Knuthova nota se šipkou nahoru - Knuths up-arrow notation - Wikipedia

v matematika, Knuthovo notace se šipkou nahoru je metoda zápisu pro velmi velký celá čísla, představil Donald Knuth v roce 1976.^[1]

Ve svém příspěvku z roku 1947^[2] R. L. Goodstein představil konkrétní posloupnost operací, které se nyní nazývají hyperoperace. Goodstein také navrhl řecká jména tetování, trest atd. pro rozšířené operace mimo rámec umocňování. Sekvence začíná a unární provoz (dále jen nástupnická funkce s n = 0) a pokračuje s binární operace z přidání (n = 1), násobení (n = 2), umocňování (n = 3), tetování (n = 4), trest (n = 5) atd.

Různé notace byly použity k představení hyperoperací. Jedna taková notace je ${ displaystyle H_ {n} (a, b)}$. Další notace je ${ displaystyle a [n] b}$, an infixová notace který je vhodný pro ASCII. Zápis ${ displaystyle a [n] b}$ je známý jako „notace hranatých závorek“.

Knuthova nota se šipkou nahoru ${ displaystyle uparrow}$ je alternativní notace. Získává se nahrazením ${ displaystyle [n]}$ v hranatých závorkách notace ${ displaystyle n-2}$ šipky.

Například:

• jediná šipka ${ displaystyle uparrow}$ představuje umocňování (iterované násobení)

${ displaystyle 2 uparrow 4 = H_ {3} (2,4) = 2 [3] 4 = 2 krát (2 krát (2 krát 2)) = 2 ^ {4} = 16}$

• dvojitá šipka ${ displaystyle uparrow uparrow}$ představuje tetování (iterovaná umocňování)

${ displaystyle 2 uparrow uparrow 4 = H_ {4} (2,4) = 2 [4] 4 = 2 uparrow (2 uparrow (2 uparrow 2)) = 2 ^ {2 ^ {2 ^ { 2}}} = 2 ^ {16} = 65536}$

• trojitá šipka ${ displaystyle uparrow uparrow uparrow}$ představuje trest (iterovaná tetrace)

${ displaystyle { begin {aligned} 2 uparrow uparrow uparrow 4 = H_ {5} (2,4) = 2 [5] 4 = {^ {65536} 2} & = 2 uparrow uparrow (2 uparrow uparrow (2 uparrow uparrow 2)) & = 2 uparrow uparrow (2 uparrow uparrow (2 uparrow 2)) & = 2 uparrow uparrow (2 uparrow uparrow 4) & = underbrace {2 uparrow (2 uparrow (2 uparrow dots))} & 2 uparrow uparrow 4 { mbox {kopie}} 2 konec {zarovnáno}} }$

Obecná definice zápisu se šipkou nahoru je následující (pro ${ displaystyle a geq 0, n geq 1, b geq 0}$):

${ displaystyle a uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (a, b) = a [n + 2] b}$

Tady, ${ displaystyle uparrow ^ {n}}$ znamená n šipky, tak například

${ displaystyle 2 uparrow uparrow uparrow uparrow 3 = 2 uparrow ^ {4} 3}$.

Úvod

The hyperoperace přirozeně prodloužit aritmetické operace z přidání a násobení jak následuje.

Přidání podle a přirozené číslo je definována jako iterovaná přírůstek:

${ displaystyle { begin {matrix} H_ {1} (a, b) = a [1] b = a + b = & a + spodní složená závorka {1 + 1 + tečky +1} & b { mbox {kopie of}} 1 end {matrix}}}$

Násobení podle a přirozené číslo je definován jako iterovaný přidání:

${ displaystyle { begin {matrix} H_ {2} (a, b) = a [2] b = a krát b = & underbrace {a + a + dots + a} & b { mbox {kopie of}} a end {matrix}}}$

Například,

${ displaystyle { begin {matrix} 3 krát 4 & = & underbrace {3 + 3 + 3 + 3} & = & 12 && 4 { mbox {kopie}} 3 end {matrix}}}$

