K-funkce - K-function

v matematika, K-funkce, obvykle označován K.(z), je zobecněním hyperfaktoriální na komplexní čísla, podobně jako zobecnění faktoriál do funkce gama.

Formálně je funkce K definována jako

{ displaystyle K (z) = (2 pi) ^ {(- z + 1) / 2} exp left [{ begin {pmatrix} z ​​ 2 end {pmatrix}} + int _ { 0} ^ {z-1} ln ( Gamma (t + 1)) , dt vpravo].}

Může být také podán v uzavřené formě jako

{ displaystyle K (z) = exp left [ zeta ^ { prime} (- 1, z) - zeta ^ { prime} (- 1) right]}

kde ζ '(z) označuje derivát z Funkce Riemann zeta, ζ (A,z) označuje Funkce Hurwitz zeta a

{ displaystyle zeta ^ { prime} (a, z) { stackrel { mathrm {def}} {=}} vlevo [{ frac { částečná zeta (s, z)} { částečné s}} vpravo] _ {s = a}.}

Další použití výrazu funkce polygammy je^[1]

{ displaystyle K (z) = exp left ( psi ^ {(- 2)} (z) + { frac {z ^ {2} -z} {2}} - { frac {z} { 2}} ln (2 pi) vpravo)}

Nebo pomocí vyvážené zobecnění funkce polygammy:^[2]

{ displaystyle K (z) = Ae ^ { psi (-2, z) + { frac {z ^ {2} -z} {2}}}}

kde A je Glaisherova konstanta.

Lze také ukázat, že pro ${ displaystyle alpha> 0}$ :

${ displaystyle int _ { alpha} ^ { alfa +1} ln (K (x)) dx- int _ {0} ^ {1} ln (K (x)) dx = { frac {1} {2}} alpha ^ {2} left ( ln ( alpha) - { frac {1} {2}} right)}$

To lze ukázat definováním funkce ${ displaystyle f}$ takové, že:

${ displaystyle f ( alpha) = int _ { alpha} ^ { alpha +1} ln (K (x)) dx}$

Odvození této identity nyní s ohledem na ${ displaystyle alpha}$ výnosy:

${ displaystyle f '( alpha) = ln (K ( alpha +1)) - ln (K ( alpha))}$

Aplikujeme pravidlo logaritmu, které dostaneme

${ displaystyle f '( alpha) = ln left ({ frac {K ( alpha +1)} {K ( alpha)}} right)}$

Podle definice funkce K píšeme

${ displaystyle f '( alpha) = alpha ln ( alpha)}$

A tak

${ displaystyle f ( alpha) = { frac {1} {2}} alpha ^ {2} left ( ln ( alpha) - { frac {1} {2}} right) + C }$

Nastavení ${ displaystyle alpha = 0}$ my máme

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} ln (K (x)) dx = lim _ {n rightarrow 0} left ({ frac {1} {2}} n ^ {2} left ( ln (n) - { frac {1} {2}} right) right) + C}$