Zákon o ideálním plynu - Ideal gas law - Wikipedia

Termodynamika
Klasický Carnotův tepelný motor
Pobočky Klasický Statistický Chemikálie Kvantová termodynamika Rovnováha  / Nerovnováha
Zákony Zeroth za prvé Druhý Třetí
Systémy Stát Stavová rovnice Ideální plyn Skutečný plyn Stav hmoty Rovnováha Ovládejte hlasitost Nástroje Procesy Izobarický Izochorický Izotermický Adiabatický Isentropic Isenthalpic Kvazistatický Polytropní Bezplatná expanze Reverzibilita Nevratnost Endoreversibility Cykly Tepelné motory Tepelná čerpadla Tepelná účinnost
Systémové vlastnosti Poznámka: Konjugujte proměnné v kurzíva Diagramy vlastností Intenzivní a rozsáhlé vlastnosti Procesní funkce Práce Teplo Funkce státu Teplota  / Entropie  (úvod ) Tlak  / Objem Chemický potenciál  / Číslo částic Kvalita páry Snížené vlastnosti
Vlastnosti materiálu Databáze nemovitostí Specifická tepelná kapacita   ${ displaystyle c =}$ ${ displaystyle T}$ ${ displaystyle částečné S}$ ${ displaystyle N}$ ${ displaystyle částečné T}$ Stlačitelnost   ${ displaystyle beta = -}$ ${ displaystyle 1}$ ${ displaystyle částečné V}$ ${ displaystyle V}$ ${ displaystyle částečný p}$ Teplotní roztažnost   ${ displaystyle alpha =}$ ${ displaystyle 1}$ ${ displaystyle částečné V}$ ${ displaystyle V}$ ${ displaystyle částečné T}$
Rovnice Carnotova věta Clausiova věta Základní vztah Zákon o ideálním plynu Maxwellovy vztahy Vzájemné vztahy Onsager Bridgmanovy rovnice Tabulka termodynamických rovnic
Potenciál Energie zdarma Zdarma entropie Vnitřní energie ${ displaystyle U (S, V)}$ Entalpie ${ displaystyle H (S, p) = U + pV}$ Helmholtzova volná energie ${ displaystyle A (T, V) = U-TS}$ Gibbsova volná energie ${ displaystyle G (T, p) = H-TS}$
Dějiny Kultura Dějiny Všeobecné Entropie Zákony o plynu Stroje „Perpetual Motion“ Filozofie Entropie a čas Entropie a život Brownova ráčna Maxwellův démon Paradox smrtelné smrti Loschmidtův paradox Synergetika Teorie Kalorická teorie Teorie tepla Vis viva („živá síla“) Mechanický ekvivalent tepla Hnací síla Klíčové publikace "Experimentální dotaz Co se týče ... tepla " "V rovnováze Heterogenní látky " "Úvahy o Hnací síla ohně " Časové osy Termodynamika Tepelné motory Umění Vzdělávání Maxwellův termodynamický povrch Entropie jako rozptýlení energie
Vědci Bernoulli Boltzmann Carnot Clapeyron Clausius Carathéodory Duhem Gibbs von Helmholtz Joule Maxwell von Mayer Onsager Rankine Smeaton Stahl Thompson Thomson van der Waals Waterston
Rezervovat Kategorie

Izotermy z ideální plyn. Zakřivené čáry představují vztah mezi tlak (na svislé ose) a objem (na vodorovné ose) pro ideální plyn při různých teploty: čáry, které jsou dále od původ (tj. čáry, které jsou blíže k pravému hornímu rohu diagramu) představují vyšší teploty.

The zákon o ideálním plynu, také nazývaný obecná plynová rovnice, je stavová rovnice hypotetické ideální plyn. Je to dobrá aproximace chování mnoha lidí plyny za mnoha podmínek, i když má několik omezení. Poprvé to uvedl Benoît Paul Émile Clapeyron v roce 1834 jako kombinace empirické Boyleův zákon, Charlesův zákon, Avogadrův zákon, a Gay-Lussacův zákon.^[1] Zákon o ideálním plynu je často psán empirickou formou:

