Exponenciální faktoriál - Exponential factorial

The exponenciální faktoriál kladného celého čísla n, označeno n$, je n zvednutý k moci z n - 1, který je zase zvýšen na sílu n - 2, a tak dále a tak dále. To znamená,

${ displaystyle n $ = n ^ {(n-1) ^ {(n-2) cdots}}}$

Exponenciální faktoriál lze také definovat pomocí relace opakování

${ displaystyle a_ {0} = 1, quad a_ {n} = n ^ {a_ {n-1}}}$

Prvních několik exponenciálních faktoriálů je 1, 1, 2, 9, 262144 atd. (sekvence A049384 v OEIS ). Například, 262144 je exponenciální faktoriál od roku

${ displaystyle 262144 = 4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}}}$

Pomocí relace opakování jsou první exponenciální faktoriály:

0$ = 1

1$ = 1¹ = 1

2$ = 2¹ = 2

3$ = 3² = 9

4$ = 4⁹ = 262144

5$ = 5²⁶²¹⁴⁴ = 6206069878 ... 8212890625 (183231 číslic)

Exponenciální faktoriály rostou mnohem rychleji než obvykle faktoriály nebo dokonce hyperfaktoriály. Počet číslic v 6 $ je přibližně 5×10¹⁸³²³⁰.

Součet převrácených hodnot exponenciálních faktoriálů od 1 je následující transcendentní číslo:

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n $}} = { frac {1} {1}} + { frac {1} {2 ^ { 1}}} + { frac {1} {3 ^ {2 ^ {1}}}} + { frac {1} {4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}}}} + { frac {1} {5 ^ {4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}}}}} + { frac {1} {6 ^ {5 ^ {4 ^ {3 ^ {2 ^ {1}}} }}}} + ldots = 1,611114925808376736 underbrace {11111111 ldots 11111111} _ {183213} 272243682859 ldots}$

Tato suma je transcendentální, protože je a Liouville číslo.

Jako tetování, v současné době neexistuje žádná přijatá metoda rozšíření exponenciální faktoriální funkce na nemovitý a komplex hodnoty jeho argumentu, na rozdíl od faktoriál funkce, pro kterou takové rozšíření poskytuje funkce gama. Je však možné ji rozšířit, pokud je definována v šířce pásu 1.

Související funkce, notace a konvence

Tato sekce potřebuje expanzi. Můžete pomoci přidávat k tomu. (Dubna 2018)

Reference

• Jonathan Sondow, “Exponenciální faktoriál " Z Mathworld, webový zdroj Wolfram

Tento teorie čísel související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.