V matematice Legendrův vzorec dává výraz pro exponent největší síly a primární p který rozděluje faktoriál n !. Je pojmenován po Adrien-Marie Legendre . To je také někdy známé jako de Polignacova formule , po Alphonse de Polignac .
Prohlášení Pro jakékoli prvočíslo p a jakékoli kladné celé číslo n , nechť ν p ( n ) { displaystyle nu _ {p} (n)} p který rozděluje n (toto je p -adické ocenění z n ). Pak
ν p ( n ! ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ n p i ⌋ , { displaystyle nu _ {p} (n!) = součet _ {i = 1} ^ { infty} levá lfloor { frac {n} {p ^ {i}}} pravá rfloor, } kde ⌊ X ⌋ { displaystyle lfloor x rfloor} funkce podlahy . Zatímco vzorec na pravé straně je nekonečný součet, pro jakékoli konkrétní hodnoty n a p má pouze konečně mnoho nenulových výrazů: pro všechny i dost velký na to p i > n { displaystyle p ^ {i}> n} ⌊ n p i ⌋ = 0 { displaystyle textstyle left lfloor { frac {n} {p ^ {i}}} right rfloor = 0}
Příklad Pro n = 6, jeden má 6 ! = 720 = 2 4 ⋅ 3 2 ⋅ 5 1 { displaystyle 6! = 720 = 2 ^ {4} cdot 3 ^ {2} cdot 5 ^ {1}} ν 2 ( 6 ! ) = 4 , ν 3 ( 6 ! ) = 2 { displaystyle nu _ {2} (6!) = 4, nu _ {3} (6!) = 2} ν 5 ( 6 ! ) = 1 { displaystyle nu _ {5} (6!) = 1}
ν 2 ( 6 ! ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ 6 2 i ⌋ = ⌊ 6 2 ⌋ + ⌊ 6 4 ⌋ = 3 + 1 , ν 3 ( 6 ! ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ 6 3 i ⌋ = ⌊ 6 3 ⌋ = 2 , ν 5 ( 6 ! ) = ∑ i = 1 ∞ ⌊ 6 5 i ⌋ = ⌊ 6 5 ⌋ = 1. { displaystyle { begin {aligned} nu _ {2} (6!) & = sum _ {i = 1} ^ { infty} left lfloor { frac {6} {2 ^ {i} }} right rfloor = left lfloor { frac {6} {2}} right rfloor + left lfloor { frac {6} {4}} right rfloor = 3 + 1, [3pt] nu _ {3} (6!) & = Sum _ {i = 1} ^ { infty} left lfloor { frac {6} {3 ^ {i}}} right rfloor = left lfloor { frac {6} {3}} right rfloor = 2, [3pt] nu _ {5} (6!) & = sum _ {i = 1} ^ { infty} left lfloor { frac {6} {5 ^ {i}}} right rfloor = left lfloor { frac {6} {5}} right rfloor = 1. end { zarovnaný}}} Důkaz Od té doby n ! { displaystyle n!} n , získáme alespoň jeden faktor p v n ! { displaystyle n!} p v { 1 , 2 , … , n } { displaystyle {1,2, tečky, n }} ⌊ n p ⌋ { displaystyle textstyle levá lfloor { frac {n} {p}} pravá rfloor} p 2 { displaystyle p ^ {2}} p , každý násobek p 3 { displaystyle p ^ {3}} p Sečtením počtu těchto faktorů získáte nekonečný součet pro ν p ( n ! ) { displaystyle nu _ {p} (n!)}
Alternativní forma Lze také přeformulovat Legendrovu formuli z hlediska základna-p expanze n . Nechat s p ( n ) { displaystyle s_ {p} (n)} p expanze n ; pak
ν p ( n ! ) = n − s p ( n ) p − 1 . { displaystyle nu _ {p} (n!) = { frac {n-s_ {p} (n)} {p-1}}.} Například psaní n = 6 palců binární jako 610 = 1102 , máme to s 2 ( 6 ) = 1 + 1 + 0 = 2 { displaystyle s_ {2} (6) = 1 + 1 + 0 = 2}