${ displaystyle PV = nRT}$

kde ${ displaystyle P}$, ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle T}$ jsou tlak, objem a teplota; ${ displaystyle n}$ je množství látky; a ${ displaystyle R}$ je konstanta ideálního plynu. Je stejná pro všechny plyny a lze ji odvodit také z mikroskopu kinetická teorie, jak toho bylo (zjevně nezávisle) dosaženo August Krönig v roce 1856^[2] a Rudolf Clausius v roce 1857.^[3]

Upozorňujeme, že tento zákon nečiní žádné komentáře k tomu, zda se plyn během komprese nebo expanze zahřívá nebo ochladí. Ideální plyn nemusí měnit teplotu, ale většina plynů jako vzduch není ideální a následuje Joule – Thomsonův efekt.^{[pochybný – diskutovat]}

Rovnice

Jsou zobrazeny molekulární srážky v uzavřené nádobě (propanová nádrž) (vpravo). Šipky představují náhodné pohyby a srážky těchto molekul. Tlak a teplota plynu jsou přímo úměrné: se zvyšující se teplotou se zvyšuje tlak propanu o stejný faktor. Jednoduchým důsledkem této proporcionality je to, že v horkém letním dni bude tlak v propanové nádrži zvýšen, a proto musí být propanové nádrže dimenzovány tak, aby vydržely takové zvýšení tlaku.

The Stát ve výši plyn je určena jeho tlakem, objemem a teplotou. Moderní forma rovnice je spojuje jednoduše ve dvou hlavních formách. Teplota použitá ve stavové rovnici je absolutní teplota: příslušnou jednotkou SI je kelvin.^[4]

Běžné formy

Nejčastěji zavedenými formami jsou:

${ displaystyle pV = nRT = nk _ { text {B}} N _ { text {A}} T,}$

kde:

• ${ displaystyle p}$ je tlak plynu,
• ${ displaystyle V}$ je objem plynu,
• ${ displaystyle n}$ je množství látky plynu (také známého jako počet molů),
• ${ displaystyle R}$ je ideální nebo univerzální, plynová konstanta, rovnající se součinu Boltzmannova konstanta a Avogadro konstantní,
• ${ displaystyle k _ { text {B}}}$ je Boltzmannova konstanta
• ${ displaystyle N_ {A}}$ je Avogadro konstantní
• ${ displaystyle T}$ je absolutní teplota plynu.

v SI jednotky, str se měří v pascaly, PROTI se měří v metrů krychlových, n se měří v krtci, a T v kelvinů (Kelvinova stupnice je posunutá stupnice Celsia, kde 0,00 K = −273,15 ° C, nejnižší možná teplota ). R má hodnotu 8,314 J /(K. ·mol ) ≈ 2 CAL / (K · mol) nebo 0,0821 l ·bankomat / (mol · K).

Molární forma

Kolik plynu je přítomno, lze určit uvedením hmotnosti místo chemického množství plynu. Proto může být užitečná alternativní forma zákona o ideálním plynu. Chemické množství (n) (v molech) se rovná celkové hmotnosti plynu (m) (v kilogramech) děleno molární hmotnost (M) (v kilogramech na mol):

${ displaystyle n = { frac {m} {M}}.}$

Výměnou n s m/M a následně představit hustota ρ = m/PROTI, dostaneme:

${ displaystyle pV = { frac {m} {M}} RT}$

${ displaystyle p = { frac {m} {V}} { frac {RT} {M}}}$

${ displaystyle p = rho { frac {R} {M}} T}$

Definování konstanta specifického plynu R_{konkrétní (r)} jako poměr R/M,

${ displaystyle p = rho R _ { text {specific}} T}$

Tato forma zákona o ideálním plynu je velmi užitečná, protože spojuje tlak, hustotu a teplotu v jedinečném vzorci nezávislém na množství uvažovaného plynu. Alternativně může být zákon napsán ve smyslu konkrétní objem proti, převrácená hodnota hustoty, jako

${ displaystyle pv = R _ { text {specific}} T.}$

Je běžné, zejména v inženýrských a meteorologických aplikacích, reprezentovat charakteristický plynová konstanta symbolem R. V takových případech univerzální plynová konstanta má obvykle jiný symbol, jako je ${ displaystyle { bar {R}}}$ nebo ${ displaystyle R ^ {*}}$ rozlišit to. V každém případě by kontext a / nebo jednotky plynové konstanty měly objasnit, zda se odkazuje na univerzální nebo specifickou plynovou konstantu.^[5]

Statistická mechanika

v statistická mechanika následující molekulární rovnice je odvozena od první str

kde P je absolutní tlak plynu, n je hustota čísel molekul (daných poměrem n = N/PROTI, na rozdíl od předchozí formulace, ve které n je počet krtků), T je absolutní teplota, a k_B je Boltzmannova konstanta související teplota a energie, daná vztahem:

${ displaystyle k _ { text {B}} = { frac {R} {N _ { text {A}}}}}$

kde N_A je Avogadro konstantní.

