} {R}} - {sqrt {1- {frac {2r} {R}}}} leq cos Aleq {frac {r} {R}} + {sqrt {1- {frac {2r } {R}}}}}$

a podobně pro úhly PŘED NAŠÍM LETOPOČTEM, s rovností v první části, je-li trojúhelník rovnoramenný a vrcholový úhel je alespoň 60 ° a rovnost ve druhé části právě tehdy, je-li trojúhelník rovnoramenný s vrcholovým úhlem ne větším než 60 °.^[7]:Vr.5

Dále jakékoli dvě úhlové míry A a B protilehlé strany A a b respektive souvisí podle^{[1]:p. 264}

${displaystyle A> Bquad {ext {tehdy a jen tehdy}} quad a> b,}$

který souvisí s věta o rovnoramenném trojúhelníku a jeho obrácení, které to uvádí A = B kdyby a jen kdyby A = b.

Podle Euklid je teorém o vnějším úhlu, jakýkoli vnější úhel trojúhelníku je větší než kterýkoli z trojúhelníků vnitřní úhly na opačných vrcholech:^{[1]:p. 261}

${displaystyle 180 {ext {°}} - A> max (B, C).}$

Pokud bod D je uvnitř trojúhelníku ABC, pak

${úhel zobrazení BDC> úhel A.}$^{[1]:p. 263}

Pro akutní trojúhelník máme^{[2]:str. 26, # 954}

${displaystyle cos ^ {2} A + cos ^ {2} B + cos ^ {2} C <1,}$

s obrácenou nerovností drží tupý trojúhelník.

Kromě toho máme pro tupé trojúhelníky^{[8]:Dodatek 3}

${displaystyle {frac {2R + r} {R}} leq {sqrt {2}} vlevo (cos left ({frac {AC} {2}} ight) + cos left ({frac {B} {2}} right) ) ight)}$

s rovností právě tehdy, pokud se jedná o pravý trojúhelník s přeponou AC.

Plocha

Weitzenböckova nerovnost je, pokud jde o plochu T,^{[1]:p. 290}

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq 4 {sqrt {3}} cdot T,}$

s rovností pouze v rovnostranném případě. Tohle je důsledek z Nerovnost Hadwiger-Finsler, který je

${displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} geq (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} +4 {sqrt {3} } cdot T.}$

Taky,

${displaystyle ab + bc + cageq 4 {sqrt {3}} cdot T}$^{[9]:p. 138}

a^{[2]:str.192, # 340.3[5]:p. 204}

${displaystyle Tleq {frac {abc} {2}} {sqrt {frac {a + b + c} {a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} + abc}}} leq {frac { 1} {4}} {sqrt [{6}] {frac {3 (a + b + c) ^ {3} (abc) ^ {4}} {a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}}}} leq {frac {sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {2/3}.}$

Od pravého horního okraje dál T, za použití aritmeticko-geometrický průměr nerovnosti, je získán izoperimetrická nerovnost pro trojúhelníky:

${displaystyle Tleq {frac {sqrt {3}} {36}} (a + b + c) ^ {2} = {frac {sqrt {3}} {9}} s ^ {2}}$ ^{[5]:p. 203}

pro semiperimetr s. To se někdy uvádí z hlediska obvodu str tak jako

${displaystyle p ^ {2} geq 12 {sqrt {3}} cdot T,}$

s rovností pro rovnostranný trojúhelník.^[10] To je posíleno

${displaystyle Tleq {frac {sqrt {3}} {4}} (abc) ^ {2/3}.}$

Bonnesenova nerovnost také posiluje izoperimetrickou nerovnost:

${displaystyle pi ^ {2} (R-r) ^ {2} leq (a + b + c) ^ {2} -4pi T.}$

Také máme

${displaystyle {frac {9abc} {a + b + c}} geq 4 {sqrt {3}} cdot T}$ ^{[1]:p. 290[9]:p. 138}

s rovností pouze v rovnostranném případě;

${displaystyle 38T ^ {2} leq 2s ^ {4} -a ^ {4} -b ^ {4} -c ^ {4}}$^{[2]:str.111, # 2807}

pro semiperimetr s; a

${displaystyle {frac {1} {a}} + {frac {1} {b}} + {frac {1} {c}} <{frac {s} {T}}.}$^{[2]:88, # 2188}

