Celočíselný trojúhelník - Integer triangle - Wikipedia

Heronský trojúhelník s postranními délkami C, E a b + da výška A, všechna celá čísla.

An celočíselný trojúhelník nebo integrální trojúhelník je trojúhelník všechny jejichž strany mají délky, které jsou celá čísla. A racionální trojúhelník lze definovat jako stranu se všemi stranami s racionální délkou; jakýkoli takový racionální trojúhelník může být integrálně změněn (může mít všechny strany vynásobené stejným celým číslem, jmenovitě společným násobkem jejich jmenovatelů), aby získal celočíselný trojúhelník, takže v tomto smyslu neexistuje podstatný rozdíl mezi celočíselnými trojúhelníky a racionálními trojúhelníky. Existují však i jiné definice pojmu „racionální trojúhelník“: V roce 1914 Carmichael^[1] termín jsme použili ve smyslu, v jakém jej dnes používáme Heronský trojúhelník; Somos^[2] používá jej k označení trojúhelníků, jejichž poměry stran jsou racionální; Conway a Guy^[3] definovat racionální trojúhelník jako jeden s racionálními stranami a racionálními úhly měřenými ve stupních - v takovém případě je jediným racionálním trojúhelníkem racionální oboustranný trojúhelník.

V celočíselném trojúhelníku existují různé obecné vlastnosti, které jsou uvedeny v první části níže. Všechny ostatní části odkazují na třídy celých trojúhelníků se specifickými vlastnostmi.

Obecné vlastnosti pro celočíselný trojúhelník

Celočíselné trojúhelníky s daným obvodem

Jakákoli trojice kladných celých čísel může sloužit jako délka strany celočíselného trojúhelníku, pokud splňuje nerovnost trojúhelníku: nejdelší strana je kratší než součet ostatních dvou stran. Každá taková trojice definuje celočíselný trojúhelník, který je jedinečný až do shody. Takže počet celočíselných trojúhelníků (až do shody) s obvodem p je počet oddíly z p do tří kladných částí, které uspokojí nerovnost trojúhelníku. Toto je celé číslo nejblíže^p2⁄₄₈ když p je sudé a^{(p + 3)2}⁄₄₈ když p je zvláštní.^[4][5] To také znamená, že počet celočíselných trojúhelníků s sudými číslovanými obvody p = 2n je stejný jako počet celočíselných trojúhelníků s lichými čísly obvodů p = 2n - 3. Neexistuje tedy celočíselný trojúhelník s obvodem 1, 2 nebo 4, jeden s obvodem 3, 5, 6 nebo 8 a dva s obvodem 7 nebo 10. Posloupnost počtu celočíselných trojúhelníků s obvodem p, počínaje od p = 1, je:

0, 0, 1, 0, 1, 1, 2, 1, 3, 2, 4, 3, 5, 4, 7, 5, 8, 7, 10, 8 ... (sekvence A005044 v OEIS )

Celočíselné trojúhelníky s danou největší stranou

Počet celočíselných trojúhelníků (do kongruence) s danou největší stranou C a celé číslo trojité (A, b, C) je počet celočíselných trojic takový, že A + b > C a A ≤ b ≤ C. Toto je celočíselná hodnota Strop [^(C + 1)⁄₂] * Patro [^(C + 1)⁄₂].^[4] Alternativně pro C dokonce je to dvojnásobek trojúhelníkové číslo ​^C⁄₂(​^C⁄₂ + 1) a pro C zvláštní je to náměstí ​^(C + 1)2⁄₄. To také znamená, že počet celočíselných trojúhelníků s největší stranou C překračuje počet celých trojúhelníků s největší stranou C-2 o C. Posloupnost počtu nekongruentních celočíselných trojúhelníků s největší stranou C, počínaje od C = 1, je:

1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, 20, 25, 30, 36, 42, 49, 56, 64, 72, 81, 90 ... (sekvence A002620 v OEIS )

Počet celočíselných trojúhelníků (až do shody) s danou největší stranou C a celé číslo trojité (A, b, C), které leží na půlkruhu v průměru nebo v něm C je počet celočíselných trojic takový, že A + b > C , A² + b² ≤ C² a A ≤ b ≤ C. Toto je také počet celočíselných tupých nebo pravých (neakutních) trojúhelníků s největší stranou C. Sekvence začínající na C = 1, je:

0, 0, 1, 1, 3, 4, 5, 7, 10, 13, 15, 17, 22, 25, 30, 33, 38, 42, 48 ... (sekvence A236384 v OEIS )

V důsledku toho rozdíl mezi dvěma výše uvedenými sekvencemi udává počet akutních celočíselných trojúhelníků (až do shody) s danou největší stranou C. Sekvence začínající na C = 1, je:

1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 31, 34, 39, 43, 48, 52 ... (pořadí A247588 v OEIS )

Oblast celočíselného trojúhelníku

Podle Heronův vzorec, pokud T je oblast trojúhelníku, jehož strany mají délky A, b, a C pak

${ displaystyle 4T = { sqrt {(a + b + c) (a + b-c) (a-b + c) (- a + b + c)}}.}$

Protože všechny podmínky pod radikální na pravé straně vzorce jsou celá čísla, z toho vyplývá, že všechny celočíselné trojúhelníky musí mít celočíselnou hodnotu 16T² a T² bude racionální.

