Posloupnost iracionality - Irrationality sequence

V matematice, a posloupnost celých čísel A_n se nazývá posloupnost iracionality pokud má vlastnost, že pro každou sekvenci X_n kladných celých čísel, součet řady

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {a_ {n} x_ {n}}}}$

existuje (to znamená, že konverguje ) a je iracionální číslo.^[1][2] Problém charakterizace sekvencí iracionality představoval Paul Erdős a Ernst G. Straus, který původně nazval vlastnost iracionální posloupnosti „Vlastnost P“.^[3]

Příklady

The mocniny dvou, jejichž exponenty jsou mocniny dvou, ${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {n}}}$, tvoří posloupnost iracionality. Nicméně, ačkoli Sylvestrova sekvence

2, 3, 7, 43, 1807, 3263443, ...

(ve kterém je každý termín o jeden více než produkt všech předchozích termínů) také roste dvojnásobně exponenciálně, netvoří posloupnost iracionality. Pro, nechat ${ displaystyle x_ {n} = 1}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ dává

${ displaystyle { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {7}} + { frac {1} {43}} + cdots = 1,}$

série konvergující k a racionální číslo. Stejně tak faktoriály, ${ displaystyle n!}$, netvoří posloupnost iracionality, protože posloupnost daná ${ displaystyle x_ {n} = n + 2}$ pro všechny ${ displaystyle n}$ vede k sérii s racionálním součtem,

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(n + 2) n!}} = { frac {1} {2}} + { frac {1} {3}} + { frac {1} {8}} + { frac {1} {30}} + { frac {1} {144}} + cdots = 1.}$^[1]

Tempo růstu

Pro libovolnou sekvenci A_n aby byla sekvence iracionality, musí růst takovým tempem

${ displaystyle limsup _ {n to infty} { frac { log log a_ {n}} {n}} geq log 2}$.^[4]

To zahrnuje sekvence, které rostou více než dvojnásobnou exponenciální rychlostí, stejně jako některé dvojnásobně exponenciální sekvence, které rostou rychleji než mocniny sil dvou.^[1]

Každá sekvence iracionality musí růst dostatečně rychle

${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} ^ {1 / n} = infty.}$

Není však známo, zda existuje taková posloupnost, ve které největší společný dělitel každé dvojice členů je 1 (na rozdíl od pravomocí mocnin dvou) a pro které

${ displaystyle lim _ {n to infty} a_ {n} ^ {1/2 ^ {n}} < infty.}$^[5]

Související vlastnosti

Analogicky k iracionálním sekvencím, Hančl (1996) definoval transcendentální sekvenci jako celočíselnou sekvenci A_n tak, že pro každou sekvenci X_n kladných celých čísel, součet řady

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {a_ {n} x_ {n}}}}$

existuje a je transcendentní číslo.^[6]

Reference