Onova nerovnost pro ostré trojúhelníky (ty, které mají všechny úhly menší než 90 °) je

${displaystyle 27 (b ^ {2} + c ^ {2} -a ^ {2}) ^ {2} (c ^ {2} + a ^ {2} -b ^ {2}) ^ {2} ( a ^ {2} + b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2} leq (4T) ^ {6}.}$

Plochu trojúhelníku lze srovnat s plochou incircle:

${displaystyle {frac {ext {Area of ​​incircle}} {ext {Area of ​​triangle}}} leq {frac {pi} {3 {sqrt {3}}}}}$

s rovností pouze pro rovnostranný trojúhelník.^[11]

Pokud je vnitřní trojúhelník zapsán do referenčního trojúhelníku tak, že vrcholy vnitřního trojúhelníku rozdělují obvod referenčního trojúhelníku na segmenty stejné délky, poměr jejich oblastí je omezen^{[9]:p. 138}

${displaystyle {frac {ext {Oblast vepsaného trojúhelníku}} {ext {Oblast referenčního trojúhelníku}}} leq {frac {1} {4}}.}$

Nechte vnitřní úhlové přímky A, B, a C setkat se s opačnými stranami v D, E, a F. Pak^{[2]:str.18, # 762}

${displaystyle {frac {3abc} {4 (a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3})}} leq {frac {{ext {Oblast trojúhelníku}}, DEF} {{ext {Oblast of triangle}}, ABC}} leq {frac {1} {4}}.}$

Čára procházející středem trojúhelníku rozděluje oblast tak, aby poměr menší podoblasti k ploše původního trojúhelníku byl alespoň 4/9.^[12]

Mediány a těžiště

Strom mediány ${displaystyle m_ {a} ,, m_ {b} ,, m_ {c}}$ trojúhelníku každý spojuje vrchol se středem opačné strany a součet jejich délek vyhovuje^{[1]:p. 271}

${displaystyle {frac {3} {4}} (a + b + c)$

Navíc,^{[2]:12, # 589}

${displaystyle left ({frac {m_ {a}} {a}} ight) ^ {2} + left ({frac {m_ {b}} {b}} ight) ^ {2} + left ({frac {m_ {c}} {c}} ight) ^ {2} geq {frac {9} {4}},}$

s rovností pouze v rovnostranném případě a pro inradius r,^{[2]:str.22, # 846}

${displaystyle {frac {m_ {a} m_ {b} m_ {c}} {m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}}} geq r. }$

Pokud dále označíme délky mediánů prodloužených k jejich průsečíkům s kruhem jako M_A , M_b , a M_C , pak^{[2]:s. 16, # 689}

${displaystyle {frac {M_ {a}} {m_ {a}}} + {frac {M_ {b}} {m_ {b}}} + {frac {M_ {c}} {m_ {c}}} geq 4.}$

The těžiště G je průnik mediánů. Nechat AG, BG, a CG setkat se s circumcircle v U, PROTI, a Ž resp. Pak oba^{[2]:s. 17 # 723}

${displaystyle GU + GV + GWgeq AG + BG + CG}$

a

${displaystyle GUcdot GVcdot GWgeq AGcdot BGcdot CG;}$

navíc,^{[2]:str.156, # S56}

${displaystyle sin GBC + sin GCA + sin GABleq {frac {3} {2}}.}$

Pro akutní trojúhelník máme^{[2]:str. 26, # 954}

${displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2}> 6R ^ {2}}$

z hlediska cirkadia R, zatímco opačná nerovnost platí pro tupý trojúhelník.

