Heptagonální trojúhelník - Heptagonal triangle

Pravidelný sedmiúhelník (s červenými stranami), jeho delší úhlopříčky (zelená) a kratší úhlopříčky (modrá). Každý ze čtrnácti shodný sedmihranné trojúhelníky má jednu zelenou stranu, jednu modrou stranu a jednu červenou stranu.

A sedmiúhelníkový trojúhelník je tupý scalene trojúhelník jehož vrcholy se shodují s prvním, druhým a čtvrtým vrcholem pravidelného sedmiúhelník (z libovolného počátečního vrcholu). Jeho strany se tedy shodují s jednou stranou a sousední kratší a delší úhlopříčky pravidelného sedmiúhelníku. Všechny sedmiúhelníkové trojúhelníky jsou podobný (mají stejný tvar), a proto jsou souhrnně označovány jako the sedmihranný trojúhelník. Jeho úhly mají míry ${ displaystyle pi / 7,2 pi / 7,}$ a ${ displaystyle 4 pi / 7,}$ a je to jediný trojúhelník s úhly v poměru 1: 2: 4. Sedmiúhelníkový trojúhelník má různé pozoruhodné vlastnosti

Klíčové body

Sedmiúhelníkový trojúhelník devítibodový střed je také jeho první Brocardův bod.^{[1]:Návrhy. 12}

Druhý Brocardův bod leží na devítibodové kružnici.^{[2]:p. 19}

The circumcenter a Fermatovy body sedmiúhelníkového trojúhelníku tvoří rovnostranný trojúhelník.^{[1]:Thm. 22}

Vzdálenost mezi circumcenterem Ó a ortocentrum H darováno^{[2]:p. 19}

${ displaystyle OH = R { sqrt {2}},}$

kde R je circumradius. Druhá mocnina vzdálenosti od stimulant Já do orthocentra je^{[2]:p. 19}

${ displaystyle IH ^ {2} = { frac {R ^ {2} + 4r ^ {2}} {2}},}$

kde r je inradius.

Dvě tečny od orthocentra po obvodový kruh jsou vzájemně kolmý.^{[2]:p. 19}

Vztahy vzdáleností

Strany

Boky šestiúhelníkového trojúhelníku A < b < C shoduje se s pravou stranou sedmiúhelníku, kratší úhlopříčka a delší úhlopříčka. Uspokojují^{[3]:Lemma 1}

${ displaystyle { begin {aligned} a ^ {2} & = c (cb), [5pt] b ^ {2} & = a (c + a), [5pt] c ^ {2} & = b (a + b), [5pt] { frac {1} {a}} & = { frac {1} {b}} + { frac {1} {c}} end { zarovnaný}}}$

(dopis^{[2]:p. 13} být optická rovnice ) a tedy

${ displaystyle ab + ac = bc,}$

a^{[3]:Coro. 2}

${ displaystyle b ^ {3} + 2b ^ {2} c-bc ^ {2} -c ^ {3} = 0,}$

${ displaystyle c ^ {3} -2c ^ {2} a-ca ^ {2} + a ^ {3} = 0,}$

${ displaystyle a ^ {3} -2a ^ {2} b-ab ^ {2} + b ^ {3} = 0.}$

Tím pádem -b/C, C/A, a A/b všichni uspokojí kubická rovnice

${ displaystyle t ^ {3} -2t ^ {2} -t + 1 = 0.}$

Ne algebraické výrazy s čistě reálnými pojmy existují pro řešení této rovnice, protože je příkladem casus irreducibilis.

