Erdős – Mordell nerovnost - Erdős–Mordell inequality

v Euklidovská geometrie, Erdős – Mordell nerovnost uvádí, že pro jakýkoli trojúhelník ABC a ukázat P uvnitř ABC, součet vzdáleností od P do stran je menší nebo rovna polovině součtu vzdáleností od P k vrcholům. Je pojmenován po Paul Erdős a Louis Mordell. Erdős (1935) nastolil problém prokazování nerovnosti; o důkaz poskytli o dva roky později Mordell a D. F. Barrow (1937 ). Toto řešení však nebylo příliš elementární. Následné jednodušší důkazy pak našel Kazarinov (1957), Bankoff (1958), a Alsina & Nelsen (2007).

Barrowova nerovnost je posílená verze nerovnosti Erdős – Mordell, ve které jsou vzdálenosti od P do stran jsou nahrazeny vzdálenostmi od P do bodů, kde úhlové přímky z ∠APB, ∠BPCa ∠CPA přes boky. I když jsou nahrazené vzdálenosti delší, jejich součet je stále menší nebo roven polovině součtu vzdáleností k vrcholům.

Prohlášení

Erdős – Mordell nerovnost

Nechat ${displaystyle P}$ být libovolný bod P uvnitř daného trojúhelníku ${displaystyle ABC}$ a nechte ${displaystyle PL}$ , ${displaystyle PM}$ , a ${displaystyle PN}$ být kolmice z ${displaystyle P}$ na strany trojúhelníků. (Pokud je trojúhelník tupý, může jedna z těchto kolmic procházet jinou stranou trojúhelníku a končit na přímce podporující jednu ze stran.) Potom nerovnost říká, že

{displaystyle PA + PB + PCgeq 2 (PL + PM + PN)}

Důkaz

Nechte strany ABC být A naproti A, b naproti B a C naproti C; také nechť PA = p, PB = q, PC = r, dist (P; BC) = X, dist (P; CA) = y, dist (P; AB) = z. Nejprve to dokazujeme

{displaystyle crgeq ax + od.}

To odpovídá

{displaystyle {frac {c (r + z)} {2}} geq {frac {ax + by + cz} {2}}.}

Pravá strana je oblast trojúhelníku ABC, ale na levé straně r + z je alespoň výška trojúhelníku; tedy levá strana nemůže být menší než pravá strana. Nyní odražte P na úhlové přímce v C. Zjistili jsme to cr ≥ ano + bx pro P odraz. Podobně, bq ≥ az + cx a ap ≥ B z + cy. Tyto nerovnosti řešíme pro r, q, a p:

{displaystyle rgeq (a / c) y + (b / c) x,}

{displaystyle qgeq (a / b) z + (c / b) x,}

{displaystyle pgeq (b / a) z + (c / a) y.}

Sčítáním všech tří dostaneme

{displaystyle p + q + rgeq left ({frac {b} {c}} + {frac {c} {b}} ight) x + left ({frac {a} {c}} + {frac {c} { a}} ight) y + left ({frac {a} {b}} + {frac {b} {a}} ight) z.}

Vzhledem k tomu, že součet kladného čísla a jeho vzájemnosti je nejméně 2 o Nerovnost mezi AM a GM, skončili jsme. Rovnost platí pouze pro rovnostranný trojúhelník, kde P je těžiště.

Další posílená verze

Nechť ABC je trojúhelník vepsaný do kruhu (O) a P je bod uvnitř ABC. Nechť D, E, F jsou ortogonální projekce P na BC, CA, AB. M, N, Q jsou ortogonální projekce P na tečny k (O) v A, B, C v tomto pořadí, pak:

{displaystyle PM + PN + PQgeq 2 (PD + PE + PF)}

Rovnost platí právě tehdy, je-li trojúhelník ABC rovnostranný (Dao, Nguyen a Pham 2016; Marinescu & Monea 2017 )

Zobecnění

Nechat ${displaystyle A_ {1} A_ {2} ... A_ {n}}$ být konvexní mnohoúhelník a ${displaystyle P}$ být vnitřním bodem ${displaystyle A_ {1} A_ {2} ... A_ {n}}$ . Nechat ${displaystyle R_ {i}}$ být vzdálenost od ${displaystyle P}$ na vrchol ${displaystyle A_ {i}}$ , ${displaystyle r_ {i}}$ vzdálenost od ${displaystyle P}$ na stranu ${displaystyle A_ {i} A_ {i + 1}}$ , ${displaystyle w_ {i}}$ úsečka úhlu úhlu ${displaystyle A_ {i} PA_ {i + 1}}$ z ${displaystyle P}$ na jeho průsečík se stranou ${displaystyle A_ {i} A_ {i + 1}}$ pak (Lenhard 1961 ):

{displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} R_ {i} geq left (sec {frac {pi} {n}} ight) sum _ {i = 1} ^ {n} w_ {i} geq left ( sec {frac {pi} {n}} ight) součet _ {i = 1} ^ {n} r_ {i}}

Viz také

Seznam nerovností trojúhelníku

Reference

Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2007), „Vizuální důkaz nerovnosti Erdős-Mordell“, Fórum Geometricorum, 7: 99–102.
Bankoff, Leon (1958), „Elementární důkaz věty Erdős-Mordell“, Americký matematický měsíčník, 65 (7): 521, doi:10.2307/2308580, JSTOR 2308580.
Dao, Thanh Oai; Nguyen, Tien Dung; Pham, Ngoc Mai (2016), „Posílená verze nerovnosti Erdős-Mordell“ (PDF), Fórum Geometricorum, 16: 317–321, PAN 3556993.
Erdős, Paul (1935), „Problém 3740“, Americký matematický měsíčník, 42: 396, doi:10.2307/2301373.
Kazarinoff, D. K. (1957), „Jednoduchý důkaz nerovnosti Erdős-Mordell pro trojúhelníky“, Michigan Mathematical Journal, 4 (2): 97–98, doi:10,1307 / mmj / 1028988998.
Lenhard, Hans-Christof (1961), „Verallgemeinerung und Verschärfung der Erdös-Mordellschen Ungleichung für Polygone“, Archiv für Mathematische Logik und Grundlagenforschung, 12: 311–314, doi:10.1007 / BF01650566, PAN 0133060.
Marinescu, Dan Stefan; Monea, Mihai (2017), „O posílené verzi nerovnosti Erdős-Mordell“ (PDF), Fórum Geometricorum, 17: 197–202.
Mordell, L. J.; Barrow, D. F. (1937), „Solution to 3740“, Americký matematický měsíčník, 44: 252–254, doi:10.2307/2300713.