Bohr – Mollerupova věta - Bohr–Mollerup theorem - Wikipedia

v matematická analýza, Bohr – Mollerupova věta je věta dokázaná dánskými matematiky Harald Bohr a Johannes Mollerup. Věta charakterizuje the funkce gama, definované pro $X > 0$ podle

{ displaystyle Gamma (x) = int _ {0} ^ { infty} t ^ {x-1} e ^ {- t} , dt}

jako pouze funkce $F$ na intervalu $X > 0$ který má současně tři vlastnosti

$F (1) = 1$ , a
$F (X + 1) = X F (X)$ pro $X > 0$ a
$F$ je logaritmicky konvexní.

Léčba této věty je v Artin kniha Funkce gama, který byl přetištěn AMS ve sbírce Artinových spisů.

Věta byla poprvé publikována v učebnici dne komplexní analýza, jak si Bohr a Mollerup mysleli, že to již bylo prokázáno.

Tvrzení

Bohr – Mollerupova věta.

Γ (X)

je jediná funkce, která splňuje

F (X + 1) = X F (X)

s

log (F (X))

konvexní a také s

F (1) = 1

.

Důkaz

Nechat $Γ (X)$ být funkcí s předpokládanými vlastnostmi stanovenými výše: $Γ (X + 1) = X Γ (X)$ a $log (Γ (X))$ je konvexní a $Γ (1) = 1$ . Z $Γ (X + 1) = X Γ (X)$ můžeme založit

{ Displaystyle Gamma (x + n) = (x + n-1) (x + n-2) (x + n-3) cdots (x + 1) x gama (x)}

Účel ustanovení, že $Γ (1) = 1$ nutí $Γ (X + 1) = X Γ (X)$ vlastnost duplikovat faktoriály celých čísel, takže nyní můžeme učinit závěr $Γ (n) = (n - 1)!$ -li $n \in N$ a pokud $Γ (X)$ vůbec existuje. Kvůli našemu vztahu pro $Γ (X + n)$ , pokud dokážeme plně pochopit $Γ (X)$ pro $0 < X \leq 1$ pak pochopíme $Γ (X)$ pro všechny hodnoty $X$ .

Sklon přímky spojující dva body $(X 1, log (Γ (X 1)))$ a $(X 2, log (Γ (X 2)))$ , zavolej to $S (X 1, X 2)$ , se monotónně zvyšuje v každém argumentu s $X 1 < X 2$ protože jsme stanovili $log (Γ (X))$ je konvexní. To tedy víme

{ Displaystyle S (n-1, n) leq S (n, n + x) leq S (n, n + 1) quad { text {pro všechny}} x in (0,1]. }

Po zjednodušení pomocí různých vlastností logaritmu a následném umocnění (které zachovává nerovnosti, protože exponenciální funkce se monotónně zvyšuje) získáme

{ displaystyle (n-1) ^ {x} (n-1)! leq gama (n + x) leq n ^ {x} (n-1) !.}

Z předchozí práce se to rozšiřuje na

{ Displaystyle (n-1) ^ {x} (n-1)! leq (x + n-1) (x + n-2) cdots (x + 1) x gama (x) leq n ^ {x} (n-1) !,}

a tak

{ displaystyle { frac {(n-1) ^ {x} (n-1)!} {(x + n-1) (x + n-2) cdots (x + 1) x}} leq Gamma (x) leq { frac {n ^ {x} n!} {(X + n) (x + n-1) cdots (x + 1) x}} left ({ frac {n + x} {n}} vpravo).}

Poslední řádek je silným prohlášením. Zejména, platí pro všechny hodnoty $n$ . To je $Γ (X)$ pro jakoukoli volbu není větší než pravá strana $n$ a podobně, $Γ (X)$ pro jakoukoli jinou volbu není menší než levá strana $n$ . Každá jednotlivá nerovnost stojí samostatně a může být interpretována jako nezávislé prohlášení. Z tohoto důvodu si můžeme svobodně zvolit různé hodnoty $n$ pro RHS a LHS. Zejména pokud si necháme $n$ pro RHS a vyberte $n + 1$ pro LHS dostaneme:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {((n + 1) -1) ^ {x} ((n + 1) -1)!} {(x + (n + 1) -1) (x + (n + 1) -2) cdots (x + 1) x}} & leq Gamma (x) leq { frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n -1) cdots (x + 1) x}} left ({ frac {n + x} {n}} right) { frac {n ^ {x} n!} {(X + n ) (x + n-1) cdots (x + 1) x}} & leq gama (x) leq { frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n -1) cdots (x + 1) x}} left ({ frac {n + x} {n}} right) end {aligned}}}

Z tohoto posledního řádku je zřejmé, že funkce je vložena mezi dva výrazy, běžnou analytickou techniku k prokázání různých věcí, jako je existence limitu nebo konvergence. Nechat $n \to \infty$ :

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {n + x} {n}} = 1}

takže levá strana poslední nerovnosti je poháněna tak, aby se rovnala pravé straně v limitu a

{ displaystyle { frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) cdots (x + 1) x}}}

je vložen mezi. To může znamenat jen to

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) cdots (x + 1) x}} = Gama (x).}

V kontextu tohoto důkazu to znamená, že

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) cdots (x + 1) x}}}

má tři zadané vlastnosti patřící do $Γ (X)$ . Důkaz také poskytuje konkrétní výraz pro $Γ (X)$ . A poslední kritickou částí důkazu je zapamatování si, že limit posloupnosti je jedinečný. To znamená, že pro jakoukoli volbu $0 < X \leq 1$ pouze jedno možné číslo $Γ (X)$ může existovat. Proto neexistuje žádná další funkce se všemi přiřazenými vlastnostmi $Γ (X)$ .

Zbývající volný konec je otázka prokázání $Γ (X)$ dává smysl pro všechny $X$ kde

{ displaystyle lim _ {n to infty} { frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) cdots (x + 1) x}}}

existuje. Problém je v tom, že naše první dvojitá nerovnost

{ Displaystyle S (n-1, n) leq S (n + x, n) leq S (n + 1, n)}

byla postavena s omezením $0 < X \leq 1$ . Pokud řekněme $X > 1$ pak skutečnost, že $S$ se monotónně zvyšuje $S (n + 1, n) < S (n + X, n)$ , což je v rozporu s nerovností, na které je postaven celý důkaz. Nicméně,

{ displaystyle { begin {zarovnáno} Gamma (x + 1) & = lim _ {n až infty} x cdot left ({ frac {n ^ {x} n!} {(x + n) (x + n-1) cdots (x + 1) x}} vpravo) { frac {n} {n + x + 1}} Gamma (x) & = left ({ frac {1} {x}} vpravo) Gamma (x + 1) end {zarovnáno}}}

což ukazuje, jak bootstrap $Γ (X)$ na všechny hodnoty $X$ kde je definován limit.

Viz také

Wielandtova věta

Reference

„Bohr – Mollerupova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. „Bohr – Mollerupova věta“. MathWorld.
„Důkaz Bohr – Mollerupovy věty“. PlanetMath.
„Alternativní důkaz Bohr – Mollerupovy věty“. PlanetMath.
Artin, Emil (1964). Funkce gama. Holt, Rinehart, Winston.
Rosen, Michael (2006). Expozice Emila Artina: Výběr. Americká matematická společnost.
Mollerup, J., Bohr, H. (1922). Lærebog i Kompleks Analyze sv. III, Kodaň. (Učebnice ve složité analýze)