Přibližný vztah stran je

${ Displaystyle b přibližně 1,80193 cdot a, qquad c přibližně 2,24698 cdot a.}$

Také máme^[4]

${ displaystyle { frac {a ^ {2}} {bc}}, quad - { frac {b ^ {2}} {ca}}, quad - { frac {c ^ {2}} { ab}}}$

uspokojit kubická rovnice

${ displaystyle t ^ {3} + 4t ^ {2} + 3t-1 = 0.}$

Také máme^[4]

${ displaystyle { frac {a ^ {3}} {bc ^ {2}}}, quad - { frac {b ^ {3}} {ca ^ {2}}}, quad { frac { c ^ {3}} {ab ^ {2}}}}$

uspokojit kubická rovnice

${ displaystyle t ^ {3} -t ^ {2} -9t + 1 = 0.}$

Také máme^[4]

${ displaystyle { frac {a ^ {3}} {b ^ {2} c}}, quad { frac {b ^ {3}} {c ^ {2} a}}, quad - { frac {c ^ {3}} {a ^ {2} b}}}$

uspokojit kubická rovnice

${ displaystyle t ^ {3} + 5t ^ {2} -8t + 1 = 0.}$

Také máme^{[2]:p. 14}

${ displaystyle b ^ {2} -a ^ {2} = ac,}$

${ displaystyle c ^ {2} -b ^ {2} = ab,}$

${ displaystyle a ^ {2} -c ^ {2} = - bc,}$

a^{[2]:p. 15}

${ displaystyle { frac {b ^ {2}} {a ^ {2}}} + { frac {c ^ {2}} {b ^ {2}}} + { frac {a ^ {2} } {c ^ {2}}} = 5.}$

Také máme^[4]

${ displaystyle ab-bc + ca = 0,}$

${ displaystyle a ^ {3} b-b ^ {3} c + c ^ {3} a = 0,}$

${ displaystyle a ^ {4} b + b ^ {4} c-c ^ {4} a = 0,}$

${ displaystyle a ^ {11} b ^ {3} -b ^ {11} c ^ {3} + c ^ {11} a ^ {3} = 0.}$

Neexistují žádné další (m, n), m, n > 0, m, n <2000 takové, že^{[Citace je zapotřebí ]}

${ displaystyle a ^ {m} b ^ {n} pm b ^ {m} c ^ {n} pm c ^ {m} a ^ {n} = 0.}$

Nadmořské výšky

Nadmořské výšky h_A, h_b, a h_C uspokojit

${ displaystyle h_ {a} = h_ {b} + h_ {c}}$^{[2]:p. 13}

a

${ displaystyle h_ {a} ^ {2} + h_ {b} ^ {2} + h_ {c} ^ {2} = { frac {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2 }} {2}}.}$^{[2]:p. 14}

Nadmořská výška ze strany b (opačný úhel B) je polovina úhlu úhlu úhlu ${ displaystyle w_ {A}}$ z A:^{[2]:p. 19}

${ displaystyle 2h_ {b} = w_ {A}.}$

Tady úhel A je nejmenší úhel a B je druhý nejmenší.

Vnitřní úhlové přímky

Máme tyto vlastnosti vnitřní úhlové přímky ${ displaystyle w_ {A}, w_ {B},}$ a ${ displaystyle w_ {C}}$ úhlů A, B, a C respektive:^{[2]:p. 16}

${ displaystyle w_ {A} = b + c,}$

${ displaystyle w_ {B} = c-a,}$

${ displaystyle w_ {C} = b-a.}$

Circumradius, inradius a exradius

Plocha trojúhelníku je^[5]

${ displaystyle A = { frac { sqrt {7}} {4}} R ^ {2},}$

kde R je trojúhelník circumradius.