Označujeme jako IA, IB, IC vzdálenosti stimulant z vrcholů platí:^{[2]:str.192, # 339.3}

${displaystyle {frac {IA ^ {2}} {m_ {a} ^ {2}}} + {frac {IB ^ {2}} {m_ {b} ^ {2}}} + {frac {IC ^ { 2}} {m_ {c} ^ {2}}} leq {frac {3} {4}}.}$

Tři mediány libovolného trojúhelníku mohou tvořit strany jiného trojúhelníku:^{[13]:p. 592}

${displaystyle m_ {a}$

Dále^{[14]:Coro. 6}

${displaystyle max {bm_ {c} + cm_ {b}, quad cm_ {a} + am_ {c}, quad am_ {b} + bm_ {a}} leq {frac {a ^ {2} + b ^ {2 } + c ^ {2}} {sqrt {3}}}.}$

Nadmořské výšky

Nadmořské výšky h_A atd. každý spojuje vrchol na opačné straně a je kolmý na tuto stranu. Vyhovují oběma^{[1]:p. 274}

${displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} leq {frac {sqrt {3}} {2}} (a + b + c)}$

a

${displaystyle h_ {a} ^ {2} + h_ {b} ^ {2} + h_ {c} ^ {2} leq {frac {3} {4}} (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}).}$

Kromě toho, pokud ${displaystyle ageq bgeq c,}$ pak^[2]:222,#67

${displaystyle a + h_ {a} geq b + h_ {b} geq c + h_ {c}.}$

Také máme^{[2]:140, # 3150}

${displaystyle {frac {h_ {a} ^ {2}} {(b ^ {2} + c ^ {2})}} cdot {frac {h_ {b} ^ {2}} {(c ^ {2} + a ^ {2})}} cdot {frac {h_ {c} ^ {2}} {(a ^ {2} + b ^ {2})}} leq vlevo ({frac {3} {8}} ight) ^ {3}.}$

Pro vnitřní úhlové přímky t_A, t_b, t_C z vrcholů A, B, C a circumcenter R a incenter r, my máme^{[2]:s. 125, # 3005}

${displaystyle {frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {frac {h_ {c}} {t_ {c}}} geq {frac {R + 4r} {R}}.}$

Převrácené hodnoty výšek jakéhokoli trojúhelníku mohou samy tvořit trojúhelník:^[15]

${displaystyle {frac {1} {h_ {a}}} <{frac {1} {h_ {b}}} + {frac {1} {h_ {c}}}, quad {frac {1} {h_ { b}}} <{frac {1} {h_ {c}}} + {frac {1} {h_ {a}}}, quad {frac {1} {h_ {c}}} <{frac {1} {h_ {a}}} + {frac {1} {h_ {b}}}.}$

Vnitřní úhlové přímky a incenter

Vnitřní úhlové přímky jsou segmenty uvnitř trojúhelníku, které sahají od jednoho vrcholu k opačné straně a rozdělují úhel vrcholu do dvou stejných úhlů. Úhlové přímky t_A atd. uspokojit

${displaystyle t_ {a} + t_ {b} + t_ {c} leq {frac {3} {2}} (a + b + c)}$

pokud jde o strany, a

${displaystyle h_ {a} leq t_ {a} leq m_ {a}}$

z hlediska výšek a středů a podobně pro t_b a t_C .^{[1]:str. 271–3} Dále,^{[2]:str. 224, # 132}

${displaystyle {sqrt {m_ {a}}} + {sqrt {m_ {b}}} + {sqrt {m_ {c}}} geq {sqrt {t_ {a}}} + {sqrt {t_ {b}} } + {sqrt {t_ {c}}}}$

pokud jde o mediány, a^{[2]:s. 125, # 3005}

${displaystyle {frac {h_ {a}} {t_ {a}}} + {frac {h_ {b}} {t_ {b}}} + {frac {h_ {c}} {t_ {c}}} geq 1+ {frac {4r} {R}}}$

z hlediska výšek, inradius r a circumradius R.