Úhly celočíselného trojúhelníku

Podle zákon kosinů, každý úhel celočíselného trojúhelníku má a Racionální kosinus.

Pokud úhly libovolného trojúhelníku tvoří aritmetický postup, pak jeden z jeho úhlů musí být 60 °.^[6] U celočíselných trojúhelníků musí mít zbývající úhly také racionální kosiny a níže je uveden způsob generování takových trojúhelníků. Kromě triviálního případu rovnostranného trojúhelníku však neexistují žádné celočíselné trojúhelníky, jejichž úhly tvoří buď geometrický nebo harmonický postup. Je to proto, že takové úhly musí být racionálními úhly formy^πp⁄_q s racionální 0 <^p⁄_q <1. Ale všechny úhly celočíselných trojúhelníků musí mít racionální kosiny, což se stane, pouze když^p⁄_q = ​¹⁄₃ ^[7]:str.2 tj. celočíselný trojúhelník je rovnostranný.

Čtverec každého vnitřního úhlová osa celočíselného trojúhelníku je racionální, protože obecný trojúhelníkový vzorec pro vnitřní úhlovou přímku úhlu A je ${ displaystyle { tfrac {2 { sqrt {bcs (s-a)}}} {b + c}}}$ kde s je semiperimetr (a podobně pro půlící úhly ostatních úhlů).

Strana rozdělená podle nadmořské výšky

Žádný nadmořská výška spadnutí z vrcholu na opačnou stranu nebo jeho prodloužení rozdělí tuto stranu nebo její prodloužení na racionální délky.

Mediány

Čtverec dvakrát libovolného medián celočíselného trojúhelníku je celé číslo, protože obecný vzorec pro druhou mocninu m_A² na stranu A je ${ displaystyle { tfrac {(2b ^ {2} + 2c ^ {2} -a ^ {2})} {4}}}$, dávat (2m_A)² = 2b² + 2C² − A² (a podobně pro mediány do ostatních stran).

Circumradius a inradius

Protože čtverec oblasti celočíselného trojúhelníku je racionální, čtverec jeho circumradius je také racionální, stejně jako čtverec inradius.

Poměr inradius k circumradius celočíselného trojúhelníku je racionální, rovný ${ displaystyle { tfrac {4T ^ {2}} {sabc}}}$ pro semiperimetr s a oblast T.

Produkt inradius a circumradius celočíselného trojúhelníku je racionální, rovný ${ displaystyle { tfrac {abc} {2 (a + b + c)}}.}$

Tedy na druhou vzdálenost mezi stimulant a circumcenter celočíselného trojúhelníku, daného vztahem Eulerova věta tak jako R²-2Rr, je racionální.

Heronské trojúhelníky

Všechny heronské trojúhelníky lze umístit na mřížku s každým vrcholem v mřížovém bodě.^[8]

Obecný vzorec

Heronský trojúhelník, známý také jako a Volavka trojúhelník nebo a Hrdina trojúhelník, je trojúhelník s celočíselnými stranami a celočíselnou oblastí. Každý heronský trojúhelník má strany úměrné^[9]

${ displaystyle a = n (m ^ {2} + k ^ {2}) ,}$

${ displaystyle b = m (n ^ {2} + k ^ {2}) ,}$

${ displaystyle c = (m + n) (mn-k ^ {2}) ,}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = mn (m + n) ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = mnk (m + n) (mn-k ^ {2}) ,}$

pro celá čísla m, n a k s výhradou omezení:

${ displaystyle gcd {(m, n, k)} = 1 ,}$

${ displaystyle mn> k ^ {2} geq m ^ {2} n / (2 m + n) ,}$

${ displaystyle m geq n geq 1 ,}$.

Faktor proporcionality je obecně racionální${ displaystyle { frac {p} {q}}}$ kde${ displaystyle q = gcd {(a, b, c)}}$ redukuje vygenerovaný heronský trojúhelník na jeho primitivní a${ displaystyle p}$ zvětší tento primitiv na požadovanou velikost.