My máme^{[2]:p. 12}

${ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} = 7R ^ {2}.}$

Také máme^[6]

${ displaystyle a ^ {4} + b ^ {4} + c ^ {4} = 21R ^ {4}.}$

${ displaystyle a ^ {6} + b ^ {6} + c ^ {6} = 70R ^ {6}.}$

Poměr r /R z inradius k circumradius je kladné řešení kubické rovnice^[5]

${ displaystyle 8x ^ {3} + 28x ^ {2} + 14x-7 = 0.}$

Navíc,^{[2]:p. 15}

${ displaystyle { frac {1} {a ^ {2}}} + { frac {1} {b ^ {2}}} + { frac {1} {c ^ {2}}} = { frac {2} {R ^ {2}}}.}$

Také máme^[6]

${ displaystyle { frac {1} {a ^ {4}}} + { frac {1} {b ^ {4}}} + { frac {1} {c ^ {4}}} = { frac {2} {R ^ {4}}}.}$

${ displaystyle { frac {1} {a ^ {6}}} + { frac {1} {b ^ {6}}} + { frac {1} {c ^ {6}}} = { frac {17} {7R ^ {6}}}.}$

Obecně pro všechna celá čísla n,

${ displaystyle a ^ {2n} + b ^ {2n} + c ^ {2n} = g (n) (2R) ^ {2n}}$

kde

${ Displaystyle g (-1) = 8, quad g (0) = 3, quad g (1) = 7}$

a

${ displaystyle g (n) = 7g (n-1) -14g (n-2) + 7g (n-3).}$

Také máme^[6]

${ displaystyle 2b ^ {2} -a ^ {2} = { sqrt {7}} bR, quad 2c ^ {2} -b ^ {2} = { sqrt {7}} cR, quad 2a ^ {2} -c ^ {2} = - { sqrt {7}} aR.}$

Také máme^[4]

${ displaystyle a ^ {3} c + b ^ {3} a-c ^ {3} b = -7R ^ {4},}$

${ displaystyle a ^ {4} c-b ^ {4} a + c ^ {4} b = 7 { sqrt {7}} R ^ {5},}$

${ displaystyle a ^ {11} c ^ {3} + b ^ {11} a {3} -c ^ {11} b ^ {3} = - 7 ^ {3} 17R ^ {14}.}$

The exradius r_A odpovídající straně A se rovná poloměru devítibodový kruh sedmiúhelníkového trojúhelníku.^{[2]:p. 15}

Ortický trojúhelník

Sedmiúhelníkový trojúhelník ortický trojúhelník, s vrcholy u nohou nadmořské výšky, je podobný na sedmiúhelníkový trojúhelník s poměrem podobnosti 1: 2. Sedmiúhelníkový trojúhelník je jediný tupý trojúhelník, který je podobný jeho ortickému trojúhelníku ( rovnostranný trojúhelník jediný akutní).^{[2]:s. 12–13}

Trigonometrické vlastnosti

Různé trigonometrické identity spojené s sedmiúhelníkovým trojúhelníkem zahrnují tyto:^{[2]:s. 13–14[5]}

${ displaystyle A = { frac { pi} {7}}, quad B = { frac {2 pi} {7}}, quad C = { frac {4 pi} {7}} .}$

${ displaystyle cos A = b / 2a, quad cos B = c / 2b, quad cos C = -a / 2c,}$^{[4]:Návrh 10.}