Nechat T_A , T_b , a T_C být délky úhlových půlících čar prodloužených k obvodu. Pak^{[2]:str.11, # 535}

${displaystyle T_ {a} T_ {b} T_ {c} geq {frac {8 {sqrt {3}}} {9}} abc,}$

- s rovností pouze v rovnostranném případě a -^{[2]:s. 14, # 628}

${displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} leq 5R + 2r}$

pro circumradius R a inradius r, opět s rovností pouze v rovnostranném případě. Kromě toho.^{[2]:20, č. 795}

${displaystyle T_ {a} + T_ {b} + T_ {c} geq {frac {4} {3}} (t_ {a} + t_ {b} + t_ {c}).}$

Pro stimulant Já (průsečík vnitřních úhlových přímek),^{[2]:str.127, # 3033}

${displaystyle 6rleq AI + BI + CIleq {sqrt {12 (R ^ {2} -Rr + r ^ {2})}}}}$

Pro střední body L, M, N ze stran,^{[2]:str.152, # J53}

${displaystyle IL ^ {2} + IM ^ {2} + IN ^ {2} geq r (R + r).}$

Pro motorkáře Já, těžiště G, circumcenter Ó, devítibodový střed N, a ortocentrum H, máme pro nerovnostranné trojúhelníky vzdálenostní nerovnosti^{[16]:str. 232}

${displaystyle IG$

${displaystyle IH$

${displaystyle IG$

a

${displaystyle IN <{frac {1} {2}} IO;}$

a máme úhlovou nerovnost^{[16]:str. 233}

${úhel zobrazení IOH <{frac {pi} {6}}.}$

Navíc,^{[16]:233, Lemma 3}

${displaystyle IG <{frac {1} {3}} v,}$

kde proti je nejdelší medián.

Tři trojúhelníky s vrcholem na stimulátoru, OIH, GIH, a OGI, jsou tupé:^{[16]:str. 232}

${úhel zobrazení stylu OIH}$ > ${úhel zobrazení GIH}$ > 90° , ${úhel zobrazení stylu OGI}$ > 90°.

Protože tyto trojúhelníky mají naznačené tupé úhly, máme

${displaystyle OI ^ {2} + IH ^ {2}$

a ve skutečnosti je druhý z nich ekvivalentní výsledku silnějšímu než první, který ukazuje Euler:^[17][18]

${displaystyle OI ^ {2}$

Větší ze dvou úhlů trojúhelníku má kratší vnitřní úhel úhlu:^{[19]:72, # 114}

${displaystyle {ext {If}} quad A> Bquad {ext {then}} quad t_ {a}$

Kolmé půlící čáry po stranách

Tyto nerovnosti se zabývají délkami str_A atd. vnitřních částí trojúhelníku kolmých půlících stran stran trojúhelníku. Označení stran tak ${displaystyle ageq bgeq c,}$ my máme^[20]

${displaystyle p_ {a} geq p_ {b}}$

a

${displaystyle p_ {c} geq p_ {b}.}$

Segmenty z libovolného bodu

Vnitřní bod

Zvažte jakýkoli bod P uvnitř trojúhelníku, s vyznačenými vrcholy trojúhelníku A, B, a C a s vyznačenými délkami úseček PA atd^{[1]:str. 275–7}

${displaystyle 2 (PA + PB + PC)> AB + BC + CA> PA + PB + PC,}$

a silněji než druhá z těchto nerovností^{[1]:p. 278}

${displaystyle PA + PB + PCleq AC + BC, quad PA + PB + PCleq AB + BC, quad PA + PB + PCleq AB + AC.}$

Také máme Ptolemaiova nerovnost^{[2]:s. 19, # 770}

${displaystyle PAcdot BC + PBcdot CA> PCcdot AB}$

pro vnitřní bod P a podobně pro cyklické permutace vrcholů.

Pokud nakreslíme svislice z vnitřního bodu P na strany trojúhelníku, protínající strany na D, E, a F, my máme^{[1]:p. 278}

${displaystyle PAcdot PBcdot PCgeq (PD + PE) (PE + PF) (PF + PD).}$

Dále Erdős – Mordell nerovnost tvrdí, že^[21][22]

${displaystyle {frac {PA + PB + PC} {PD + PE + PF}} geq 2}$

s rovností v rovnostranném případě. Silněji, Barrowova nerovnost uvádí, že pokud jsou vnitřní půlové úhly úhlů v interiéru P (jmenovitě ∠APB, ∠BPCa ∠CPA) protínají strany trojúhelníku v U, PROTI, a Ž, pak^[23]