Umocňování za přirozenou sílu ${ displaystyle b}$ je definováno jako iterované násobení, které Knuth označil jedinou šipkou nahoru:

${ displaystyle { begin {matrix} a uparrow b = H_ {3} (a, b) = a [3] b = a ^ {b} = & underbrace {a times a times dots times a} & b { mbox {kopie}} a end {matice}}}$

Například,

${ displaystyle { begin {matrix} 4 uparrow 3 = 4 ^ {3} = & underbrace {4 times 4 times 4} & = & 64 & 3 { mbox {kopie}} 4 end { matice}}}$

Tetrace je definována jako iterovaná umocňování, kterou Knuth označil „dvojitou šipkou“:

${ displaystyle { begin {matrix} a uparrow uparrow b = H_ {4} (a, b) = a [4] b = & underbrace {a ^ {a ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {a}}}}}}} & = & underbrace {a uparrow (a uparrow ( dots uparrow a))} & b { mbox {kopie }} a && b { mbox {kopie}} a end {matice}}}$

Například,

${ displaystyle { begin {matrix} 4 uparrow uparrow 3 = & underbrace {4 ^ {4 ^ {4}}} & = & underbrace {4 uparrow (4 uparrow 4)} & = & 4 ^ {256} & přibližně & 1,34078079 krát 10 ^ {154} & & 3 { mbox {kopie}} 4 && 3 { mbox {kopie}} 4 end {matrix}}}$

Výrazy jsou vyhodnocovány zprava doleva, protože jsou definovány operátory pravo-asociativní.

Podle této definice

${ displaystyle 3 uparrow uparrow 2 = 3 ^ {3} = 27}$

${ displaystyle 3 uparrow uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7 625 597 484 987}$

${ displaystyle 3 uparrow uparrow 4 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}} = 3 ^ {3 ^ {27}} = 3 ^ {7625597484987} přibližně 1,2580143 krát 10 ^ {3638334640024}}$

${ displaystyle 3 uparrow uparrow 5 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {27}}} = 3 ^ {3 ^ {7625597484987} } přibližně 3 ^ {1,2580143 krát 10 ^ {3638334640024}}}$

atd.

To již vede k poměrně velkému počtu, ale hyperoperátorová sekvence zde nekončí.

Pentation, definovaný jako iterovaná tetrace, je reprezentován „trojitou šipkou“:

${ displaystyle { begin {matrix} a uparrow uparrow uparrow b = H_ {5} (a, b) = a [5] b = & underbrace {a _ {} uparrow uparrow (a uparrow uparrow ( dots uparrow uparrow a))} & b { mbox {kopie}} a end {matice}}}$

Hexace, definovaný jako iterovaná pentace, je reprezentován „čtyřnásobnou šipkou“:

${ displaystyle { begin {matrix} a uparrow uparrow uparrow uparrow b = H_ {6} (a, b) = a [6] b = & underbrace {a _ {} uparrow uparrow uparrow ( a uparrow uparrow uparrow ( dots uparrow uparrow uparrow a))} & b { mbox {kopie}} a end {matice}}}$

a tak dále. Obecně platí, že ${ displaystyle n}$operátor -arrow expanduje do asociativní řady vpravo (${ displaystyle n-1}$) -šipkové operátory. Symbolicky,

${ displaystyle { begin {matrix} a underbrace { uparrow _ {} uparrow ! ! dots ! ! uparrow} _ {n} b = underbrace {a underbrace { uparrow ! ! dots ! ! uparrow} _ {n-1} (a underbrace { uparrow _ {} ! ! dots ! ! uparrow} _ {n-1 } ( dots underbrace { uparrow _ {} ! ! dots ! ! uparrow} _ {n-1} a))} _ {b { text {kopie}} a } end {matice}}}$

Příklady:

${ displaystyle 3 uparrow uparrow uparrow 2 = 3 uparrow uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7 625 597 484 987}$