Pythagorovy trojúhelníky

Pythagorovský trojúhelník je pravoúhlý a heronský. Jeho tři celočíselné strany jsou známé jako a Pytagorejský trojnásobek nebo Pytagorejský triplet nebo Pytagorova triáda.^[10] Všechny Pythagorovy trojice ${ displaystyle (a, b, c)}$ s přeponou ${ displaystyle c}$ což jsou primitivní (strany, které nemají společný faktor) lze generovat pomocí

${ displaystyle a = m ^ {2} -n ^ {2}, ,}$

${ displaystyle b = 2 mil., ,}$

${ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}, ,}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = m (m + n) ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) ,}$

kde m a n jsou coprime celá čísla a jedno z nich je dokonce s m > n.

Každé sudé číslo větší než 2 může být nohou Pythagorova trojúhelníku (nemusí být nutně primitivní), protože pokud je noha dána ${ displaystyle a = 2m}$ a my si vybereme ${ displaystyle b = (a / 2) ^ {2} -1 = m ^ {2} -1}$ jako druhá noha je pak přepona ${ displaystyle c = m ^ {2} +1}$.^[11] Toto je v podstatě generační vzorec výše s ${ displaystyle n}$ nastaveno na 1 a povoleno ${ displaystyle m}$ v rozmezí od 2 do nekonečna.

Pythagorovy trojúhelníky s celočíselnou nadmořskou výškou od přepony

Z přepony neexistují žádné primitivní Pythagorovy trojúhelníky s celočíselnou nadmořskou výškou. Důvodem je, že dvojnásobek plochy se rovná libovolnému základu krát odpovídající výšce: dvojnásobek plochy se tedy rovná oběma ab a CD kde d je výška od přepony C. Tři délky stran primitivního trojúhelníku jsou coprime, takže d = ​^ab⁄_C je v plně redukované formě; od té doby C nemůže se rovnat 1 pro žádný primitivní Pythagorovský trojúhelník, d nemůže být celé číslo.

Jakýkoli pythagorovský trojúhelník s nohama X, y a přepona z může generovat Pythagorovský trojúhelník s celočíselnou nadmořskou výškou, a to zvětšením stran o délku přepony z. Li d je nadmořská výška, pak je generovaný Pythagorovský trojúhelník s celočíselnou nadmořskou výškou dán vztahem^[12]

${ displaystyle (a, b, c, d) = (xz, yz, z ^ {2}, xy). ,}$

V důsledku toho všechny Pythagorovy trojúhelníky s nohami A a b, přepona Ca nadmořská výška celého čísla d z přepony, s gcd (abeceda) = 1, které nutně mají obojí A² + b² = c² a ${ displaystyle { tfrac {1} {a ^ {2}}} + { tfrac {1} {b ^ {2}}} = { tfrac {1} {d ^ {2}}}}$, jsou generovány^[13][12]

${ displaystyle a = (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle b = 2mn (m ^ {2} + n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle c = (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2}, ,}$

${ displaystyle d = 2mn (m ^ {2} -n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = m (m + n) (m ^ {2} + n ^ {2}) ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = mn (m ^ {2} -n ^ {2}) (m ^ {2} + n ^ {2}) ^ {2} ,}$

pro coprime celá čísla m, n s m > n.

Heronské trojúhelníky se stranami v aritmetickém postupu

Trojúhelník s celočíselnými stranami a celočíselnou oblastí má strany v aritmetickém postupu, právě když^[14] strany jsou (b – d, b, b + d), kde

${ displaystyle b = 2 (m ^ {2} + 3n ^ {2}) / g, ,}$

${ displaystyle d = (m ^ {2} -3n ^ {2}) / g, ,}$

a kde G je největším společným dělitelem ${ displaystyle m ^ {2} -3n ^ {2},}$ ${ displaystyle 2 mil.}$, a ${ displaystyle m ^ {2} + 3n ^ {2}.}$

Heronské trojúhelníky s jedním úhlem rovným dvojnásobku druhého

Všechny heronské trojúhelníky s B = 2A jsou generovány^[15] buď

${ displaystyle a = { tfrac {k ^ {2} (s ^ {2} + r ^ {2}) ^ {2}} {4}}, ,}$

${ displaystyle b = { tfrac {k ^ {2} (s ^ {4} -r ^ {4})} {2}}, ,}$

${ displaystyle c = { tfrac {k ^ {2} (3 s ^ {4} -10 s ^ {2} r ^ {2} + 3r ^ {4})} {4}} ,}$

${ displaystyle { text {Area}} = { tfrac {k ^ {2} csr (s ^ {2} -r ^ {2})} {2}} ,}$

s celými čísly k, s, r takhle s² > 3r²nebo

${ displaystyle a = { tfrac {q ^ {2} (u ^ {2} + v ^ {2}) ^ {2}} {4}} ,}$,

${ displaystyle b = q ^ {2} uv (u ^ {2} + v ^ {2}) ,}$,

${ displaystyle c = { tfrac {q ^ {2} (14u ^ {2} v ^ {2} -u ^ {4} -v ^ {4})} {4}} ,}$,

${ displaystyle { text {Area}} = { tfrac {q ^ {2} cuv (v ^ {2} -u ^ {2})} {2}} ,}$,

s celými čísly q, u, proti takhle proti > u a proti² < (7+4√3)u².