${ displaystyle cos A cos B cos C = - { frac {1} {8}},}$

${ displaystyle cos ^ {2} A + cos ^ {2} B + cos ^ {2} C = { frac {5} {4}},}$

${ displaystyle cos ^ {4} A + cos ^ {4} B + cos ^ {4} C = { frac {13} {16}},}$

${ displaystyle postýlka A + postýlka B + postýlka C = { sqrt {7}},}$

${ displaystyle cot ^ {2} A + cot ^ {2} B + cot ^ {2} C = 5,}$

${ displaystyle csc ^ {2} A + csc ^ {2} B + csc ^ {2} C = 8,}$

${ displaystyle csc ^ {4} A + csc ^ {4} B + csc ^ {4} C = 32,}$

${ displaystyle sec ^ {2} A + sec ^ {2} B + sec ^ {2} C = 24,}$

${ displaystyle sec ^ {4} A + sec ^ {4} B + sec ^ {4} C = 416,}$

${ displaystyle sin A sin B sin C = { frac { sqrt {7}} {8}},}$

${ displaystyle sin ^ {2} A sin ^ {2} B sin ^ {2} C = { frac {7} {64}},}$

${ displaystyle sin ^ {2} A + sin ^ {2} B + sin ^ {2} C = { frac {7} {4}},}$

${ displaystyle sin ^ {4} A + sin ^ {4} B + sin ^ {4} C = { frac {21} {16}},}$

${ displaystyle tan A tan B tan C = tan A + tan B + tan C = - { sqrt {7}},}$

${ displaystyle tan ^ {2} A + tan ^ {2} B + tan ^ {2} C = 21.}$

Kubická rovnice

${ displaystyle 64y ^ {3} -112y ^ {2} + 56y-7 = 0}$

má řešení^{[2]:p. 14} ${ displaystyle sin ^ {2} { frac { pi} {7}}, sin ^ {2} { frac {2 pi} {7}},}$ a ${ displaystyle sin ^ {2} { frac {4 pi} {7}},}$ což jsou čtverce sinusů úhlů trojúhelníku.

Kladné řešení kubické rovnice

${ displaystyle x ^ {3} + x ^ {2} -2x-1 = 0}$

rovná se ${ displaystyle 2 cos { frac {2 pi} {7}},}$ což je dvakrát kosinus jednoho z úhlů trojúhelníku.^{[7]:p. 186–187}

Sin (2π / 7), sin (4π / 7) a sin (8π / 7) jsou kořeny^[4]

${ displaystyle x ^ {3} - { frac { sqrt {7}} {2}} x ^ {2} + { frac { sqrt {7}} {8}} = 0.}$

Také máme:^[6]

${ displaystyle sin A- sin B- sin C = - { frac { sqrt {7}} {2}},}$

${ displaystyle sin A sin B- sin B sin C + sin C sin A = 0,}$

${ displaystyle sin A sin B sin C = { frac { sqrt {7}} {8}}.}$

${ displaystyle - sin A, sin B, sin C { text {jsou kořeny}} x ^ {3} - { frac { sqrt {7}} {2}} x ^ {2} + { frac { sqrt {7}} {8}} = 0.}$

Pro celé číslo n , nechť

${ displaystyle S (n) = (- sin {A}) ^ {n} + sin ^ {n} {B} + sin ^ {n} {C}.}$

Pro n = 0,...,20,

${ displaystyle S (n) = 3, { frac { sqrt {7}} {2}}, { frac {7} {2 ^ {2}}}, { frac { sqrt {7}} {2}}, { frac {7 cdot 3} {2 ^ {4}}}, { frac {7 { sqrt {7}}} {2 ^ {4}}}, { frac {7 cdot 5} {2 ^ {5}}}, { frac {7 ^ {2} { sqrt {7}}} {2 ^ {7}}}, { frac {7 ^ {2} cdot 5} {2 ^ {8}}}, { frac {7 cdot 25 { sqrt {7}}} {2 ^ {9}}}, { frac {7 ^ {2} cdot 9} { 2 ^ {9}}}, { frac {7 ^ {2} cdot 13 { sqrt {7}}} {2 ^ {11}}},}$

${ displaystyle { frac {7 ^ {2} cdot 33} {2 ^ {11}}}, { frac {7 ^ {2} cdot 3 { sqrt {7}}} {2 ^ {9 }}}, { frac {7 ^ {4} cdot 5} {2 ^ {14}}}, { frac {7 ^ {2} cdot 179 { sqrt {7}}} {2 ^ { 15}}}, { frac {7 ^ {3} cdot 131} {2 ^ {16}}}, { frac {7 ^ {3} cdot 3 { sqrt {7}}} {2 ^ {12}}}, { frac {7 ^ {3} cdot 493} {2 ^ {18}}}, { frac {7 ^ {3} cdot 181 { sqrt {7}}} {2 ^ {18}}}, { frac {7 ^ {5} cdot 19} {2 ^ {19}}}.}$

