Hadamardova gama funkce - Hadamards gamma function - Wikipedia

Hadamardova gama funkce vynesla přes část skutečné osy. Na rozdíl od klasické funkce gama je holomorfní; neexistují žádné póly.

v matematika, Hadamardova gama funkce, pojmenoval podle Jacques Hadamard, je rozšířením faktoriál funkce, odlišný od klasického funkce gama. Tato funkce s argument posunut o 1, interpoluje faktoriál a rozšiřuje ho na nemovitý a komplexní čísla jiným způsobem než Eulerova gama funkce. Je definován jako:

{ displaystyle H (x) = { frac {1} { Gamma (1-x)}} , { dfrac {d} {dx}} vlevo { ln vlevo ({ frac { Gamma ({ frac {1} {2}} - { frac {x} {2}})}} Gamma (1 - { frac {x} {2}})}}} vpravo) vpravo },}

kde $Γ (X)$ označuje klasickou gama funkci. Li $n$ je kladné celé číslo, pak:

{ Displaystyle H (n) = Gamma (n) = (n-1)!}

Vlastnosti

Na rozdíl od klasické gama funkce, Hadamardova gama funkce $H (X)$ je celá funkce, tj. nemá č póly ve své doméně. Splňuje to funkční rovnice

{ displaystyle H (x + 1) = xH (x) + { frac {1} { gama (1-x)}},}

s pochopením toho ${ displaystyle { tfrac {1} { Gamma (1-x)}}}$ se považuje za $0$ pro kladné celočíselné hodnoty $X$ .

Hadamardovo gama lze také vyjádřit jako

{ displaystyle H (x) = { frac { psi doleva (1 - { frac {x} {2}} doprava) - psi doleva ({ frac {1} {2}} - { frac {x} {2}} vpravo)} {2 Gamma (1-x)}}}

a jako

{ displaystyle H (x) = Gamma (x) vlevo [1 + { frac { sin ( pi x)} {2 pi}} vlevo { psi doleva ({ dfrac {x } {2}} doprava) - psi doleva ({ dfrac {x + 1} {2}} doprava) doprava } doprava],}

kde $ψ (X)$ označuje funkce digamma.

Hadamard, M. J. (1894), Sur L’Expression Du Produit 1 · 2 · 3 · · · · (n − 1) Par Une Fonction Entière (PDF) (ve francouzštině), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paříž, 1968
Srivastava, H. M .; Junesang, Choi (2012). Funkce Zeta a Q-Zeta a související řady a integrály. Elsevierovy postřehy. str. 124. ISBN 0123852188.
„Úvod do funkce gama“. Web Wolfram Functions. Wolfram Research, Inc.. Citováno 27. února 2016.