Žádné heronské trojúhelníky s B = 2A jsou rovnoramenné nebo pravé trojúhelníky, protože všechny výsledné kombinace úhlů generují úhly s neracionálními sinusy, což dává neracionální oblast nebo stranu.

Rovnoramenné heronské trojúhelníky

Všechno rovnoramenný Heronské trojúhelníky jsou rozložitelné. Jsou vytvořeny spojením dvou shodných Pythagorových trojúhelníků podél jedné ze společných nohou tak, že stejnými stranami rovnoramenného trojúhelníku jsou přepony Pythagorových trojúhelníků a základna rovnoramenného trojúhelníku je dvakrát druhou Pythagorovou nohou. Každý pythagorovský trojúhelník je tedy stavebním kamenem pro dva rovnoramenné heronské trojúhelníky, protože spoj může být podél kterékoli nohy. Všechny páry rovnoramenných heronských trojúhelníků jsou dány racionálními násobky^[16]

${ displaystyle a = 2 (u ^ {2} -v ^ {2}),}$

${ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

a

${ displaystyle a = 4uv,}$

${ displaystyle b = u ^ {2} + v ^ {2},}$

${ displaystyle c = u ^ {2} + v ^ {2},}$

pro coprime celá čísla u a proti s u > proti a u + proti zvláštní.

Heronské trojúhelníky, jejichž obvod je čtyřikrát prvočíslo

Ukázalo se, že heronský trojúhelník, jehož obvod je čtyřikrát prvočíslo, je jednoznačně spojen s prvočíslem a že prvočíslo má tvar ${ displaystyle 1 { text {or}} 3 { text {mod}} 8}$. ^[17][18] Je dobře známo, že takový prime ${ displaystyle p}$ lze jednoznačně rozdělit na celá čísla ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ takhle ${ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$ (vidět Eulerova idonální čísla ). Dále se ukázalo, že takové heronské trojúhelníky jsou primitivní, protože nejmenší strana trojúhelníku se musí rovnat prvočíslu, které je jednou čtvrtinou jeho obvodu.

V důsledku toho mohou být generovány všechny primitivní heronské trojúhelníky, jejichž obvod je čtyřikrát prvočíslo

${ displaystyle a = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$

${ displaystyle b = m ^ {2} + 4n ^ {2}}$

${ displaystyle c = 2 (m ^ {2} + n ^ {2})}$

${ displaystyle { text {Semiperimeter}} = 2a = 2 (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

${ displaystyle { text {Area}} = 2 mil. (m ^ {2} + 2n ^ {2})}$

pro celá čísla ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ takhle ${ displaystyle m ^ {2} + 2n ^ {2}}$ je prime.

Faktorizace oblasti je dále ${ displaystyle 2mnp}$ kde ${ displaystyle p = m ^ {2} + 2n ^ {2}}$ je hlavní. Oblast heronského trojúhelníku je však vždy dělitelná ${ displaystyle 6}$. To dává výsledek, že kromě toho kdy ${ displaystyle m = 1}$ a ${ displaystyle n = 1,}$ který dává ${ displaystyle p = 3,}$ všechny ostatní části ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ musí mít ${ displaystyle m}$ liché, přičemž pouze jeden z nich je dělitelný ${ displaystyle 3}$.

Heronské trojúhelníky s celým číslem inradius a exradii

Existuje nekonečně mnoho rozložitelných a nekonečně mnoho nerozložitelných, primitivních heronských (nepytagorejských) trojúhelníků s celočíselnými poloměry pro incircle a každý excircle.^{[19]:Thms. 3 a 4} Rodina rozložitelných je dána

${ displaystyle a = 4n ^ {2}, quad quad b = (2n + 1) (2n ^ {2} -2n + 1), quad quad c = (2n-1) (2n ^ {2 } + 2n + 1),}$

${ displaystyle r = 2n-1, quad quad r_ {a} = 2n + 1, quad quad r_ {b} = 2n ^ {2}, quad quad r_ {c} = { text { Oblast}} = 2n ^ {2} (2n-1) (2n + 1);}$

a rodina nerozložitelných je dána

${ displaystyle a = 5 (5n ^ {2} + n-1), quad quad b = (5n + 3) (5n ^ {2} -4n + 1), quad quad c = (5n- 2) (5n ^ {2} + 6n + 2),}$