Z toho si všimneme, že pro plyn o hmotnosti m, s průměrnou hmotností částic μ krát atomová hmotnostní konstanta, m_u, (tj. hmotnost je μ u ) počet molekul bude dán vztahem

${ displaystyle N = { frac {m} { mu m _ { text {u}}}},}$

a od té doby ρ = m/PROTI = nμm_u, zjistíme, že zákon o ideálním plynu lze přepsat jako

${ displaystyle P = { frac {1} {V}} { frac {m} { mu m _ { text {u}}}} k _ { text {B}} T = { frac {k_ { text {B}}} { mu m _ { text {u}}}} rho T.}$

V jednotkách SI, P se měří v pascaly, PROTI v metrech krychlových, T v kelvinech ak_B = 1.38×10⁻²³ J⋅K⁻¹ v SI jednotky.

Zákon o kombinovaném plynu

Kombinace zákonů Charlese, Boylea a Gay-Lussaca dává zákon o kombinovaném plynu, který má stejnou funkční formu jako zákon ideálního plynu, kromě toho, že počet molů je nespecifikovaný a poměr ${ displaystyle PV}$ na ${ displaystyle T}$ je jednoduše bráno jako konstanta:^[6]

${ displaystyle { frac {PV} {T}} = k,}$

kde ${ displaystyle p}$ je tlak plynu, ${ displaystyle V}$ je objem plynu, ${ displaystyle T}$ je absolutní teplota plynu a ${ displaystyle k}$ je konstanta. Při srovnání stejné látky za dvou různých podmínek lze zákon napsat jako

${ displaystyle { frac {P_ {1} V_ {1}} {T_ {1}}} = { frac {P_ {2} V_ {2}} {T_ {2}}}.}$

Energie spojená s plynem

Podle předpokladů kinetické teorie ideálních plynů předpokládáme, že mezi molekulami ideálního plynu neexistují mezimolekulární přitažlivosti. Jinými slovy, jeho potenciální energie je nula. Proto je veškerá energie, kterou plyn vlastní, v kinetické energii molekul plynu.

${ displaystyle E = { frac {3} {2}} nRT}$

Toto je kinetická energie n krtci a monatomický plyn s 3 stupně svobody; X, y, z.

Energie plynu	Matematické vyjádření
energie spojená s jedním molem monatomického plynu	${ displaystyle E = { frac {3} {2}} RT}$
energie spojená s jedním gramem monatomického plynu	${ displaystyle E = { frac {3} {2}} rT}$
energie spojená s jednou molekulou (nebo atomem) monatomického plynu	${ displaystyle E = { frac {3} {2}} k_ {B} T}$

Aplikace na termodynamické procesy

Níže uvedená tabulka v podstatě zjednodušuje rovnici ideálního plynu pro konkrétní procesy, což usnadňuje řešení této rovnice pomocí numerických metod.

A termodynamický proces je definován jako systém, který se pohybuje ze stavu 1 do stavu 2, kde je číslo stavu označeno indexem. Jak je znázorněno v prvním sloupci tabulky, základní termodynamické procesy jsou definovány tak, že jedna z vlastností plynu (P, PROTI, T, Snebo H) je během celého procesu konstantní.

Aby bylo možné určit rozsah konkrétního procesu, musí být pro daný termodynamický proces určen jeden z poměrů vlastností (které jsou uvedeny ve sloupci označeném jako „známý poměr“) (buď přímo, nebo nepřímo). Vlastnost, pro kterou je poměr znám, musí být také odlišná od vlastnosti konstantní v předchozím sloupci (jinak by poměr byl jednota a pro zjednodušení rovnice zákonů o plynu by nebylo k dispozici dostatek informací).