Pro n= 0, -1, ,..-20,

${ displaystyle S (n) = 3,0,2 ^ {3}, - { frac {2 ^ {3} cdot 3 { sqrt {7}}} {7}}, 2 ^ {5}, - { frac {2 ^ {5} cdot 5 { sqrt {7}}} {7}}, { frac {2 ^ {6} cdot 17} {7}}, - 2 ^ {7} { sqrt {7}}, { frac {2 ^ {9} cdot 11} {7}}, - { frac {2 ^ {10} cdot 33 { sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, { frac {2 ^ {10} cdot 29} {7}}, - { frac {2 ^ {14} cdot 11 { sqrt {7}}} {7 ^ {2 }}}, { frac {2 ^ {12} cdot 269} {7 ^ {2}}},}$

${ displaystyle - { frac {2 ^ {13} cdot 117 { sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, { frac {2 ^ {14} cdot 51} {7}} , - { frac {2 ^ {21} cdot 17 { sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, { frac {2 ^ {17} cdot 237} {7 ^ {2} }}, - { frac {2 ^ {17} cdot 1445 { sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, { frac {2 ^ {19} cdot 2203} {7 ^ { 3}}}, - { frac {2 ^ {19} cdot 1919 { sqrt {7}}} {7 ^ {3}}}, { frac {2 ^ {20} cdot 5851} {7 ^ {3}}}.}$

${ displaystyle - cos A, cos B, cos C { text {jsou kořeny}} x ^ {3} + { frac {1} {2}} x ^ {2} - { frac {1} {2}} x - { frac {1} {8}} = 0.}$

Pro celé číslo n , nechť

${ displaystyle C (n) = (- cos {A}) ^ {n} + cos ^ {n} {B} + cos ^ {n} {C}.}$

Pro n= 0, 1, ,..10,

${ displaystyle C (n) = 3, - { frac {1} {2}}, { frac {5} {4}}, - { frac {1} {2}}, { frac {13 } {16}}, - { frac {1} {2}}, { frac {19} {32}}, - { frac {57} {128}}, { frac {117} {256} }, - { frac {193} {512}}, { frac {185} {512}}, ...}$

${ displaystyle C (-n) = 3, -4,24, -88,416, -1824,8256, -36992,166400, -747520,3359744, ...}$

${ displaystyle tan A, tan B, tan C { text {jsou kořeny}} x ^ {3} + { sqrt {7}} x ^ {2} -7x + { sqrt {7} } = 0.}$

${ displaystyle tan ^ {2} A, tan ^ {2} B, tan ^ {2} C { text {jsou kořeny}} x ^ {3} -21x ^ {2} + 35x- 7 = 0.}$

Pro celé číslo n , nechť

${ displaystyle T (n) = tan ^ {n} {A} + tan ^ {n} {B} + tan ^ {n} {C}.}$

Pro n= 0, 1, ,..10,

${ displaystyle T (n) = 3, - { sqrt {7}}, 7 cdot 3, -31 { sqrt {7}}, 7 cdot 53, -7 cdot 87 { sqrt {7} }, 7 cdot 1011, -7 ^ {2} cdot 239 { sqrt {7}}, 7 ^ {2} cdot 2771, -7 cdot 32119 { sqrt {7}}, 7 ^ {2 } cdot 53189,}$

${ displaystyle T (-n) = 3, { sqrt {7}}, 5, { frac {25 { sqrt {7}}} {7}}, 19, { frac {103 { sqrt { 7}}} {7}}, { frac {563} {7}}, 7 cdot 9 { sqrt {7}}, { frac {2421} {7}}, { frac {13297 { sqrt {7}}} {7 ^ {2}}}, { frac {10435} {7}}, ...}$

Také máme^[6][8]

${ displaystyle tan A-4 sin B = - { sqrt {7}},}$

${ displaystyle tan B-4 sin C = - { sqrt {7}},}$

${ displaystyle tan C + 4 sin A = - { sqrt {7}}.}$

Také máme^[4]