${displaystyle {frac {PA + PB + PC} {PU + PV + PW}} geq 2.}$

Také silnější než nerovnost Erdős – Mordell je následující:^[24] Nechat D, E, F být ortogonální projekce P na BC, CA, AB respektive a H, K, L být ortogonální projekce P na tečny k kruhovému kruhu trojúhelníku v A, B, C resp. Pak

${displaystyle PH + PK + PLgeq 2 (PD + PE + PF).}$

S ortogonálními výstupky H, K, L z P na tečny k kruhovému kruhu trojúhelníku v A, B, C respektive máme^[25]

${displaystyle {frac {PH} {a ^ {2}}} + {frac {PK} {b ^ {2}}} + {frac {PL} {c ^ {2}}} geq {frac {1} { R}}}$

kde R je cirkadius.

Opět se vzdálenostmi PD, PE, PF vnitřního bodu P ze stran máme tyto tři nerovnosti:^{[2]:str.29, # 1045}

${displaystyle {frac {PA ^ {2}} {PEcdot PF}} + {frac {PB ^ {2}} {PFcdot PD}} + {frac {PC ^ {2}} {PDcdot PE}} geq 12;}$

${displaystyle {frac {PA} {sqrt {PEcdot PF}}} + {frac {PB} {sqrt {PFcdot PD}}} + {frac {PC} {sqrt {PDcdot PE}}} geq 6;}$

${displaystyle {frac {PA} {PE + PF}} + {frac {PB} {PF + PD}} + {frac {PC} {PD + PE}} geq 3.}$

Pro vnitřní bod P se vzdálenostmi PA, PB, PC z vrcholů as trojúhelníkovou oblastí T,^{[2]:37, # 1159}

${displaystyle (b + c) PA + (c + a) PB + (a + b) PCgeq 8T}$

a^{[2]:s. 26, # 965}

${displaystyle {frac {PA} {a}} + {frac {PB} {b}} + {frac {PC} {c}} geq {sqrt {3}}.}$

Pro vnitřní bod P, těžiště G, střední body L, M, N stran a semiperimetr s,^{[2]:140, # 3164[2]:str.130, # 3052}

${displaystyle 2 (PL + PM + PN) leq 3PG + PA + PB + PCleq s + 2 (PL + PM + PN).}$

Navíc pro kladná čísla k₁, k₂, k₃, a t s t menší než nebo rovno 1:^[26]:Thm.1

${displaystyle k_ {1} cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} cdot (PC) ^ {t} geq 2 ^ {t} {sqrt {k_ {1} k_ {2} k_ {3}}} vlevo ({frac {(PD) ^ {t}} {sqrt {k_ {1}}}} + {frac {(PE) ^ {t}} {sqrt {k_ {2}}}} + {frac {(PF) ^ {t}} {sqrt {k_ {3}}}} včas),}$

zatímco pro t > 1 máme^[26]:Thm.2

${displaystyle k_ {1} cdot (PA) ^ {t} + k_ {2} cdot (PB) ^ {t} + k_ {3} cdot (PC) ^ {t} geq 2 {sqrt {k_ {1} k_ {2} k_ {3}}} vlevo ({frac {(PD) ^ {t}} {sqrt {k_ {1}}}} + {frac {(PE) ^ {t}} {sqrt {k_ {2 }}}} + {frac {(PF) ^ {t}} {sqrt {k_ {3}}}} včas).}$

Vnitřní nebo vnější bod

Existují různé nerovnosti pro libovolný vnitřní nebo vnější bod v rovině, pokud jde o poloměr r vepsané kružnice trojúhelníku. Například,^{[27]:p. 109}

${displaystyle PA + PB + PCgeq 6r.}$

Mezi další patří:^{[28]:str. 180–1}

${displaystyle PA ^ {3} + PB ^ {3} + PC ^ {3} + kcdot (PAcdot PBcdot PC) geq 8 (k + 3) r ^ {3}}$

pro k = 0, 1, ..., 6;

${displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} + (PAcdot PBcdot PC) ^ {2/3} geq 16r ^ {2};}$

${displaystyle PA ^ {2} + PB ^ {2} + PC ^ {2} +2 (PAcdot PBcdot PC) ^ {2/3} geq 20r ^ {2};}$

a

${displaystyle PA ^ {4} + PB ^ {4} + PC ^ {4} + k (PAcdot PBcdot PC) ^ {4/3} geq 16 (k + 3) r ^ {4}}$

pro k = 0, 1, ..., 9.