ν 2 ( 6 ! ) = 6 − 2 2 − 1 = 4. { displaystyle nu _ {2} (6!) = { frac {6-2} {2-1}} = 4.} Podobně, psaní 6 palců trojice jako 610 = 203 , máme to s 3 ( 6 ) = 2 + 0 = 2 { displaystyle s_ {3} (6) = 2 + 0 = 2}
ν 3 ( 6 ! ) = 6 − 2 3 − 1 = 2. { displaystyle nu _ {3} (6!) = { frac {6-2} {3-1}} = 2.} Důkaz Psát si n = n ℓ p ℓ + ⋯ + n 1 p + n 0 { displaystyle n = n _ { ell} p ^ { ell} + cdots + n_ {1} p + n_ {0}} p . Pak ⌊ n p i ⌋ = n ℓ p ℓ − i + ⋯ + n i + 1 p + n i { displaystyle textstyle left lfloor { frac {n} {p ^ {i}}} right rfloor = n _ { ell} p ^ { ell -i} + cdots + n_ {i + 1 } p + n_ {i}}
ν p ( n ! ) = ∑ i = 1 ℓ ⌊ n p i ⌋ = ∑ i = 1 ℓ ( n ℓ p ℓ − i + ⋯ + n i + 1 p + n i ) = ∑ i = 1 ℓ ∑ j = i ℓ n j p j − i = ∑ j = 1 ℓ ∑ i = 1 j n j p j − i = ∑ j = 1 ℓ n j ⋅ p j − 1 p − 1 = ∑ j = 0 ℓ n j ⋅ p j − 1 p − 1 = 1 p − 1 ∑ j = 0 ℓ ( n j p j − n j ) = 1 p − 1 ( n − s p ( n ) ) . { displaystyle { begin {aligned} nu _ {p} (n!) & = sum _ {i = 1} ^ { ell} left lfloor { frac {n} {p ^ {i} }} right rfloor & = sum _ {i = 1} ^ { ell} left (n _ { ell} p ^ { ell -i} + cdots + n_ {i + 1} p + n_ {i} right) & = sum _ {i = 1} ^ { ell} sum _ {j = i} ^ { ell} n_ {j} p ^ {ji} & = sum _ {j = 1} ^ { ell} sum _ {i = 1} ^ {j} n_ {j} p ^ {ji} & = sum _ {j = 1} ^ { ell} n_ {j} cdot { frac {p ^ {j} -1} {p-1}} & = sum _ {j = 0} ^ { ell} n_ {j} cdot { frac {p ^ {j} -1} {p-1}} & = { frac {1} {p-1}} sum _ {j = 0} ^ { ell} left (n_ {j} p ^ {j} -n_ {j} right) & = { frac {1} {p-1}} left (n-s_ {p} (n) right). end {zarovnaný}}} Aplikace Legendrův vzorec lze použít k prokázání Kummerova věta . Jako jeden zvláštní případ lze použít k prokázání, že pokud n je kladné celé číslo, pak 4 dělí ( 2 n n ) { displaystyle { binom {2n} {n}}} n není síla 2.
Z Legendrova vzorce vyplývá, že p -adická exponenciální funkce p − 1 / ( p − 1 ) { displaystyle p ^ {- 1 / (p-1)}}
Reference
Legendre, A. M. (1830), Théorie des Nombres , Paříž: Firmin Didot Frères Moll, Victor H. (2012), Čísla a funkce , Americká matematická společnost , ISBN 978-0821887950 PAN 2963308 Leonard Eugene Dickson , Dějiny teorie čísel externí odkazy 
![{ displaystyle { begin {aligned} nu _ {2} (6!) & = sum _ {i = 1} ^ { infty} left lfloor { frac {6} {2 ^ {i} }} right rfloor = left lfloor { frac {6} {2}} right rfloor + left lfloor { frac {6} {4}} right rfloor = 3 + 1, [3pt] nu _ {3} (6!) & = Sum _ {i = 1} ^ { infty} left lfloor { frac {6} {3 ^ {i}}} right rfloor = left lfloor { frac {6} {3}} right rfloor = 2, [3pt] nu _ {5} (6!) & = sum _ {i = 1} ^ { infty} left lfloor { frac {6} {5 ^ {i}}} right rfloor = left lfloor { frac {6} {5}} right rfloor = 1. end { zarovnaný}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f42a573256d351eaec1d1c3dae77a62b993ca3f)