${ displaystyle r = 5n-2, quad quad r_ {a} = 5n + 3, quad quad r_ {b} = 5n ^ {2} + n-1, quad quad r_ {c} = { text {Area}} = (5n-2) (5n + 3) (5n ^ {2} + n-1).}$

Heronské trojúhelníky jako tváře čtyřstěnu

Existují čtyřstěn s celočíselnou hodnotou objem a Heron trojúhelníky jako tváře. Jeden příklad má jeden okraj 896, protilehlý okraj 190 a další čtyři okraje 1073; dvě tváře mají oblasti 436800 a další dvě mají oblasti 47120, zatímco objem je 62092800.^{[10]:s. 107}

Heronské trojúhelníky ve 2D mřížce

2D mříž je pravidelné pole izolovaných bodů, kde pokud je jako bod zvolen jeden bod Kartézský původ (0, 0), pak jsou všechny ostatní body v (x, y) kde X a y rozsah přes všechna kladná a záporná celá čísla. Mřížkový trojúhelník je jakýkoli trojúhelník nakreslený v 2D mřížce tak, že všechny vrcholy leží na mřížových bodech. Podle Pickova věta mřížkový trojúhelník má racionální oblast, která je buď celé číslo, nebo má jmenovatel 2. Pokud má mřížkový trojúhelník celé strany, pak je heronský s celočíselnou oblastí.^[20]

Dále bylo prokázáno, že všechny heronské trojúhelníky lze nakreslit jako příhradové trojúhelníky.^[21][22] V důsledku toho je celočíselný trojúhelník heronský právě tehdy, když jej lze nakreslit jako mřížkový trojúhelník.

Existuje nekonečně mnoho primitivních heronských (nepythagorovských) trojúhelníků, které lze umístit na celočíselnou mřížku se všemi vrcholy, stimulant a všechny tři excentry v mřížových bodech. Dvě rodiny takových trojúhelníků jsou ty s výše uvedenými parametrizacemi na #Heronské trojúhelníky s celým číslem inradius a exradii.^{[19]:Thm. 5}

Celé automatizované trojúhelníky

Automanový trojúhelník je trojúhelník, jehož mediány jsou ve stejném poměru (v opačném pořadí) jako strany. Li X, y, a z jsou tři strany pravoúhlého trojúhelníku, seřazené ve vzestupném pořadí podle velikosti, a pokud 2X < z, pak z, X + y, a y − X jsou tři strany automatizovaného trojúhelníku. Například pravý trojúhelník s délkami stran 5, 12 a 13 lze tímto způsobem použít k vytvoření nejmenšího netriviálního (tj. nerovnostranný ) integer automedian triangle, with side lengths 13, 17, and 7.^[23]

V důsledku toho pomocí Euklidův vzorec, který generuje primitivní Pythagorovy trojúhelníky, je možné generovat primitivní celočíselné automatizované trojúhelníky jako

${ displaystyle a = | m ^ {2} -2mn-n ^ {2} |}$

${ displaystyle b = m ^ {2} + 2mn-n ^ {2}}$

${ displaystyle c = m ^ {2} + n ^ {2}}$

s ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ coprime a ${ displaystyle m + n}$ zvláštní a ${ displaystyle n$ (pokud je množství uvnitř znaků absolutní hodnoty záporné) nebo${ displaystyle m> (2 + { sqrt {3}}) n}$ (pokud je toto množství kladné) k uspokojení nerovnost trojúhelníku.

Důležitou charakteristikou automatizovaného trojúhelníku je to, že čtverce jeho stran tvoří aritmetický postup. Konkrétně ${ displaystyle c ^ {2} -a ^ {2} = b ^ {2} -c ^ {2}}$ tak ${ displaystyle 2c ^ {2} = a ^ {2} + b ^ {2}}$.

Celočíselné trojúhelníky se specifickými vlastnostmi úhlu

Celočíselné trojúhelníky s racionálním úhelníkem

Rodina trojúhelníků s celočíselnými stranami ${ displaystyle a, b, c}$ a s racionálním půlení ${ displaystyle d}$ úhlu A je dán vztahem^[24]

${ displaystyle a = 2 (k ^ {2} -m ^ {2}), ,}$

${ displaystyle b = (k-m) ^ {2}, ,}$

${ displaystyle c = (k + m) ^ {2}, ,}$

${ displaystyle d = { tfrac {2km (k ^ {2} -m ^ {2})} {k ^ {2} + m ^ {2}}}, ,}$

s celými čísly ${ displaystyle k> m> 0}$.