${ displaystyle { begin {matrix} 3 uparrow uparrow uparrow 3 = 3 uparrow uparrow (3 uparrow uparrow 3) = 3 uparrow uparrow (3 uparrow 3 uparrow 3) = & spodní {3 _ {} uparrow 3 uparrow dots uparrow 3} & 3 uparrow 3 uparrow 3 { mbox {kopie}} 3 end {matrix}} { begin {matrix} = & underbrace { 3 _ {} uparrow 3 uparrow dots uparrow 3} & { mbox {7 625 597 484 987 kopií 3}} end {matrix}} { begin {matrix} = & underbrace {3 ^ {3 ^ { 3 ^ {3 ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot ^ { cdot ^ {3}}}}}}}} & { mbox {7 625 597 484 987 kopií 3}} end {matrix} }}$

Zápis

Ve výrazech jako např ${ displaystyle a ^ {b}}$, pro exponenciaci je obvykle zápis exponentu ${ displaystyle b}$ jako horní index základního čísla ${ displaystyle a}$. Ale mnoho prostředí - jako např programovací jazyky a prostý text e-mailem - nepodporují horní index sazba. Lidé přijali lineární notaci ${ displaystyle a uparrow b}$ pro taková prostředí; šipka nahoru naznačuje „zvýšit na sílu“. Pokud znaková sada neobsahuje šipku nahoru, stříška Místo toho se používá (^).

Horní indexová notace ${ displaystyle a ^ {b}}$ se nehodí k zobecnění, což vysvětluje, proč se Knuth rozhodl pracovat z vložené notace ${ displaystyle a uparrow b}$ namísto.

${ displaystyle a uparrow ^ {n} b}$ je kratší alternativní notace pro n uparrows. Tím pádem ${ displaystyle a uparrow ^ {4} b = a uparrow uparrow uparrow uparrow b}$.

Knuthovy šípy se staly docela populární, možná proto ${ displaystyle uparrow ^ {n}}$ je silnější logo než například ${ displaystyle [n]}$.^{[původní výzkum? ]}

Zápis notace se šipkou nahoru, pokud jde o mocniny

Pokus o psaní ${ displaystyle a uparrow uparrow b}$ použití známé horní indexové notace dává výkonovou věž.

Například: ${ displaystyle a uparrow uparrow 4 = a uparrow (a uparrow (a uparrow a)) = a ^ {a ^ {a ^ {a}}}}$

Li b je proměnná (nebo je příliš velká), napájecí věž může být zapsána pomocí teček a poznámky označující výšku věže.

${ displaystyle a uparrow uparrow b = underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {b}}$

Pokračováním této notace ${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow b}$ mohl být napsán hromadou takových energetických věží, z nichž každá popisovala velikost té nad ní.

${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow 4 = a uparrow uparrow (a uparrow uparrow (a uparrow uparrow a)) = podřízený {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. { a}}}}}} _ { underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ { . {a}}}}}} _ {a}}}}$

Opět, pokud b je proměnná nebo je příliš velká, může být zásobník zapsán pomocí teček a poznámky označující jeho výšku.

${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow b = left. underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ { underbrace {a ^ {a ^ { . ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace { vdots} _ {a}}} right } b}$

Dále ${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow uparrow b}$ lze psát pomocí několika sloupců takových hromádek energetických věží, přičemž každý sloupec popisuje počet energetických věží v zásobníku nalevo:

${ Displaystyle a uparrow uparrow uparrow uparrow 4 = a uparrow uparrow uparrow (a uparrow uparrow uparrow (a uparrow uparrow uparrow a)) = vlevo. vlevo. vlevo. underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace { vdots} _ {a}}} right } underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ { underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace { vdots} _ {a}}} right } underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace { vdots} _ {a}}} doprava } a}$

A obecněji:

${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow uparrow b = underbrace { left. left. left. underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace { vdots} _ {a}}} right } underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ { underbrace { vdots} _ {a}}} right } cdots right } a} _ {b}}$

To může být prováděno na dobu neurčitou, aby představovalo ${ displaystyle a uparrow ^ {n} b}$ jako iterovaná umocňování iterované umocňování pro libovolné A, n a b (i když se to zjevně stává poněkud těžkopádným).

