Bhargava faktoriál - Bhargava factorial

v matematika, Faktoriální funkce Bhargavynebo jednoduše Bhargava faktoriál, je určité zobecnění faktoriál funkce vyvinutá Fields Medal vítězný matematik Manjul Bhargava jako součást své diplomové práce v Harvardská Univerzita v roce 1996. Faktoriál Bhargava má tu vlastnost tolik číselně teoretický výsledky zahrnující běžné faktoriály zůstávají pravdivé, i když jsou faktoriály nahrazeny Bhargavskými faktoriály. Pomocí libovolného nekonečná podmnožina S sady Z celých čísel, Bhargava asociovala kladné celé číslo s každým kladným celým číslem k, kterou označil k !_S, s majetkem, který když někdo vezme S = Z sám o sobě, pak celé číslo spojené s k, to je k !_Zse ukázalo být obyčejným faktoriálem k.^[1]

Motivace pro zobecnění

The faktoriál a nezáporné celé číslo n, označeno n!, je produktem všech kladných celých čísel menších nebo rovných n. Například 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Podle konvence je hodnota 0! je definována jako 1. Tato klasická faktoriální funkce se objevuje prominentně v mnoha větách v teorie čísel. Následuje několik z těchto vět.^[1]

1. Pro všechna kladná celá čísla k a l, (k + l)! je násobkem k! l!.
2. Nechat F(X) být primitivní celočíselný polynom, tj. polynom, ve kterém jsou koeficienty celá čísla a jsou relativně prime navzájem. Pokud je stupeň F(X) je k pak největší společný dělitel ze souboru hodnot F(X) pro celočíselné hodnoty X je dělitel z k!.
3. Nechat A₀, A₁, A₂, . . . , A_n být kdokoli n + 1 celá čísla. Pak je součin jejich párových rozdílů násobkem 0! 1! ... n!.
4. Nechat Z být množina celých čísel a n jakékoli celé číslo. Pak počet polynomiální funkce z kruh celých čísel Z do kvocient prsten Z/nZ darováno ${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {n} { gcd (n, k!)}}}$.

Bhargava si položil následující problém a získal kladnou odpověď: Ve výše uvedených větách lze nahradit množinu celých čísel nějakou jinou množinou S (podmnožina Znebo podmnožina některých prsten ) a definujte funkci v závislosti na S který přiřadí hodnotu každému nezápornému celému číslu k, označeno k!_S, takže výroky získané z vět uvedených dříve nahrazením k! podle k!_S zůstat pravdivý?

Zobecnění

• Nechat S být libovolnou nekonečnou podmnožinou množiny Z celých čísel.
• Vyberte prvočíslo p.
• Sestavte uspořádanou sekvenci {A₀, A₁, A₂, . . } z vybraných čísel S následovně (takové posloupnosti se říká a p- objednávání S):

1. A₀ je libovolný prvek z S.
2. A₁ je libovolný prvek z S tak, že nejvyšší síla p který rozděluje A₁ − A₀ je minimální.
3. A₂ je libovolný prvek z S tak, že nejvyšší síla p který rozděluje (A₂ − A₀)(A₂ − A₁) je minimální.
4. A₃ je libovolný prvek z S tak, že nejvyšší síla p který rozděluje (A₃ − A₀)(A₃ − A₁)(A₃ − A₂) je minimální.
5. . . . a tak dále.

• Postavte a p- pořadí S pro každé prvočíslo p. (Pro dané prvočíslo p, p- pořadí S není jedinečný.)
• Pro každé nezáporné celé číslo k, nechť proti_k(S, p) být nejvyšší silou p který rozděluje (A_k − A₀)(A_k − A₁)(A_k − A₂) . . . (A_k − A_k − 1). Sekvence {proti₀(S, p), proti₁(S, p), proti₂(S, p), proti₃(S, p),. . . } se nazývá přidružený p-sekvence S. To je nezávislé na jakékoli konkrétní volbě p- pořadí S. (Předpokládáme, že proti₀(S, p) = 1 vždy.)
• Faktoriál celého čísla k, spojené s nekonečnou množinou S, je definován jako ${ displaystyle k! _ {S} = prod _ {p} v_ {k} (S, p)}$kde produkt převezme všechna prvočísla p.

Příklad: Faktoriály využívající sadu prvočísel

Nechat S být množina všech prvočísel P = {2, 3, 5, 7, 11, . . . }.

• Vybrat p = 2 a tvoří a p- pořadí P.

• Vybrat A₀ = 19 libovolně od P.
• Vybrat A₁:

• Nejvyšší síla p který rozděluje 2 -A₀ = −17 je 2⁰ = 1. Také pro všechny A ≠ 2 v P, A − A₀ je dělitelné 2. Proto je nejvyšší síla p který rozděluje (A₁ − A₀) je minimální, když A₁ = 2 a minimální výkon je 1. Tedy A₁ je vybrán jako 2 a proti₁(P, 2) = 1.

• Vybrat A₂:

• Je vidět, že pro každý prvek A v P, produkt X = (A − A₀)(A − A₁) = (A − 19)(A - 2) je dělitelné 2. Také, když A = 5, X je dělitelná 2 a není dělitelná žádnou vyšší silou 2. Takže, A₂ může být vybráno jako 5. Máme proti₂(P, 2) = 2.