V posledních třech sloupcích jsou vlastnosti (str, PROTInebo T) ve stavu 2 lze vypočítat z vlastností ve stavu 1 pomocí uvedených rovnic.

^{^} A. V isentropickém procesu, systému entropie (S) je konstantní. Za těchto podmínek str₁ PROTI₁^y = str₂ PROTI₂^y, kde y je definován jako poměr tepelné kapacity, což je konstantní pro kaloricky perfektní plyn. Hodnota použitá pro y je typicky 1,4 pro křemeliny jako dusík (N₂) a kyslík (Ó₂), (a vzduch, který je z 99% diatomický). Taky y je typicky 1,6 pro monoatomové plyny, jako je vzácné plyny hélium (He) a argon (Ar). Ve spalovacích motorech y se pohybuje mezi 1,35 a 1,15, v závislosti na konstitučních plynech a teplotě.

^{^} b. V isenthalpickém procesu, systému entalpie (H) je konstantní. V případě bezplatná expanze pro ideální plyn neexistují žádné molekulární interakce a teplota zůstává konstantní. U skutečných plynů molekuly interagují prostřednictvím přitahování nebo odpuzování v závislosti na teplotě a tlaku a dochází k zahřívání nebo chlazení. Toto je známé jako Joule – Thomsonův efekt. Pro srovnání je to Joule – Thomsonův koeficient μ_JT pro vzduch při pokojové teplotě a hladině moře je 0,22 ° C /bar.^[7]

Odchylky od ideálního chování skutečných plynů

Zde uvedená stavová rovnice (PV = nRT) platí pouze pro ideální plyn nebo jako aproximace ke skutečnému plynu, který se chová dostatečně jako ideální plyn. Ve skutečnosti existuje mnoho různých forem stavové rovnice. Protože zákon o ideálním plynu zanedbává obojí velikost molekul a mezimolekulární atrakce, je to nejpřesnější pro monatomický plyny při vysokých teplotách a nízkých tlacích. Zanedbání velikosti molekul se stává méně důležitým pro nižší hustoty, tj. Pro větší objemy při nižších tlacích, protože průměrná vzdálenost mezi sousedními molekulami se stává mnohem větší než velikost molekul. Relativní význam mezimolekulárních atrakcí klesá s rostoucím tepelná kinetická energie, tj. s rostoucí teplotou. Detailnější stavové rovnice, tak jako van der Waalsova rovnice, zohledňují odchylky od ideálu způsobené velikostí molekul a mezimolekulárními silami.

A zbytkový majetek je definován jako rozdíl mezi a skutečný plyn vlastnost a vlastnost ideálního plynu, které jsou považovány za stejný tlak, teplotu a složení.

Odvození

Empirický

Empirické zákony, které vedly k odvození zákona o ideálním plynu, byly objeveny pomocí experimentů, které změnily pouze 2 stavové proměnné plynu a všechny ostatní udržovaly konstantní.

Všechny možné zákony o plynu, které by mohly být objeveny s tímto druhem nastavení, jsou:

${ displaystyle {PV} = C_ {1}}$ nebo ${ displaystyle P_ {1} V_ {1} = P_ {2} V_ {2}}$ (1) známé jako Boyleův zákon

${ displaystyle { frac {V} {T}} = C_ {2}}$ nebo ${ displaystyle { frac {V_ {1}} {T_ {1}}} = { frac {V_ {2}} {T_ {2}}}}$ (2) známé jako Charlesův zákon

${ displaystyle { frac {V} {N}} = C_ {3}}$ nebo ${ displaystyle { frac {V_ {1}} {N_ {1}}} = { frac {V_ {2}} {N_ {2}}}}$ (3) známé jako Avogadrův zákon

${ displaystyle { frac {P} {T}} = C_ {4}}$nebo ${ displaystyle { frac {P_ {1}} {T_ {1}}} = { frac {P_ {2}} {T_ {2}}}}$ (4) známé jako Gay-Lussacův zákon

${ displaystyle NT = C_ {5}}$nebo ${ displaystyle N_ {1} T_ {1} = N_ {2} T_ {2}}$ (5)

${ displaystyle { frac {P} {N}} = C_ {6}}$ nebo ${ displaystyle { frac {P_ {1}} {N_ {1}}} = { frac {P_ {2}} {N_ {2}}}}$ (6)