${ displaystyle cot ^ {2} A = 1 - { frac {2 tan C} { sqrt {7}}},}$

${ displaystyle cot ^ {2} B = 1 - { frac {2 tan A} { sqrt {7}}},}$

${ displaystyle cot ^ {2} C = 1 - { frac {2 tan B} { sqrt {7}}}.}$

Také máme^[4]

${ displaystyle cos A = - { frac {1} {2}} + { frac {4} { sqrt {7}}} sin ^ {3} C,}$

${ displaystyle cos ^ {2} A = { frac {3} {4}} + { frac {2} { sqrt {7}}} sin ^ {3} A,}$

${ displaystyle cot A = { frac {3} { sqrt {7}}} + { frac {4} { sqrt {7}}} cos B,}$

${ displaystyle cot ^ {2} A = 3 + { frac {8} { sqrt {7}}} sin A,}$

${ displaystyle cot A = { sqrt {7}} + { frac {8} { sqrt {7}}} sin ^ {2} B,}$

${ displaystyle csc ^ {3} A = - { frac {6} { sqrt {7}}} + { frac {2} { sqrt {7}}} tan ^ {2} C,}$

${ displaystyle sec A = 2 + 4 cos C,}$

${ displaystyle sec A = 6-8 sin ^ {2} B,}$

${ displaystyle sec A = 4 - { frac {16} { sqrt {7}}} sin ^ {3} B,}$

${ displaystyle sin ^ {2} A = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} cos B,}$

${ displaystyle sin ^ {3} A = - { frac { sqrt {7}} {8}} + { frac { sqrt {7}} {4}} cos B,}$

Také máme^[9]

${ displaystyle sin ^ {3} B sin C- sin ^ {3} C sin A- sin ^ {3} A sin B = 0,}$

${ displaystyle sin B sin ^ {3} C- sin C sin ^ {3} A- sin A sin ^ {3} B = { frac {7} {2 ^ {4}}} ,}$

${ displaystyle sin ^ {4} B sin C- sin ^ {4} C sin A + sin ^ {4} A sin B = 0,}$

${ displaystyle sin B sin ^ {4} C + sin C sin ^ {4} A- sin A sin ^ {4} B = { frac {7 { sqrt {7}}} {2 ^ {5}}},}$

${ displaystyle sin ^ {11} B sin ^ {3} C- sin ^ {11} C sin ^ {3} A- sin ^ {11} A sin ^ {3} B = 0, }$

${ displaystyle sin ^ {3} B sin ^ {11} C- sin ^ {3} C sin ^ {11} A- sin ^ {3} A sin ^ {11} B = { frac {7 ^ {3} cdot 17} {2 ^ {14}}}.}$

Máme také identity typu Ramanujan,^[10][11]

