Ludwig Boltzmann - Ludwig Boltzmann

Ludwig Boltzmann
Ludwig Boltzmann
narozený	Ludwig Eduard Boltzmann (1844-02-20)20. února 1844 Vídeň, Rakouská říše
Zemřel	5. září 1906(1906-09-05) (ve věku 62) Tybein, Triest, Rakousko-Uhersko
Příčina smrti	Sebevražda oběšením
Národnost	rakouský
Alma mater	Vídeňská univerzita
Známý jako	Boltzmannova konstanta Boltzmannova rovnice Boltzmannova distribuce Podrobný zůstatek H-teorém Maxwell – Boltzmannova distribuce Stefan – Boltzmannova konstanta Stefan – Boltzmannův zákon Statistiky Maxwella-Boltzmanna Boltzmannův faktor Epistemologický idealismus
Ocenění	ForMemRS (1899)[1]
Vědecká kariéra
Pole	Fyzika
Instituce	University of Graz Vídeňská univerzita University of Munich University of Leipzig
Doktorský poradce	Josef Stefan
Ostatní akademičtí poradci	Robert Bunsen Leo Königsberger Gustav Kirchhoff Hermann von Helmholtz
Doktorandi	Paul Ehrenfest Philipp Frank Gustav Herglotz Franc Hočevar Ignacij Klemenčič
Další významní studenti	Lise Meitner Stefan Meyer
Podpis

Ludwig Eduard Boltzmann (Německá výslovnost: [ˈLuːtvɪg ˈbɔlt͡sman]; 20. února 1844 - 5. září 1906) byl rakouský fyzik a filozof. Jeho největším úspěchem byl vývoj statistická mechanika a statistické vysvětlení druhý zákon termodynamiky. V roce 1877 poskytl současnou definici entropie, ${ displaystyle S = k _ { rm {B}} ln Omega !}$, interpretováno jako míra statistické poruchy systému.^[2] Max Planck pojmenoval konstantu, k_B, Boltzmannova konstanta.^[3]

Statistická mechanika je jedním z pilířů moderní doby fyzika. Popisuje, jak makroskopická pozorování (např teplota a tlak ) souvisí s mikroskopickými parametry, které kolísají kolem průměru. Spojuje termodynamické veličiny (např tepelná kapacita ) na mikroskopické chování, zatímco v klasická termodynamika, jedinou dostupnou možností by bylo měřit a tabulkovat takové množství pro různé materiály.^[4]

Životopis

Dětství a vzdělávání

Boltzmann se narodil v Erdbergu na předměstí Vídeň. Jeho otec Ludwig Georg Boltzmann byl finančním úředníkem. Jeho dědeček, který se přestěhoval do Vídně z Berlína, byl výrobcem hodin a Boltzmannova matka, Katharina Pauernfeind, byla původně z Salzburg. Základní vzdělání získal u rodičů.^[5] Boltzmann navštěvoval střední školu v Linec, Horní Rakousko. Když bylo Boltzmannovi 15 let, jeho otec zemřel.^[6]

Od roku 1863 studoval Boltzmann matematika a fyzika na Vídeňská univerzita. Získal doktorát v roce 1866 a jeho venia legendi v roce 1869. Boltzmann úzce spolupracoval Josef Stefan, ředitel fyzikálního ústavu. Byl to Stefan, kdo představil Boltzmanna Maxwellova práce.^[6]

Akademická kariéra

V roce 1869 ve věku 25 let, díky doporučujícímu dopisu od Stefana,^[7] Boltzmann byl jmenován řádným profesorem Matematická fyzika na University of Graz v provincii Štýrsko. V roce 1869 strávil několik měsíců v Heidelberg pracovat s Robert Bunsen a Leo Königsberger a v roce 1871 s Gustav Kirchhoff a Hermann von Helmholtz v Berlíně. V roce 1873 nastoupil Boltzmann na Vídeňskou univerzitu jako profesor matematiky a tam zůstal až do roku 1876.

Ludwig Boltzmann a spolupracovníci ve Štýrském Hradci, 1887: (stojící zleva) Nernst, Streintz, Arrhenius, Hiecke, (sedící zleva) Aulinger, Ettingshausen, Boltzmann, Klemenčič, Hausmanninger

V roce 1872, dlouho předtím, než byly ženy přijaty na rakouské univerzity, se setkal s Henriette von Aigentler, ctižádostivou učitelkou matematiky a fyziky ve Štýrském Hradci. Bylo jí odepřeno povolení neoficiálně auditovat přednášky. Boltzmann podpořila její rozhodnutí o odvolání, které bylo úspěšné. 17. července 1876 se Ludwig Boltzmann oženil s Henriette; měli tři dcery: Henriette (1880), Idu (1884) a Else (1891); a syn Arthur Ludwig (1881).^[8] Boltzmann se vrátil k Graz nastoupit do křesla Experimentální fyziky. Mezi jeho studenty ve Štýrském Hradci byli Svante Arrhenius a Walther Nernst.^[9][10] Strávil 14 šťastných let ve Štýrském Hradci a právě tam rozvinul svůj statistický koncept přírody.

Boltzmann byl jmenován předsedou teoretické fyziky na University of Munich v Bavorsko, Německo v roce 1890.

V roce 1894 následoval Boltzmann po svém učiteli Joseph Stefan jako profesor teoretické fyziky na vídeňské univerzitě.

