Konstanta Glaisher – Kinkelin - Glaisher–Kinkelin constant

v matematika, Konstanta Glaisher – Kinkelin nebo Glaisherova konstanta, obvykle označován A, je matematická konstanta, související s K-funkce a Barnesova funkce G.. Konstanta se objeví v řadě částky a integrály, zejména těch, které se účastní gama funkce a funkce zeta. Je pojmenován po matematici James Whitbread Lee Glaisher a Hermann Kinkelin.

Jeho přibližná hodnota je:

${ displaystyle A přibližně 1,2824271291 tečky}$ (sekvence A074962 v OEIS ).

Konstanta Glaisher – Kinkelin ${ displaystyle A}$ může být dán omezit:

${ displaystyle A = lim _ {n rightarrow infty} { frac {K (n + 1)} {n ^ {n ^ {2} / 2 + n / 2 + 1/12} , e ^ {-n ^ {2} / 4}}}}$

kde ${ displaystyle K (n) = prod _ {k = 1} ^ {n-1} k ^ {k}}$ je K-funkce. Tento vzorec zobrazuje podobnost mezi A a π což je možná nejlépe ilustrováno poznámkou Stirlingův vzorec:

${ displaystyle { sqrt {2 pi}} = lim _ {n to infty} { frac {n!} {n ^ {n + 1/2} , e ^ {- n}}} }$

což ukazuje, že stejně π se získá z aproximace funkce ${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} k}$, A lze také získat z podobné aproximace funkce ${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ {n} k ^ {k}}$.
Ekvivalentní definice pro A zahrnující Barnesova funkce G., dána ${ displaystyle G (n) = prod _ {k = 1} ^ {n-2} k! = { frac { left [ Gamma (n) right] ^ {n-1}} {K ( n)}}}$ kde ${ displaystyle Gamma (n)}$ je funkce gama je:

${ displaystyle A = lim _ {n rightarrow infty} { frac {(2 pi) ^ {n / 2} n ^ {n ^ {2} / 2-1 / 12} e ^ {- 3n ^ {2} / 4 + 1/12}} {G (n + 1)}}}$.

Konstanta Glaisher – Kinkelin se objevuje také při hodnocení derivátů Funkce Riemann zeta, jako:

${ displaystyle zeta ^ { prime} (- 1) = { frac {1} {12}} - ln A}$

${ displaystyle sum _ {k = 2} ^ { infty} { frac { ln k} {k ^ {2}}} = - zeta ^ { prime} (2) = { frac { pi ^ {2}} {6}} vlevo [12 ln A- gamma - ln (2 pi) vpravo]}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je Euler – Mascheroniho konstanta. Druhý vzorec vede přímo k následujícímu produktu nalezenému společností Glaisher:

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ { infty} k ^ {1 / k ^ {2}} = left ({ frac {A ^ {12}} {2 pi e ^ { gamma }}} vpravo) ^ { pi ^ {2} / 6}}$

Alternativní produktový vzorec definovaný nad prvočísla, čte ^[1]

${ displaystyle prod _ {k = 1} ^ { infty} p_ {k} ^ {1 / (p_ {k} ^ {2} -1)} = { frac {A ^ {12}} {2 pi e ^ { gamma}}},}$

kde ${ displaystyle p_ {k}}$ označuje ${ displaystyle k}$th prvočíslo.

Následuje několik integrálů, které zahrnují tuto konstantu:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1/2} ln gama (x) , dx = { frac {3} {2}} ln A + { frac {5} {24}} ln 2 + { frac {1} {4}} ln pi}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} { frac {x ln x} {e ^ {2 pi x} -1}} , dx = { frac {1} {2}} zeta ^ { prime} (- 1) = { frac {1} {24}} - { frac {1} {2}} ln A}$

Sériová reprezentace této konstanty vyplývá z řady pro Riemannovu zeta funkci danou Helmut Hasse.

${ displaystyle ln A = { frac {1} {8}} - { frac {1} {2}} sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n + 1}} sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} { binom {n} {k}} (k + 1) ^ {2} ln (k + 1)}$

Reference

• Guillera, Ježíši; Sondow, Jonathan (2008). „Dvojité integrály a nekonečné produkty pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentu“. Deník Ramanujan. 16 (3): 247–270. arXiv:math.NT / 0506319. doi:10.1007 / s11139-007-9102-0.
• Guillera, Ježíši; Sondow, Jonathan (2008). „Dvojité integrály a nekonečné produkty pro některé klasické konstanty prostřednictvím analytických pokračování Lerchova transcendentu“. Ramanujan Journal. 16 (3): 247–270. arXiv:matematika / 0506319. doi:10.1007 / s11139-007-9102-0. (Poskytuje různé vztahy.)
• Weisstein, Eric W. „Glaisher – Kinkelin Constant“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Funkce Riemann Zeta". MathWorld.

externí odkazy

• Konstanta Glaisher – Kinkelin na 20 000 desetinných míst