${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 sin ({ frac {2 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {2 sin ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {2 sin ({ frac {8 pi} {7}})}}}}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo (- { sqrt [{18}] {7}} vpravo) { sqrt [{3}] {- { sqrt [{ 3}] {7}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {5-3 { sqrt [{3}] {7}}}} + { sqrt [{3}] { 4-3 { sqrt [{3}] {7}}}} vpravo)}}}$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt [{3}] {2 sin ({ frac {2 pi} {7}})}}}} + { frac {1} { sqrt [{ 3}] {2 sin ({ frac {4 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] {2 sin ({ frac {8 pi} {7}})}}} =}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo (- { frac {1} { sqrt [{18}] {7}}} vpravo) { sqrt [{3}] {6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {5-3 { sqrt [{3}] {7}}}} + { sqrt [{3}] {4-3 { sqrt [ {3}] {7}}}} vpravo)}}}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] {4 sin ^ {2} ({ frac {2 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {4 sin ^ { 2} ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {4 sin ^ {2} ({ frac {8 pi} {7}})} } =}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo ({ sqrt [{18}] {49}} vpravo) { sqrt [{3}] {{ sqrt [{3} ] {49}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {12 + 3 ({ sqrt [{3}] {49}} + 2 { sqrt [{3}] {7} })}} + { sqrt [{3}] {11 + 3 ({ sqrt [{3}] {49}} + 2 { sqrt [{3}] {7}})}} vpravo) }}}$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt [{3}] {4 sin ^ {2} ({ frac {2 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] {4 sin ^ {2} ({ frac {4 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] {4 sin ^ {2} ({ frac {8 pi} {7}})}}} =}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo ({ frac {1} { sqrt [{18}] {49}}} vpravo) { sqrt [{3}] { 2 { sqrt [{3}] {7}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {12 + 3 ({ sqrt [{3}] {49}} + 2 { sqrt [{3}] {7}})}} + { sqrt [{3}] {11 + 3 ({ sqrt [{3}] {49}} + 2 { sqrt [{3}] {7 }})}}že jo)}}}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 cos ({ frac {2 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {2 cos ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {2 cos ({ frac {8 pi} {7}})}}} = { sqrt [{3}] {5 -3 { sqrt [{3}] {7}}}}}$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt [{3}] {2 cos ({ frac {2 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{ 3}] {2 cos ({ frac {4 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] {2 cos ({ frac {8 pi} {7}})}}}} = { sqrt [{3}] {4-3 { sqrt [{3}] {7}}}}}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] {4 cos ^ {2} ({ frac {2 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {4 cos ^ { 2} ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] {4 cos ^ {2} ({ frac {8 pi} {7}})} } = { sqrt [{3}] {11 + 3 (2 { sqrt [{3}] {7}} + { sqrt [{3}] {49}})}}}$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt [{3}] {4 cos ^ {2} ({ frac {2 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] {4 cos ^ {2} ({ frac {4 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] {4 cos ^ {2} ({ frac {8 pi} {7}})}}} = { sqrt [{3}] {12 + 3 (2 { sqrt [{3}] {7}} + { sqrt [{3}] {49}})}}}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { tan ({ frac {2 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] { tan ({ frac {4 pi } {7}})}} + { sqrt [{3}] { tan ({ frac {8 pi} {7}})}}}}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo (- { sqrt [{18}] {7}} vpravo) { sqrt [{3}] {{ sqrt [{3 }] {7}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {5 + 3 ({ sqrt [{3}] {7}} - { sqrt [{3}] {49} })}} + { sqrt [{3}] {- 3 + 3 ({ sqrt [{3}] {7}} - { sqrt [{3}] {49}})}} vpravo) }}}$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt [{3}] { tan ({ frac {2 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3 }] { tan ({ frac {4 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] { tan ({ frac {8 pi} { 7}})}}} =}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo (- { frac {1} { sqrt [{18}] {7}}} vpravo) { sqrt [{3}] {- { sqrt [{3}] {49}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {5 + 3 ({ sqrt [{3}] {7}} - { sqrt [{3}] {49}})}} + { sqrt [{3}] {- 3 + 3 ({ sqrt [{3}] {7}} - { sqrt [{3}] {49 }})}}že jo)}}}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { tan ^ {2} ({ frac {2 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] { tan ^ {2} ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] { tan ^ {2} ({ frac {8 pi} {7}})}}}}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo ({ sqrt [{18}] {49}} vpravo) { sqrt [{3}] {3 { sqrt [{3 }] {49}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {89 + 3 (3 { sqrt [{3}] {49}} + 5 { sqrt [{3}] { 7}})}} + { sqrt [{3}] {25 + 3 (3 { sqrt [{3}] {49}} + 5 { sqrt [{3}] {7}})}} že jo)}}}$

${ displaystyle { frac {1} { sqrt [{3}] { tan ^ {2} ({ frac {2 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] { tan ^ {2} ({ frac {4 pi} {7}})}}} + { frac {1} { sqrt [{3}] { tan ^ { 2} ({ frac {8 pi} {7}})}}} =}$