Pomocí tetrace

The tetování notace ${ displaystyle ^ {b} a}$ nám umožňuje tyto diagramy o něco jednodušší a přitom stále používat geometrické vyjádření (mohli bychom je nazvat tetovací věže).

${ displaystyle a uparrow uparrow b = {} ^ {b} a}$

${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow b = underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {b}}$

${ displaystyle a uparrow uparrow uparrow uparrow b = left. underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ { underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ { underbrace { vdots} _ {a}}} right } b}$

Nakonec jako příklad čtvrté Ackermannovo číslo ${ displaystyle 4 uparrow ^ {4} 4}$ lze reprezentovat jako:

${ displaystyle underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ { underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}. } 4} 4} _ { underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {4}}} = underbrace {^ {^ {^ {^ { ^ {4}.}.}.}.} 4} 4} _ { underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {^ {^ {^ {4 } 4} 4} 4}}}$

Zobecnění

Některá čísla jsou tak velká, že více šipek Knuthova zápisu nahoru je příliš těžkopádných; pak n-šipkový operátor ${ displaystyle uparrow ^ {n}}$ je užitečné (a také pro popisy s proměnným počtem šipek), nebo ekvivalentně, hyper operátory.

Některá čísla jsou tak velká, že ani tato notace není dostatečná. The Conway zřetězená šipka pak lze použít: řetězec tří prvků je ekvivalentní s ostatními zápisy, ale řetězec čtyř nebo více je ještě silnější.

${ displaystyle { begin {matrix} a uparrow ^ {n} b & = & a [n + 2] b & = & a to b to n { mbox {(Knuth)}} && { mbox {( hyperoperace)}} && { mbox {(Conway)}} end {matrix}}}$

Definice

Bez odkazu na Hyperoperace operátory šipky nahoru lze formálně definovat pomocí

${ displaystyle a uparrow ^ {n} b = { begin {cases} a ^ {b}, & { text {if}} n = 1; 1, & { text {if}} n> 1 { text {and}} b = 0; a uparrow ^ {n-1} (a uparrow ^ {n} (b-1)), & { text {jinak}} end {případy }}}$

pro všechna celá čísla ${ displaystyle a, b, n}$ s ${ displaystyle a geq 0, n geq 1, b geq 0}$.

Tato definice používá umocňování ${ displaystyle (a uparrow ^ {1} b = a uparrow b = a ^ {b})}$ jako základní případ a tetování ${ displaystyle (a uparrow ^ {2} b = a uparrow uparrow b)}$ jako opakovaná umocňování. To je ekvivalentní s hyperoperační sekvence kromě toho vynechává další tři základní operace posloupnost, přidání a násobení.

Jeden si může alternativně vybrat násobení ${ displaystyle (a uparrow ^ {0} b = a krát b)}$ jako základní případ a odtud iterovat. Pak umocňování se stává opakovaným množením. Formální definice by byla

${ displaystyle a uparrow ^ {n} b = { begin {cases} a times b, & { text {if}} n = 0; 1, & { text {if}} n> 0 { text {and}} b = 0; a uparrow ^ {n-1} (a uparrow ^ {n} (b-1)), & { text {jinak}} end {případy} }}$

pro všechna celá čísla ${ displaystyle a, b, n}$ s ${ displaystyle a geq 0, n geq 0, b geq 0}$.

Upozorňujeme však, že Knuth nedefinoval „nulovou šipku“ (${ displaystyle uparrow ^ {0}}$). Dalo by se rozšířit notaci na záporné indexy (n ≥ -2) takovým způsobem, aby souhlasil s celou hyperoperační sekvencí, s výjimkou zpoždění v indexování:

${ displaystyle H_ {n} (a, b) = a [n] b = a uparrow ^ {n-2} b { text {pro}} n geq 0.}$

Operace se šipkou nahoru je a pravo-asociativní operace, to znamená, ${ displaystyle a uparrow b uparrow c}$ se rozumí ${ displaystyle a uparrow (b uparrow c)}$, namísto ${ displaystyle (a uparrow b) uparrow c}$. Pokud nejednoznačnost není problémem, závorky jsou někdy vynechány.