• Vybrat A₃:

• Je vidět, že pro každý prvek A v P, produkt X = (A − A₀)(A − A₁)(A − A₂) = (A − 19)(A − 2)(A - 5) je dělitelné 2³ = 8. Také, když A = 17, X je dělitelné 8 a není dělitelné žádnou vyšší silou 2. Vyberte A₃ = 17. Také máme proti₃(P,2) = 8.

• Vybrat A₄:

• Je vidět, že pro každý prvek A v P, produkt X = (A − A₀)(A − A₁)(A − A₂)(A − A₃) = (A − 19)(A − 2)(A − 5)(A - 17) je dělitelné 2⁴ = 16. Také, když A = 23, X je dělitelný 16 a není dělitelný žádnou vyšší silou 2. Vyberte si A₄ = 23. Také máme proti₄(P,2) = 16.

• Vybrat A₅:

• Je vidět, že pro každý prvek A v P, produkt X = (A − A₀)(A − A₁)(A − A₂)(A − A₃)(A − A₄) = (A − 19)(A − 2)(A − 5)(A − 17)(A - 23) je dělitelné 2⁷ = 128. Také, když A = 31, X je dělitelný 128 a není dělitelný žádnou vyšší silou 2. Vyberte si A₅ = 31. Také máme proti₅(P,2) = 128.

• Proces pokračuje. Dvouřadé uspořádání P je tedy {19, 2, 5, 17, 23, 31,. . . } a přidružená 2-sekvence je {1, 1, 2, 8, 16, 128,. . . }, za předpokladu, že proti₀(P, 2) = 1.

• Pro p = 3, jeden možný p- objednávání P je posloupnost {2, 3, 7, 5, 13, 17, 19,. . . } a přidružené p-sekvence P je {1, 1, 1, 3, 3, 9,. . . }.

• Pro p = 5, jeden možný p- pořadí P je posloupnost {2, 3, 5, 19, 11, 7, 13,. . . } a přidružené p-sekvence je {1, 1, 1, 1, 1, 5,. . .}.

• Je možné ukázat, že pro p ≥ 7, prvních několik prvků přidružených p-sledky jsou {1, 1, 1, 1, 1, 1,. . . }.

Prvních několik faktoriálů spojených se sadou prvočísel se získá takto (posloupnost A053657 v OEIS ).

Příklad: Faktoriály využívající množinu přirozených čísel

Nechat S být množina přirozených čísel Z.

• Pro p = 2, přidružené p-sekvence je {1, 1, 2, 2, 8, 8, 16, 16, 128, 128, 256, 256,. . . }.
• Pro p = 3, přidružené p-sekvence je {1, 1, 1, 3, 3, 3, 9, 9, 9, 27, 27, 27, 81, 81, 81,. . .}.
• Pro p = 5, přidružené p-sekvence je {1, 1, 1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 25, 25, 25, 25, 25, 25,. . . }.
• Pro p = 7, přidružené p-sekvence je {1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7,. . .}.
• . . . a tak dále.

Tedy prvních pár faktoriálů využívajících přirozená čísla

• 0!_Z = 1×1×1×1×1×. . . = 1.
• 1!_Z = 1×1×1×1×1×. . . = 1.
• 2!_Z = 2×1×1×1×1×. . . = 2.
• 3!_Z = 2×3×1×1×1×. . . = 6.
• 4!_Z = 8×3×1×1×1×. . . = 24.
• 5!_Z = 8×3×5×1×1×. . . = 120.
• 6!_Z = 16×9×5×1×1×. . . = 720.

Příklady: Některé obecné výrazy

Následující tabulka obsahuje obecné výrazy pro k!_S pro některé speciální případy S.^[1]

Vlastnosti

Nechat S být nekonečnou podmnožinou množiny Z celých čísel. Pro jakékoli celé číslo k, nechť k!_S být bhargavský faktoriál z k spojené se sadou S. Manjul Bhargava prokázal následující výsledky, které jsou zobecněním odpovídajících výsledků pro běžné faktoriály.^[1]

1. Pro všechna kladná celá čísla k a l, (k + l)!_S je násobkem k!_S × l!_S.
2. Nechat F(X) být primitivní celočíselný polynom, tj. polynom, ve kterém jsou koeficienty celá čísla a jsou relativně prime navzájem. Pokud je stupeň F(X) je k pak největší společný dělitel ze souboru hodnot F(X) pro hodnoty X v sadě S je dělitel z k!_S.
3. Nechat A₀, A₁, A₂, . . . , A_n být kdokoli n + 1 celá čísla v sadě S. Pak je součin jejich párových rozdílů násobkem 0!_S 1!_S ... n!_S.
4. Nechat Z být množina celých čísel a n jakékoli celé číslo. Pak počet polynomiální funkce z S do kvocient prsten Z/nZ darováno ${ displaystyle prod _ {k = 0} ^ {n-1} { frac {n} { gcd (n, k! _ {S})}}}$.

Reference