${ displaystyle { text {.......}} vlevo ({ frac {1} { sqrt [{18}] {49}}} vpravo) { sqrt [{3}] { 5 { sqrt [{3}] {7}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {89 + 3 (3 { sqrt [{3}] {49}} + 5 { sqrt [{3}] {7}})}} + { sqrt [{3}] {25 + 3 (3 { sqrt [{3}] {49}} + 5 { sqrt [{3}] {7}})}} vpravo)}}}$

Také máme^[9]

${ displaystyle { sqrt [{3}] { cos ({ frac {2 pi} {7}}) / cos ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] { cos ({ frac {4 pi} {7}}) / cos ({ frac {8 pi} {7}})}} + { sqrt [{3} ] { cos ({ frac {8 pi} {7}}) / cos ({ frac {2 pi} {7}})}}} = - { sqrt [{3}] {7} }.}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { cos ({ frac {4 pi} {7}}) / cos ({ frac {2 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] { cos ({ frac {8 pi} {7}}) / cos ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3} ] { cos ({ frac {2 pi} {7}}) / cos ({ frac {8 pi} {7}})}} = 0.}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] {2 sin ({2 pi} {7}}} + { sqrt [{3}] {2 sin ({4 pi} {7}}} + { sqrt [{3}] {2 sin ({8 pi} {7}}} = left (- { sqrt [{18}] {7}} right) { sqrt [{3 }] {- { sqrt [{3}] {7}} + 6 + 3 vlevo ({ sqrt [{3}] {5-3 { sqrt [{3}] {7}}}} + { sqrt [{3}] {4-3 { sqrt [{3}] {7}}}} vpravo)}}}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { cos ^ {4} ({ frac {4 pi} {7}}) / cos ({ frac {2 pi} {7}})}} } + { sqrt [{3}] { cos ^ {4} ({ frac {8 pi} {7}}) / cos ({ frac {4 pi} {7}})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {4} ({ frac {2 pi} {7}}) / cos ({ frac {8 pi} {7}})}} = - { sqrt [{3}] {49}} / 2.}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { cos ^ {5} ({ frac {2 pi} {7}}) / cos ^ {2} ({ frac {4 pi} {7 }})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {5} ({ frac {4 pi} {7}}) / cos ^ {2} ({ frac {8 pi } {7}})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {5} ({ frac {8 pi} {7}}) / cos ^ {2} ({ frac { 2 pi} {7}})}} = 0.}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { cos ^ {5} ({ frac {4 pi} {7}}) / cos ^ {2} ({ frac {2 pi} {7 }})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {5} ({ frac {8 pi} {7}}) / cos ^ {2} ({ frac {4 pi } {7}})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {5} ({ frac {2 pi} {7}}) / cos ^ {2} ({ frac { 9 pi} {7}})}} = - 3 * { sqrt [{3}] {7}} / 2.}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { cos ^ {14} ({ frac {2 pi} {7}}) / cos ^ {5} ({ frac {4 pi} {7 }})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {14} ({ frac {4 pi} {7}}) / cos ^ {5} ({ frac {8 pi } {7}})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {14} ({ frac {8 pi} {7}}) / cos ^ {5} ({ frac { 2 pi} {7}}}} = 0.}$

${ displaystyle { sqrt [{3}] { cos ^ {14} ({ frac {4 pi} {7}}) / cos ^ {5} ({ frac {2 pi} {7 }})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {14} ({ frac {8 pi} {7}}) / cos ^ {5} ({ frac {4 pi } {7}})}} + { sqrt [{3}] { cos ^ {14} ({ frac {2 pi} {7}}) / cos ^ {5} ({ frac { 8 pi} {7}})}} = - 61 * { sqrt [{3}] {7}} / 8.}$

^[1]

^[2]

^[3]

^[4]

^[5]