Celočíselné trojúhelníky s celým číslem n-sektory všech úhlů

Existuje nekonečně mnoho nepodobných trojúhelníků, ve kterých jsou tři strany a půlící čáry každého ze tří úhlů celá čísla.^[25]

Existuje nekonečně mnoho nepodobných trojúhelníků, ve kterých jsou tři strany a dva trisektory každého ze tří úhlů celá čísla.^[25]

Nicméně pro n > 3 neexistují žádné trojúhelníky, ve kterých by tři strany a (n–1) n-sektory každého ze tří úhlů jsou celá čísla.^[25]

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem s daným racionálním kosinusem

Některé celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem na vrcholu A vzhledem k tomu, racionální kosinus h / k (h<0 nebo> 0; k> 0) jsou dány^[26]

${ displaystyle a = p ^ {2} -2pqh + q ^ {2} k ^ {2},}$

${ displaystyle b = p ^ {2} -q ^ {2} k ^ {2},}$

${ displaystyle c = 2qk (p-qh),}$

kde p a q jsou coprime pozitivní celá čísla taková, že p> qk.

Celočíselné trojúhelníky s úhlem 60 ° (úhly v aritmetickém postupu)

Všechny celočíselné trojúhelníky s úhlem 60 ° mají své úhly v aritmetické posloupnosti. Všechny tyto trojúhelníky jsou úměrné:^[6]

${ displaystyle a = 4 mil. ,}$

${ displaystyle b = 3m ^ {2} + n ^ {2} ,}$

${ displaystyle c = 2mn + | 3m ^ {2} -n ^ {2} | ,}$

s celými čísly coprime m, n a 1 ≤n ≤ m nebo 3m ≤ n. Odtud lze všechna primitivní řešení získat dělením A, b, a C jejich největším společným dělitelem.

Celé trojúhelníky s úhlem 60 ° lze také generovat pomocí^[27]

${ displaystyle a = m ^ {2} -mn + n ^ {2} ,}$

${ displaystyle b = 2mn-n ^ {2} ,}$

${ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2} ,}$

s celými čísly coprime m, n s 0 <n < m (úhel 60 ° je naproti straně délky A). Odtud lze všechna primitivní řešení získat dělením A, b, a C jejich největším společným dělitelem (např. řešení rovnostranného trojúhelníku se získá převzetím m = 2 a n = 1, ale toto produkuje A = b = C = 3, což není primitivní řešení). Viz také ^[28][29]

Přesněji, pokud ${ displaystyle m = -n (mod 3)}$, pak ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$, v opačném případě ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$. Dva různé páry ${ displaystyle (m, n)}$ a ${ displaystyle (m, m-n)}$ generovat stejné trojité. Bohužel tyto dva páry mohou být gcd = 3, takže se duplikátům nemůžeme vyhnout pouhým přeskočením daného případu. Místo toho lze duplikátům zabránit pomocí ${ displaystyle n}$ jít jen do ${ displaystyle m / 2}$. Stále musíme vydělit 3, pokud gcd = 3. Jediné řešení pro ${ displaystyle n = m / 2}$ za výše uvedených omezení je ${ displaystyle (3,3,3) ekviv (1,1,1)}$ pro ${ displaystyle m = 2, n = 1}$. S tímto dalším ${ displaystyle n leq m / 2}$ omezení lze trojnásobně generovat jedinečně.

An Eisenstein trojnásobný je sada celých čísel, což jsou délky stran trojúhelníku, kde jeden z úhlů je 60 stupňů.

Celé trojúhelníky s úhlem 120 °

Celé trojúhelníky s úhlem 120 ° lze generovat pomocí^[30]

${ displaystyle a = m ^ {2} + mn + n ^ {2}, ,}$

${ displaystyle b = 2mn + n ^ {2}, ,}$

${ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2} ,}$

s celými čísly coprime m, n s 0 <n < m (úhel 120 ° je naproti straně délky A). Odtud lze všechna primitivní řešení získat dělením A, b, a C jejich největším společným dělitelem. Nejmenší řešení pro m= 2 a n= 1, je trojúhelník se stranami (3,5,7). Viz také.^[28][29]

Přesněji, pokud ${ displaystyle m = n (mod 3)}$, pak ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 3}$, v opačném případě ${ displaystyle gcd (a, b, c) = 1}$. Protože největší strana A lze vygenerovat pouze jediným ${ displaystyle (m, n)}$ Pár, každé primitivní triple lze generovat přesně dvěma způsoby: jednou přímo s gcd = 1 a jednou nepřímo s gcd = 3. Proto, aby bylo možné generovat všechny primitivní trojky jedinečně, stačí přidat další ${ Displaystyle m neq n (mod 3)}$ stav.^{[Citace je zapotřebí ]}

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem rovným libovolnému racionálnímu číslu krát jinému úhlu