Vztahy mezi Boyle, Charles, Gay-Lussac, Avogadro, kombinovaný a zákony o ideálním plynu, s Boltzmannova konstanta k_B = R/N_A = n R./N  (v každém zákoně, vlastnosti v kroužku jsou proměnné a vlastnosti, které nejsou v kroužku, jsou konstantní)

kde „P“ znamená tlak, „V“ pro objem, „N“ pro počet částic v plynu a „T“ pro teplota; Kde ${ displaystyle C_ {1}, C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}, C_ {5}, C_ {6}}$ nejsou skutečné konstanty, ale jsou v tomto kontextu kvůli změně každé rovnice vyžadující pouze parametry výslovně uvedené v ní.

Abychom odvodili zákon o ideálním plynu, nepotřebujeme znát všech 6 vzorců, stačí znát 3 a s těmi, které odvodí zbytek, nebo jen jeden, abychom získali zákon o ideálním plynu, který potřebuje 4.

Protože každý vzorec platí pouze tehdy, když se mění pouze stavové proměnné zahrnuté v uvedeném vzorci, zatímco ostatní zůstávají konstantní, nemůžeme jednoduše použít algebru a přímo je všechny kombinovat. Tj. Boyle prováděl své experimenty, zatímco se držel N a T konstantní a to je třeba vzít v úvahu.

S ohledem na to je třeba si představit, aby bylo možné odvodit správně plyn se mění po jednom procesu. Odvození pomocí 4 vzorců může vypadat takto:

nejprve má plyn parametry ${ displaystyle P_ {1}, V_ {1}, N_ {1}, T_ {1}}$

Řekněme, že se začíná měnit tlak a objem, podle Boyleův zákon, pak:

${ displaystyle P_ {1} V_ {1} = P_ {2} V_ {2}}$ (7) Po tomto procesu má plyn parametry ${ displaystyle P_ {2}, V_ {2}, N_ {1}, T_ {1}}$

Pomocí pak ekv. (5) ke změně počtu částic v plynu a teplota,

${ displaystyle N_ {1} T_ {1} = N_ {2} T_ {2}}$ (8) Po tomto procesu má plyn parametry ${ displaystyle P_ {2}, V_ {2}, N_ {2}, T_ {2}}$

Pomocí pak ekv. (6) změnit tlak a počet částic,

${ displaystyle { frac {P_ {2}} {N_ {2}}} = { frac {P_ {3}} {N_ {3}}}}$ (9) Po tomto procesu má plyn parametry ${ displaystyle P_ {3}, V_ {2}, N_ {3}, T_ {2}}$

Pomocí pak Charlesův zákon změnit objem a teplota plynu,

${ displaystyle { frac {V_ {2}} {T_ {2}}} = { frac {V_ {3}} {T_ {3}}}}$ (10) Po tomto procesu má plyn parametry ${ displaystyle P_ {3}, V_ {3}, N_ {3}, T_ {3}}$

Použitím jednoduché algebry na rovnice (7), (8), (9) a (10) získáte výsledek:

${ displaystyle { frac {P_ {1} V_ {1}} {N_ {1} T_ {1}}} = { frac {P_ {3} V_ {3}} {N_ {3} T_ {3} }}}$ nebo ${ displaystyle { frac {PV} {NT}} = K_ {B}}$, Kde ${ displaystyle K_ {B}}$ znamená Boltzmannova konstanta.

Další ekvivalentní výsledek s využitím skutečnosti, že ${ displaystyle nR = NK_ {B}}$ , kde „n“ je počet krtci v plynu a „R“ je univerzální plynová konstanta, je:

${ displaystyle PV = nRT,}$ který je znám jako zákon o ideálním plynu.

Pokud víte nebo jste našli v experimentu 3 ze 6 vzorců, můžete zbytek snadno odvodit pomocí stejné metody vysvětlené výše; ale vzhledem k vlastnostem uvedených rovnic, konkrétně k tomu, že v nich jsou pouze 2 proměnné, nemohou to být žádné 3 vzorce. Například pokud byste měli mít ekv. (1), (2) a (4) byste se již nemohli dostat, protože kombinace dvou z nich vám dá třetí; Ale pokud jste měli ekv. (1), (2) a (3) byste byli schopni získat všech 6 rovnic, aniž byste museli dělat zbytek experimentů, protože kombinace (1) a (2) přinese (4), poté (1) a ( 3) získá (6), poté (4) a (6) získá (5), stejně jako kombinace (2) a (3), jak je vizuálně vysvětleno v následujícím vizuálním vztahu:

Vztah mezi šesti zákony o plynu

Kde čísla představují výše popsané zákony o plynu.