Dále pro cirkadius R,

${displaystyle (PAcdot PB) ^ {3/2} + (PBcdot PC) ^ {3/2} + (PCcdot PA) ^ {3/2} geq 12Rr ^ {2};}$^{[29]:p. 227}

${displaystyle (PAcdot PB) ^ {2} + (PBcdot PC) ^ {2} + (PCcdot PA) ^ {2} geq 8 (R + r) Rr ^ {2};}$^{[29]:p. 233}

${displaystyle (PAcdot PB) ^ {2} + (PBcdot PC) ^ {2} + (PCcdot PA) ^ {2} geq 48r ^ {4};}$^{[29]:p. 233}

${displaystyle (PAcdot PB) ^ {2} + (PBcdot PC) ^ {2} + (PCcdot PA) ^ {2} geq 6 (7R-6r) r ^ {3}.}$^{[29]:p. 233}

Nechat ABC buď trojúhelník, ať G být jeho těžištěm, a nechť D, E, a F být středy před naším letopočtem, CA, a AB, resp. Pro jakýkoli bod P v rovině ABC:

${displaystyle PA + PB + PCleq 2 (PD + PE + PF) + 3PG.}$^[30]

Inradius, exradii a circumradius

Inradius a circumradius

The Eulerova nerovnost pro circumradius R a inradius r tvrdí, že

${displaystyle {frac {R} {r}} geq 2,}$

s rovností pouze v rovnostranný případ.^{[31]:p. 198}

Silnější verze^{[5]:p. 198} je

${displaystyle {frac {R} {r}} geq {frac {abc + a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3}} {2abc}} geq {frac {a} {b}} + {frac {b} {c}} + {frac {c} {a}} - 1geq {frac {2} {3}} vlevo ({frac {a} {b}} + {frac {b} {c} } + {frac {c} {a}} ight) geq 2.}$

Ve srovnání,^{[2]:str.183, # 276.2}

${displaystyle {frac {r} {R}} geq {frac {4abc-a ^ ​​{3} -b ^ {3} -c ^ {3}} {2abc}},}$

kde pravá strana může být pozitivní nebo negativní.

Dvě další vylepšení Eulerovy nerovnosti jsou^{[2]:str.134, # 3087}

${displaystyle {frac {R} {r}} geq {frac {(b + c)} {3a}} + {frac {(c + a)} {3b}} + {frac {(a + b)} { 3c}} geq 2}$

a

${displaystyle left ({frac {R} {r}} ight) ^ {3} geq left ({frac {a} {b}} + {frac {b} {a}} ight) left ({frac {b} {c}} + {frac {c} {b}} ight) vlevo ({frac {c} {a}} + {frac {a} {c}} ight) geq 8.}$

Další symetrická nerovnost je^{[2]:s. 125, # 3004}

${displaystyle {frac {left ({sqrt {a}} - {sqrt {b}} ight) ^ {2} + vlevo ({sqrt {b}} - {sqrt {c}} ight) ^ {2} + vlevo ({sqrt {c}} - {sqrt {a}} ight) ^ {2}} {left ({sqrt {a}} + {sqrt {b}} + {sqrt {c}} ight) ^ {2} }} leq {frac {4} {9}} vlevo ({frac {R} {r}} - 2ight).}$

Navíc,

${displaystyle {frac {R} {r}} geq {frac {2 (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2})} {ab + bc + ca}};}$^[1]:288

${displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} + c ^ {3} leq 8s (R ^ {2} -r ^ {2})}$

pokud jde o semiperimetr s;^{[2]:str.20, č. 816}

${displaystyle r (r + 4R) geq {sqrt {3}} cdot T}$

z hlediska oblasti T;^{[5]:p. 201}

${displaystyle s {sqrt {3}} leq r + 4R}$ ^{[5]:p. 201}

a

${displaystyle s ^ {2} geq 16Rr-5r ^ {2}}$ ^{[2]:str.17 # 708}

pokud jde o semiperimetr s; a

${displaystyle 2R ^ {2} + 10Rr-r ^ {2} -2 (R-2r) {sqrt {R ^ {2} -2Rr}} leq s ^ {2}}$