Pro pozitivní relativně primární celá čísla h a k, trojúhelník s následujícími stranami má úhly ${ displaystyle h alpha}$, ${ displaystyle k alpha}$, a ${ displaystyle pi - (h + k) alfa}$ a tedy dva úhly v poměru h: ka jeho strany jsou celá čísla:^[31]

${ displaystyle a = q ^ {h + k-1} { frac { sin h alpha} { sin alpha}} = q ^ {k} cdot sum _ {0 leq i leq { frac {h-1} {2}}} (- 1) ^ {i} { binom {h} {2i + 1}} p ^ {h-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${ displaystyle b = q ^ {h + k-1} { frac { sin k alpha} { sin alpha}} = q ^ {h} cdot sum _ {0 leq i leq { frac {k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} { binom {k} {2i + 1}} p ^ {k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

${ displaystyle c = q ^ {h + k-1} { frac { sin (h + k) alpha} { sin alpha}} = součet _ {0 leq i leq { frac { h + k-1} {2}}} (- 1) ^ {i} { binom {h + k} {2i + 1}} p ^ {h + k-2i-1} (q ^ {2} -p ^ {2}) ^ {i},}$

kde ${ displaystyle alpha = cos ^ {- 1} { frac {p} {q}}}$ a p a q jsou nějaká relativně primární celá čísla taková, že ${ displaystyle cos { frac { pi} {h + k}} <{ frac {p} {q}} <1}$.

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem rovným dvojnásobku druhého

S úhlem A protilehlou stranou ${ displaystyle a}$ a úhel B protilehlá strana ${ displaystyle b}$, některé trojúhelníky s B = 2A jsou generovány^[32]

${ displaystyle a = n ^ {2}, ,}$

${ displaystyle b = mn ,}$

${ displaystyle c = m ^ {2} -n ^ {2}, ,}$

s celými čísly m, n takové, že 0 <n < m < 2n.

Všechny trojúhelníky s B = 2A (ať už celé číslo nebo ne)^[33] ${ displaystyle a (a + c) = b ^ {2}}$.

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem rovným 3/2 násobku druhého

Třída ekvivalence podobných trojúhelníků s ${ displaystyle B = { tfrac {3} {2}} A}$ jsou generovány^[32]

${ displaystyle a = mn ^ {3}, ,}$

${ displaystyle b = n ^ {2} (m ^ {2} -n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle c = (m ^ {2} -n ^ {2}) ^ {2} -m ^ {2} n ^ {2}, ,}$

s celými čísly ${ displaystyle m, n}$ takhle ${ displaystyle 0 < varphi n$, kde ${ displaystyle varphi}$ je Zlatý řez ${ displaystyle varphi = { frac {1 + { sqrt {5}}} {2}} přibližně 1,61803}$.

Všechny trojúhelníky s ${ displaystyle B = { tfrac {3} {2}} A}$ (ať už s celočíselnými stranami nebo ne) splňují ${ displaystyle (b ^ {2} -a ^ {2}) (b ^ {2} -a ^ {2} + bc) = a ^ {2} c ^ {2}}$.

Celočíselné trojúhelníky s jedním úhlem třikrát jiným

Můžeme vygenerovat úplnou třídu ekvivalence podobných trojúhelníků, které splňují B = 3A pomocí vzorců ^[34]

${ displaystyle a = n ^ {3}, ,}$

${ displaystyle b = n (m ^ {2} -n ^ {2}), ,}$

${ displaystyle c = m (m ^ {2} -2n ^ {2}), ,}$

kde ${ displaystyle m}$ a ${ displaystyle n}$ jsou celá čísla taková ${ displaystyle { sqrt {2}} n$.

Všechny trojúhelníky s B = 3A (ať už s celočíselnými stranami nebo ne) splňují ${ displaystyle ac ^ {2} = (b-a) ^ {2} (b + a)}$.

Celočíselné trojúhelníky se třemi racionálními úhly

Jediný celočíselný trojúhelník se třemi racionálními úhly (racionální počet stupňů nebo ekvivalentně racionální zlomky celého tahu) je rovnostranný trojúhelník.^[3] Je to proto, že celočíselné strany znamenají tři racionální kosiny podle zákon kosinů, a tím Nivenova věta racionální kosinus se shoduje s racionálním úhlem právě tehdy, když se kosinus rovná 0, ± 1/2 nebo ± 1. Jediné z nich, které udávají úhel striktně mezi 0 ° a 180 °, jsou kosinová hodnota 1/2 s úhlem 60 °, kosinová hodnota –1/2 s úhlem 120 ° a kosinová hodnota 0 s úhlem 90 °. Jedinou kombinací tří z nich, umožňující vícenásobné použití kteréhokoli z nich se součtem 180 °, jsou tři úhly 60 °.