Pokud byste použili stejnou metodu použitou výše na 2 ze 3 zákonů na vrcholech jednoho trojúhelníku, který má uvnitř „O“, dostali byste třetí.

Například:

Pouze změna tlak a objem za prvé: ${ displaystyle P_ {1} V_ {1} = P_ {2} V_ {2}}$ (1´)

pak jen objem a teplota: ${ displaystyle { frac {V_ {2}} {T_ {1}}} = { frac {V_ {3}} {T_ {2}}}}$ (2´)

pak, protože si můžeme vybrat libovolnou hodnotu pro ${ displaystyle V_ {3}}$, pokud nastavíme ${ displaystyle V_ {1} = V_ {3}}$, Ekv. (2´) se stává: ${ displaystyle { frac {V_ {2}} {T_ {1}}} = { frac {V_ {1}} {T_ {2}}}}$(3´)

kombinací rovnic (1´) a (3´) se získá výtěžek ${ displaystyle { frac {P_ {1}} {T_ {1}}} = { frac {P_ {2}} {T_ {2}}}}$ , což je ekv. (4), o kterých jsme do této derivace neměli žádné předchozí znalosti.

Teoretický

Kinetická teorie

Ze zákona o ideálním plynu lze také odvodit první principy za použití kinetická teorie plynů, ve kterých je učiněno několik zjednodušujících předpokladů, z nichž hlavní je, že molekuly nebo atomy plynu jsou bodové masy, které mají hmotu, ale nemají významný objem, a procházejí pouze navzájem elastickými srážkami a stranami nádoby, ve které lineární hybnost i kinetická energie jsou zachovány.

To předpokládají základní předpoklady kinetické teorie plynů

${ displaystyle PV = { frac {1} {3}} Nmv _ { text {rms}} ^ {2}.}$

Za použití Distribuce Maxwell – Boltzmann, zlomek molekul, které mají rychlost v rozsahu ${ displaystyle v}$ na ${ displaystyle v + dv}$ je ${ displaystyle f (v) , dv}$, kde

${ displaystyle f (v) = 4 pi left ({ frac {m} {2 pi kT}} right) ^ { frac {3} {2}} v ^ {2} e ^ {- { frac {mv ^ {2}} {2kT}}}}$

a ${ displaystyle k}$ označuje Boltzmannovu konstantu. Rychlost střední kvadratické rychlosti lze vypočítat pomocí

${ displaystyle v _ { text {rms}} ^ {2} = int _ {0} ^ { infty} v ^ {2} f (v) , dv = 4 pi left ({ frac { m} {2 pi kT}} right) ^ { frac {3} {2}} int _ {0} ^ { infty} v ^ {4} e ^ {- { frac {mv ^ { 2}} {2kT}}} , dv.}$

Použití integračního vzorce

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {2n} e ^ {- { frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}}, dx = { sqrt { pi}} , { frac {(2n)!} {n!}} left ({ frac {a} {2}} right) ^ {2n + 1},}$

z toho vyplývá, že

${ displaystyle v _ { text {rms}} ^ {2} = 4 pi left ({ frac {m} {2 pi kT}} right) ^ { frac {3} {2}} { sqrt { pi}} , { frac {4!} {2!}} vlevo ({ frac { sqrt { frac {2kT} {m}}} {2}} vpravo) ^ { 5} = { frac {3kT} {m}},}$

ze kterého dostaneme zákon o ideálním plynu:

${ displaystyle PV = { frac {1} {3}} Nm left ({ frac {3kT} {m}} right) = NkT.}$

Statistická mechanika

Nechat q = (q_X, q_y, q_z) a str = (str_X, str_y, str_z) označují polohový vektor a vektor hybnosti částice ideálního plynu. Nechat F značí čistou sílu na danou částici. Časově zprůměrovaná kinetická energie částice je pak:

${ displaystyle { begin {aligned} langle mathbf {q} cdot mathbf {F} rangle & = { Bigl langle} q_ {x} { frac {dp_ {x}} {dt}} { Bigr rangle} + { Bigl langle} q_ {y} { frac {dp_ {y}} {dt}} { Bigr rangle} + { Bigl langle} q_ {z} { frac {dp_ {z}} {dt}} { Bigr rangle} & = - { Bigl langle} q_ {x} { frac { částečné H} { částečné q_ {x}}} {{ Bigr rangle} - { Bigl langle} q_ {y} { frac { částečné H} { částečné q_ {y}}} { Bigr rangle} - { Bigl langle} q_ {z} { frac { částečné H} { částečné q_ {z}}} { Bigr rangle} = - 3k_ {B} T, end {zarovnáno}}}$

kde je první rovnost Newtonův druhý zákon a druhý řádek používá Hamiltonovy rovnice a teorém ekvipartice. Souhrn nad systémem N výnosy částic

${ displaystyle 3Nk_ {B} T = - { biggl langle} sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {q} _ {k} cdot mathbf {F} _ {k} { biggr rangle}.}$

Podle Newtonův třetí zákon a předpoklad ideálního plynu, čistá síla systému je síla aplikovaná stěnami nádoby a tato síla je dána tlakem P plynu. Proto

${ displaystyle - { biggl langle} sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {q} _ {k} cdot mathbf {F} _ {k} { biggr rangle} = P mast _ { mathrm {povrch}} mathbf {q} cdot d mathbf {S},}$

kde dS je nekonečně malý plošný prvek podél stěn nádoby. Protože divergence vektoru polohy q je

${ displaystyle nabla cdot mathbf {q} = { frac { částečné q_ {x}} { částečné q_ {x}}} + { frac { částečné q_ {y}} { částečné q_ { y}}} + { frac { částečné q_ {z}} { částečné q_ {z}}} = 3,}$

the věta o divergenci to naznačuje

${ displaystyle P mast _ { mathrm {povrch}} mathbf {q} cdot d mathbf {S} = P int _ { mathrm {volume}} left ( nabla cdot mathbf {q } vpravo) dV = 3PV,}$

kde dV je nekonečně malý objem v kontejneru a PROTI je celkový objem nádoby.

Spojení těchto rovností přináší výnosy

${ displaystyle 3Nk_ {B} T = - { biggl langle} sum _ {k = 1} ^ {N} mathbf {q} _ {k} cdot mathbf {F} _ {k} { biggr rangle} = 3PV,}$

z čehož okamžitě vyplývá zákon o ideálním plynu N částice:

${ displaystyle PV = Nk_ {B} T = nRT, ,}$

kde n = N/N_A je počet krtci plynu a R = N_Ak_B je plynová konstanta.

Jiné rozměry

Pro d-dimenzionální systém, ideální tlak plynu je:^[8]

${ displaystyle P ^ {(d)} = { frac {Nk_ {B} T} {L ^ {d}}},}$

kde ${ displaystyle L ^ {d}}$ je objem d-dimenzionální doména, ve které plyn existuje. Všimněte si, že rozměry tlaku se mění s rozměrností.

Viz také

• Van der Waalsova rovnice - Stavová rovnice plynu, která odpovídá za chování neideálního plynu
• Boltzmannova konstanta - Fyzikální konstanta týkající se kinetické energie částic s teplotou
• Konfigurace integrální - Funkce v termodynamice a statistické fyzice
• Dynamický tlak - Koncept v dynamice tekutin
• Vnitřní energie

Reference

Další čtení

• Davis; Masten (2002). Principy environmentálního inženýrství a vědy. New York: McGraw-Hill. ISBN  0-07-235053-9.

externí odkazy

• „Webové stránky poskytující úvěr Benoîtovi Paulu Émile Clapeyronovi (1799–1864) v roce 1834“. Archivovány od originál 5. července 2007.
• Konfigurační integrál (statistická mechanika) kde alternativní statistická mechanická derivace zákona ideálního plynu, pomocí vztahu mezi Helmholtzova volná energie a funkce oddílu, ale bez použití věty o ekvipartici. Vu-Quoc, L., Konfigurační integrál (statistická mechanika), 2008. tato wiki stránka nefunguje; vidět tento článek ve webovém archivu dne 28. dubna 2012.
• Plynové rovnice podrobně