${displaystyle leq 2R ^ {2} + 10Rr-r ^ {2} +2 (R-2r) {sqrt {R ^ {2} -2Rr}}}$

také z hlediska semiperimetru.^{[5]:p. 206[7]:p. 99} Tady výraz ${displaystyle {sqrt {R ^ {2} -2Rr}} = d}$ kde d je vzdálenost mezi incenterem a circumcenterem. V druhé dvojné nerovnosti platí první část s rovností právě tehdy, když je trojúhelník rovnoramenný s vrchol úhel alespoň 60 ° a poslední část platí s rovností právě tehdy, pokud je trojúhelník rovnoramenný s vrcholovým úhlem nejvýše 60 °. Oba jsou tedy rovnosti právě tehdy, je-li trojúhelník rovnostranný.^{[7]:Thm. 1}

Máme také pro každou stranu A^[32]

${displaystyle (Rd) ^ {2} -r ^ {2} leq 4R ^ {2} r ^ {2} vlevo ({frac {(R + d) ^ {2} -r ^ {2}} {(R + d) ^ {4}}} ight) leq {frac {a ^ {2}} {4}} leq Qleq (R + d) ^ {2} -r ^ {2},}$

kde ${displaystyle Q = R ^ {2}}$ pokud circumcenter je na nebo mimo incircle a ${displaystyle Q = 4R ^ {2} r ^ {2} vlevo ({frac {(R-d) ^ {2} -r ^ {2}} {(R-d) ^ {4}}} vpravo)}$ pokud je circumcenter uvnitř incircle. Circcenter je uvnitř incircle právě tehdy^[32]

${displaystyle {frac {R} {r}} <{sqrt {2}} + 1.}$

Dále,

${displaystyle {frac {9r} {2T}} leq {frac {1} {a}} + {frac {1} {b}} + {frac {1} {c}} leq {frac {9R} {4T} }.}$^{[1]:p. 291}

Blundonova nerovnost tvrdí, že^{[5]:p. 206;[33][34]}

${displaystyle sleq (3 {sqrt {3}} - 4) r + 2R.}$

Také máme pro všechny akutní trojúhelníky^[35]

${displaystyle s> 2R + r.}$

Pro centrum incircle Já, nechť AI, BI, a CI přesahovat Já protínat circumcircle v D, E, a F resp. Pak^{[2]:s. 14, # 644}

${displaystyle {frac {AI} {ID}} + {frac {BI} {IE}} + {frac {CI} {IF}} geq 3.}$

Pokud jde o vrcholové úhly, které máme ^{[2]:str. 193, # 342.6}

${displaystyle cos Acdot cos Bcdot cos Cleq left ({frac {r} {R {sqrt {2}}}} ight) ^ {2}.}$

Označit jako ${displaystyle R_ {A}, R_ {B}, R_ {C}}$ poloměry tečných kruhů ve vrcholech k oblouku trojúhelníku a na opačných stranách. Pak^{[36]:Thm. 4}

${displaystyle {frac {4} {R}} leq {frac {1} {R_ {A}}} + {frac {1} {R_ {B}}} + {frac {1} {R_ {C}}} leq {frac {2} {r}}}$

- s rovností pouze v rovnostranném případě a -^{[36]:Thm. 6}

${displaystyle {frac {9} {2}} rleq R_ {A} + R_ {B} + R_ {C} leq {frac {9} {4}} R}$

s rovností pouze v rovnostranném případě.