Celočíselné trojúhelníky s celočíselným poměrem circumradius k inradius

Podmínky jsou známy z hlediska eliptické křivky pro celočíselný trojúhelník mít celočíselný poměr N z circumradius do inradius.^[35][36] Nejmenší případ, případ rovnostranný trojúhelník, má N= 2. V každém známém případě N ≡ 2 (mod 8) - to je, N–2 je dělitelné 8.

5-Con trojúhelníkové páry

Dvojice trojúhelníků 5 Con je dvojice trojúhelníků, které jsou podobný ale ne shodný a které sdílejí tři úhly a dvě boční síly. Primitivní celé číslo 5-Con trojúhelníky, ve kterých čtyři odlišné celočíselné strany (dvě strany, z nichž každá se objevuje v obou trojúhelnících, a jedna další strana v každém trojúhelníku), nemají žádný primární faktor, mají trojité strany

${ displaystyle (x ^ {3}, x ^ {2} y, xy ^ {2})}$ a ${ displaystyle (x ^ {2} y, xy ^ {2}, y ^ {3})}$

pro pozitivní celá čísla coprime X a y. Nejmenším příkladem je dvojice (8, 12, 18), (12, 18, 27), generovaná X = 2, y = 3.

Jednotlivé celočíselné trojúhelníky

• Jediný trojúhelník s po sobě jdoucími celými čísly pro strany a oblast má strany (3, 4, 5) a oblast 6.
• Jediný trojúhelník s po sobě jdoucími celými čísly pro nadmořskou výšku a po stranách má strany (13, 14, 15) a nadmořskou výšku od strany 14 rovnou 12.
• Trojúhelník (2, 3, 4) a jeho násobky jsou jedinými trojúhelníky s celočíselnými stranami v aritmetickém postupu a mající doplňkovou vlastnost vnějšího úhlu.^[37][38][39] Tato vlastnost uvádí, že pokud je úhel C tupý a segment spadne ze schůzky B kolmo na AC prodloužena na P, pak ∠CAB = 2∠CBP.
• The (3, 4, 5) triangle and its multiples are the only integer right triangles having sides in arithmetic progression^[39]
• Trojúhelník (4, 5, 6) a jeho násobky jsou jedinými trojúhelníky, přičemž jeden úhel je dvakrát jiný a má celočíselné strany v aritmetické posloupnosti.^[39]
• The (3, 5, 7) triangle and its multiples are the only triangles with a 120 ° angle and having integer sides in arithmetic progression.^[39]
• Jediný celočíselný trojúhelník s plochou = semiperimetr^[40] má strany (3, 4, 5).
• Jediné celočíselné trojúhelníky s plochou = obvod mají strany^[40][41] (5, 12, 13), (6, 8, 10), (6, 25, 29), (7, 15, 20) a (9, 10, 17). Z nich první dva, ale ne poslední tři, jsou pravé trojúhelníky.
• Existují celočíselné trojúhelníky se třemi racionálními mediány.^{[10]:p. 64} Nejmenší má strany (68, 85, 87). Mezi další patří (127, 131, 158), (113, 243, 290), (145, 207, 328) a (327, 386, 409).
• Neexistují žádné rovnoramenné Pythagorovy trojúhelníky.^[16]
• Jediné primitivní Pythagorovy trojúhelníky, u nichž se čtverec obvodu rovná celočíselnému násobku plochy, jsou (3, 4, 5) s obvodem 12 a plochou 6 as poměrem obvodu na druhou k ploše 24; (5, 12, 13) s obvodem 30 a plochou 30 a s poměrem obvodu na druhou k ploše 30; a (9, 40, 41) s obvodem 90 a plochou 180 a s poměrem obvodu na druhou k ploše 45.^[42]
• Existuje jedinečná dvojice racionálního pravoúhlého trojúhelníku a racionálního rovnoramenného trojúhelníku, které mají stejný obvod a stejnou plochu. Jedinečný pár se skládá z trojúhelníku (377, 135, 352) a trojúhelníku (366, 366, 132).^[43] Neexistuje žádná dvojice takových trojúhelníků, pokud jsou trojúhelníky také požadovány jako primitivní integrální trojúhelníky.^[43] Autoři zdůrazňují pozoruhodnou skutečnost, že druhé tvrzení lze dokázat elementární argumentací (činí tak ve své příloze A), zatímco první tvrzení vyžaduje moderní vysoce netriviální matematiku.

Viz také

• Robbins pětiúhelník, cyklický pětiúhelník s celočíselnými stranami a celočíselnou oblastí
• Eulerova cihla, kvádr s celočíselnými hranami a celočíselnými úhlopříčkami
• Čtyřstěn # Celočíselný čtyřstěn

Reference