Tabulky hodnot

Výpočet 0 ↑ⁿ b

Výpočetní ${ displaystyle 0 uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (0, b) = 0 [n + 2] b}$ výsledky v

0, kdy n = 0  ^{[pozn. 1]}

1, když n = 1 a b = 0   ^{[pozn. 2][pozn. 3]}

0, kdy n = 1 a b > 0   ^{[pozn. 2][pozn. 3]}

1, když n > 1 a b je sudé (včetně 0)

0, kdy n > 1 a b je zvláštní

Výpočet 2 ↑ⁿ b

Výpočetní ${ displaystyle 2 uparrow ^ {n} b}$ lze přepracovat, pokud jde o nekonečnou tabulku. Umístíme čísla ${ displaystyle 2 ^ {b}}$ v horním řádku a vyplňte levý sloupec hodnotami 2. Chcete-li určit číslo v tabulce, vezměte číslo okamžitě doleva a poté vyhledejte požadovaný počet v předchozím řádku na pozici dané právě převzatému číslu .

Hodnoty ${ displaystyle 2 uparrow ^ {n} b}$ = ${ displaystyle H_ {n + 2} (2, b)}$ = ${ displaystyle 2 [n + 2] b}$ = 2 → b → n

b ⁿ	1	2	3	4	5	6	vzorec
1	2	4	8	16	32	64	${ displaystyle 2 ^ {b}}$
2	2	4	16	65536	${ displaystyle 2 ^ {65 , 536} přibližně 2,0 krát 10 ^ {19 , 728}}$	${ displaystyle 2 ^ {2 ^ {65 , 536}} přibližně 10 ^ {6,0 krát 10 ^ {19 , 727}}}$	${ displaystyle 2 uparrow uparrow b}$
3	2	4	65536	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {2}}}}}}} 65536 { mbox {kopie}} 2 end {matrix}}}$	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {2}}}}}}} podtržítko {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {2}}}}}}} 65536 { mbox {kopie}} 2 konec {matrix}}}$	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {2}}}}}}} podvázání {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {2}}}}}}} podříznutí {2 _ {} ^ {2 ^ { {} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {2}}}}}}} 65536 { mbox {kopie}} 2 end {matrix}}}$	${ displaystyle 2 uparrow uparrow uparrow b}$
4	2	4	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {2}}}}}}} 65536 { mbox {kopie}} 2 end {matrix}}}$				${ displaystyle 2 uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

Tabulka je stejná jako funkce Ackermanna, s výjimkou posunu ${ displaystyle n}$ a ${ displaystyle b}$a přidání 3 ke všem hodnotám.

Výpočet 3 ↑ⁿ b

Umístíme čísla ${ displaystyle 3 ^ {b}}$ v horním řádku a vyplňte levý sloupec hodnotami 3. Chcete-li určit číslo v tabulce, vezměte číslo okamžitě doleva a poté vyhledejte požadovaný počet v předchozím řádku na pozici dané právě obsazeným číslem .

Hodnoty ${ displaystyle 3 uparrow ^ {n} b}$ = ${ displaystyle H_ {n + 2} (3, b)}$ = ${ displaystyle 3 [n + 2] b}$ = 3 → b → n

b ⁿ	1	2	3	4	5	vzorec
1	3	9	27	81	243	${ displaystyle 3 ^ {b}}$
2	3	27	7,625,597,484,987	${ displaystyle 3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}$	${ displaystyle 3 ^ {3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}}$	${ displaystyle 3 uparrow uparrow b}$
3	3	7,625,597,484,987	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {3}}}}}}} 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 { mbox {kopie}} 3 end {matrix}}}$			${ displaystyle 3 uparrow uparrow uparrow b}$
4	3	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {3}}}}}}} 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 { mbox {kopie}} 3 end {matrix}}}$				${ displaystyle 3 uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

Výpočet 4 ↑ⁿ b

Umístíme čísla ${ displaystyle 4 ^ {b}}$ v horním řádku a vyplňte levý sloupec hodnotami 4. Chcete-li určit číslo v tabulce, vezměte číslo okamžitě doleva a poté vyhledejte požadovaný počet v předchozím řádku na pozici dané právě obsazeným číslem .

