Symetrizace - Symmetrization

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: "Symetrizace"  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Listopad 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, symetrizace je proces, který převádí libovolné funkce v n proměnné na a symetrická funkce v n proměnné. Podobně anti-symetrizace převede libovolnou funkci na n proměnné do antisymetrický funkce.

Dvě proměnné

Nechat ${displaystyle S}$ být soubor a ${displaystyle A}$ an abelianská skupina. Mapa ${displaystyle alfa dvojtečka S imes S o A}$ ${displaystyle alpha}$ je nazýván symetrický -li ${displaystyle alfa (s, t) = alfa (t, s)}$ pro všechny ${displaystyle s, plechovka S}$.

The symetrizace mapy ${displaystyle alfa dvojtečka S imes S o A}$ je mapa ${displaystyle (x, y) mapa pro alfa (x, y) + alfa (y, x)}$.

Podobně anti-symetrizace nebo symetrie zkosení mapy ${displaystyle alfa dvojtečka S imes S o A}$ je mapa ${displaystyle (x, y) mapsto alpha (x, y) -alpha (y, x)}$.

Součet symetrizace a anti-symetrizace mapy α je 2α.Tím pádem, od 2, což znamená, pokud 2 je invertibilní, například pro reálná čísla, lze rozdělit na 2 a vyjádřit každou funkci jako součet symetrické funkce a anti-symetrické funkce.

Symetrizace symetrické mapy je dvojnásobná, zatímco symetrizace an střídavá mapa je nula; podobně je anti-symetrizace symetrické mapy nulová, zatímco anti-symetrizace anti-symetrické mapy je jeho dvojnásobek.

Bilineární formy

Symetrizace a anti-symetrizace a bilineární mapa jsou bilineární; tedy od 2 je každá bilineární forma součtem symetrické formy a zkosené symetrické formy, proto není rozdíl mezi symetrickou formou a kvadratickou formou.

Ve 2 nelze každou formu rozložit na symetrickou formu a zkosenou symetrickou formu. Například přes celá čísla, přidružený symetrický tvar (přes racionální ) může nabývat celočíselných hodnot, zatímco je nad ${displaystyle mathbf {Z} / 2mathbf {Z},}$ funkce je zkosená symetrická právě tehdy, pokud je symetrická (jako 1 = −1).

To vede k představě ε-kvadratické tvary a ε-symetrické tvary.

Teorie reprezentace

Ve smyslu teorie reprezentace:

• výměna proměnných dává reprezentaci symetrická skupina o prostoru funkcí ve dvou proměnných,
• symetrické a anti-symetrické funkce jsou subreprezentace odpovídající triviální zastoupení a znaková reprezentace, a
• symetrizace a anti-symetrizace mapují funkci do těchto subreprezentací - pokud se člověk vydělí 2, získá se projekční mapy.

Protože symetrická skupina řádu dva se rovná cyklická skupina objednávky dva (${displaystyle mathrm {S} _ {2} = mathrm {C} _ {2}}$), odpovídá to diskrétní Fourierova transformace objednávky dva.

n proměnné

Obecněji řečeno, vzhledem k funkci v n proměnné, lze symetrizovat převzetím součtu za všechny ${displaystyle n!}$ permutace proměnných,^[1] nebo anti-symetrie tím, že převezme součet za všechny ${displaystyle n! / 2}$ dokonce i obměny a odečtením součtu ${displaystyle n! / 2}$ liché permutace (kromě toho, když n ≤ 1, jediná permutace je sudá).

Zde se symetrizace symetrické funkce vynásobí ${displaystyle n!}$ - tedy pokud ${displaystyle n!}$ je invertibilní, například při práci nad a pole z charakteristický ${displaystyle 0}$ nebo ${displaystyle p> n}$, pak tyto projekce výnosu po rozdělení ${displaystyle n!}$.

Pokud jde o teorii reprezentace, tyto poskytují pouze subreprezentace odpovídající triviálnímu a znakovému zastoupení, ale pro ${displaystyle n> 2}$ existují i ​​další - viz teorie reprezentace symetrické skupiny a symetrické polynomy.

Bootstrapping

Vzhledem k funkci v k proměnné, lze získat symetrickou funkci v n proměnné převzetím součtu k-živel podmnožiny proměnných. Ve statistikách se to označuje jako bootstrapping a jsou volány související statistiky U-statistiky.

Poznámky

Reference

• Hazewinkel, Michiel (1990). Encyklopedie matematiky: aktualizovaný a komentovaný překlad sovětské „Matematické encyklopedie“. Encyklopedie matematiky. 6. Springer. ISBN  978-1-55608-005-0.