Circumradius a jiné délky

Pro cirkadius R my máme^{[2]:s. 101, # 2625}

${displaystyle 18R ^ {3} geq (a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}) R + abc {sqrt {3}}}$

a^{[2] :s. 35, # 1130}

${displaystyle a ^ {2/3} + b ^ {2/3} + c ^ {2/3} leq 3 ^ {7/4} R ^ {3/2}.}$

Také máme^[1]:287–90

${displaystyle a + b + cleq 3 {sqrt {3}} cdot R,}$

${displaystyle 9R ^ {2} geq a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2},}$

${displaystyle h_ {a} + h_ {b} + h_ {c} leq 3 {sqrt {3}} cdot R}$

z hlediska výšek,

${displaystyle m_ {a} ^ {2} + m_ {b} ^ {2} + m_ {c} ^ {2} leq {frac {27} {4}} R ^ {2}}$

pokud jde o mediány, a^{[2]:s. 26, # 957}

${displaystyle {frac {ab} {a + b}} + {frac {bc} {b + c}} + {frac {ca} {c + a}} geq {frac {2T} {R}}}$

z hlediska oblasti.

Navíc pro circumcenter Ó, nechť řádky AO, BO, a CO protínají protilehlé strany před naším letopočtem, CA, a AB na U, PROTI, a Ž resp. Pak^{[2]:17, č. 718}

${displaystyle OU + OV + OWgeq {frac {3} {2}} R.}$

U ostrého trojúhelníku je vzdálenost mezi circumcenterem Ó a orthocentrum H splňuje^{[2]:str. 26, # 954}

${displaystyle OH$

s opačnou nerovností drží tupý trojúhelník.

Cirkumradius je nejméně dvojnásobek vzdálenosti mezi prvním a druhým Brocardovy body B₁ a B₂:^[37]

${displaystyle Rgeq 2B_ {1} B_ {2}.}$

Inradius, exradii a další délky

Pro inradius r my máme^[1]:289–90

${displaystyle {frac {1} {a}} + {frac {1} {b}} + {frac {1} {c}} leq {frac {sqrt {3}} {2r}},}$

${displaystyle 9rleq h_ {a} + h_ {b} + h_ {c}}$

z hlediska nadmořských výšek a

${displaystyle {sqrt {r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2}}} geq 6r}$

pokud jde o poloměry excircles. Navíc máme

${displaystyle {sqrt {s}} ({sqrt {a}} + {sqrt {b}} + {sqrt {c}}) leq {sqrt {2}} (r_ {a} + r_ {b} + r_ { C})}$^{[2]:s. 66, # 1678}

a

${displaystyle {frac {abc} {r}} geq {frac {a ^ {3}} {r_ {a}}} + {frac {b ^ {3}} {r_ {b}}} + {frac {c ^ {3}} {r_ {c}}}.}$^{[2]:str.183, # 281.2}

Exradii a mediány souvisí^{[2]:s. 66, # 1680}

${displaystyle {frac {r_ {a} r_ {b}} {m_ {a} m_ {b}}} + {frac {r_ {b} r_ {c}} {m_ {b} m_ {c}}} + {frac {r_ {c} r_ {a}} {m_ {c} m_ {a}}} geq 3.}$

Navíc pro ostrý trojúhelník vzdálenost mezi středem incircle Já a orthocentrum H splňuje^{[2]:str. 26, # 954}

${displaystyle IH$

s obrácenou nerovností pro tupý trojúhelník.

Také akutní trojúhelník uspokojí^{[2]:str. 26, # 954}

${displaystyle r ^ {2} + r_ {a} ^ {2} + r_ {b} ^ {2} + r_ {c} ^ {2} <8R ^ {2},}$

z hlediska cirkadia R, opět s obrácenou nerovností, která drží tupý trojúhelník.

Pokud jsou vnitřní úhlové úhly úhlů A, B, C setkat se s opačnými stranami v U, PROTI, Ž pak^{[2]:str. 215,32. IMO, # 1}

${displaystyle {frac {1} {4}} <{frac {AIcdot BIcdot CI} {AUcdot BVcdot CW}} leq {frac {8} {27}}.}$

Pokud se vnitřní úhel půlí přes incenter Já prodloužit tak, aby splňovala obvodový kruh v X, Y a Z pak ^{[2]:str.181, # 264.4}

${displaystyle {frac {1} {IX}} + {frac {1} {IY}} + {frac {1} {IZ}} geq {frac {3} {R}}}$

pro circumradius R, a^{[2]:str.181, # 264.4[2]:s. 45, # 1282}

${displaystyle 0leq (IX-IA) + (IY-IB) + (IZ-IC) leq 2 (R-2r).}$