Hodnoty ${ displaystyle 4 uparrow ^ {n} b}$ = ${ displaystyle H_ {n + 2} (4, b)}$ = ${ displaystyle 4 [n + 2] b}$ = 4 → b → n

b ⁿ	1	2	3	4	5	vzorec
1	4	16	64	256	1024	${ displaystyle 4 ^ {b}}$
2	4	256	${ displaystyle 1,3407807930 krát 10 ^ {154}}$	${ displaystyle 4 ^ {1,3407807930 krát 10 ^ {154}}}$	${ displaystyle 4 ^ {4 ^ {1.3407807930 krát 10 ^ {154}}}}$	${ displaystyle 4 uparrow uparrow b}$
3	4	${ displaystyle 4 ^ {1,3407807930 krát 10 ^ {154}}}$	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {4}}}}}}} 4 ^ {1,3407807930 krát 10 ^ {154}} { mbox {kopie}} 4 end {matrix}}}$			${ displaystyle 4 uparrow uparrow uparrow b}$
4	4	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {4}}}}}}} podtržítko {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {4}}}}}}} 4 ^ {1,3407807930 krát 10 ^ {154} } { mbox {kopie}} 4 end {matrix}}}$				${ displaystyle 4 uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

Výpočet 10 ↑ⁿ b

Umístíme čísla ${ displaystyle 10 ^ {b}}$ v horním řádku a vyplňte levý sloupec hodnotami 10. Chcete-li určit číslo v tabulce, vezměte číslo okamžitě doleva a poté vyhledejte požadovaný počet v předchozím řádku na pozici dané právě převzatému číslu .

Hodnoty ${ displaystyle 10 uparrow ^ {n} b}$ = ${ displaystyle H_ {n + 2} (10, b)}$ = ${ displaystyle 10 [n + 2] b}$ = 10 → b → n

b ⁿ	1	2	3	4	5	vzorec
1	10	100	1,000	10,000	100,000	${ displaystyle 10 ^ {b}}$
2	10	10,000,000,000	${ displaystyle 10 ^ {10 000 000 000}}$	${ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 000 000 000}}}$	${ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10 000 000 000}}}}$	${ displaystyle 10 uparrow uparrow b}$
3	10	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {10}}}}}}} 10 { mbox {kopie}} 10 end {matrix}}}$	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {10}}}}}}} podtržítko {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {10}}}}}}} 10 { mbox {kopie}} 10 konec {matrix}}}$	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {10}}}}}}} podříznutá {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {10}}}}}}} podřízená {10 _ {} ^ {10 ^ { {} ^ {. , ^ {. , ^ {. , ^ {10}}}}}}} 10 { mbox {kopie}} 10 end {matrix}}}$		${ displaystyle 10 uparrow uparrow uparrow b}$
4	10	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} 10 { mbox {kopie}} 10 end {matice }}}$	${ displaystyle { begin {matrix} underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10 }.}.}.} 10} 10} 10 { mbox {kopie}} 10 end {matrix}}}$			${ displaystyle 10 uparrow uparrow uparrow uparrow b}$

Pro 2 ≤ b ≤ 9 číselné pořadí čísel ${ displaystyle 10 uparrow ^ {n} b}$ je lexikografický řád s n jako nejvýznamnější číslo, takže pro čísla těchto 8 sloupců je číselné pořadí jednoduše řádek po řádku. Totéž platí pro čísla v 97 sloupcích s 3 ≤ b ≤ 99, a pokud začneme od n = 1 i pro 3 ≤ b ≤ 9,999,999,999.

Viz také

• Primitivní rekurze
• Hyperoperace
• Zaneprázdněný bobr
• Cutlerova barová notace
• Tetrace
• Pentation
• Ackermannova funkce
• Grahamovo číslo
• Zápis Steinhaus – Moser

Poznámky

Reference

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. „Knuthova šipka nahoru“. MathWorld.
• Robert Munafo, Velká čísla: Vyšší hyper operátoři