Poslední roky a smrt

Boltzmann v posledních letech vynaložil velké úsilí na obranu svých teorií.^[11] Zvláště nerozuměl s některými svými kolegy ve Vídni Ernst Mach, který se stal profesorem filozofie a dějin věd v roce 1895. Téhož roku Georg Helm a Wilhelm Ostwald představili svůj postoj dne energetika na schůzce v Lübeck. Viděli energii, a ne hmotu, jako hlavní složku vesmíru. Boltzmannova pozice se prosadila mezi dalšími fyziky, kteří v debatě podporovali jeho atomové teorie.^[12] V roce 1900 odešel Boltzmann do University of Leipzig, na pozvání Wilhelm Ostwald. Ostwald nabídl Boltzmannovi profesorské křeslo ve fyzice, které se uvolnilo, když Gustav Heinrich Wiedemann zemřel. Poté, co Mach odešel do důchodu kvůli špatnému zdraví, se Boltzmann v roce 1902 vrátil do Vídně.^[11] V roce 1903 Boltzmann společně s Gustav von Escherich a Emil Müller, založil Rakouská matematická společnost. Včetně jeho studentů Karl Přibram, Paul Ehrenfest a Lise Meitner.^[11]

Ve Vídni vyučoval Boltzmann fyziku a přednášel také filozofii. Boltzmannovy přednášky o přírodní filozofie byly velmi populární a dostalo se jim značné pozornosti. Jeho první přednáška měla obrovský úspěch. Přestože pro ni byl vybrán největší přednáškový sál, lidé stáli až po schodech dolů. Kvůli velkým úspěchům Boltzmannových filozofických přednášek ho císař pozval na recepci do paláce.^[13]

V roce 1906 ho Boltzmannův zhoršující se duševní stav přinutil rezignovat a jeho příznaky naznačují, že zažil to, co by dnes bylo diagnostikováno jako bipolární porucha.^[11][14] O čtyři měsíce později zemřel 5. září 1906 sebevraždou tím, že se na dovolené s manželkou a dcerou oběsil Duino, blízko Terst (tehdy Rakousko).^{[15][16][17][14]}

Je pohřben ve Vídni Zentralfriedhof. Jeho náhrobek nese nápis Boltzmannův entropický vzorec: ${ displaystyle S = k cdot log W}$^[11]

Filozofie

Boltzmann kinetická teorie plynů Zdálo se, že předpokládá realitu atomy a molekuly, ale téměř všichni Němečtí filozofové a mnoho vědců má ráda Ernst Mach a fyzikální chemik Wilhelm Ostwald nevěřili jejich existenci.^[18] Během 90. let 19. století se Boltzmann pokusil formulovat kompromisní pozici, která by umožňovala atomistům i protiatomistům dělat fyziku bez hádání o atomech. Jeho řešením bylo použít Hertz teorie, že atomy byly Bilder, tj. modely nebo obrázky. Atomisté si mohli myslet, že obrázky jsou skutečnými atomy, zatímco anti-atomisté si mohou myslet, že obrázky představují užitečný, ale nereálný model, ale to zcela neuspokojilo žádnou skupinu. Kromě toho se Ostwald a mnoho obhájců „čisté termodynamiky“ snažili vyvrátit kinetickou teorii plynů a statistickou mechaniku kvůli Boltzmannovým předpokladům o atomech a molekulách a zejména statistické interpretaci druhý zákon termodynamiky.

Na přelomu století byla Boltzmannova věda ohrožována další filozofickou námitkou. Někteří fyzici, včetně Machova studenta, Gustav Jaumann, interpretoval Hertze v tom smyslu, že veškeré elektromagnetické chování je spojité, jako by neexistovaly žádné atomy a molekuly, a podobně, jako by veškeré fyzické chování bylo nakonec elektromagnetické. Toto hnutí kolem roku 1900 hluboce deprimovalo Boltzmanna, protože by to mohlo znamenat konec jeho kinetické teorie a statistické interpretace druhého zákona termodynamiky.

Po Machově rezignaci ve Vídni v roce 1901 se tam Boltzmann vrátil a rozhodl se, že se sám stane filozofem, aby vyvrátil filozofické námitky proti své fyzice, ale brzy se opět odrazil. V roce 1904 se na konferenci o fyzice v St. Louis zdálo, že většina fyziků odmítá atomy a nebyl ani pozván do sekce fyziky. Spíše uvázl v části zvané „aplikovaná matematika“, násilně útočil na filozofii, zejména z údajně darwinovských důvodů, ale ve skutečnosti Lamarck Teorie dědičnosti získaných charakteristik, že lidé zdědili špatnou filozofii z minulosti a že pro vědce bylo těžké tuto dědičnost překonat.

V roce 1905 Boltzmann značně odpovídal rakousko-německému filozofovi Franz Brentano zjevně s nadějí na získání lepšího zvládnutí filozofie, aby mohl lépe vyvrátit její význam pro vědu, ale také od tohoto přístupu ho to odradilo.

Fyzika

Nejdůležitější Boltzmannovy vědecké příspěvky byly v kinetická teorie, včetně motivace Maxwell – Boltzmannova distribuce jako popis molekulárních rychlostí v plynu. Statistiky Maxwell – Boltzmann a Boltzmannova distribuce zůstávají ústředními v základech klasický statistická mechanika. Jsou použitelné i na jiné jevy které nevyžadují kvantová statistika a poskytnout vhled do významu slova teplota.

Boltzmann's 1898 I₂ molekulární diagram ukazující překrytí atomové „citlivé oblasti“ (α, β).

Většina chemici, protože objevy John Dalton v roce 1808 a James Clerk Maxwell ve Skotsku a Josiah Willard Gibbs ve Spojených státech sdílí Boltzmannovu víru v atomy a molekuly, ale hodně z fyzika založení nesdílelo tuto víru až o desetiletí později. Boltzmann měl dlouhodobý spor s redaktorem významného německého časopisu fyziky své doby, který odmítl nechat Boltzmanna odkazovat na atomy a molekuly jako na něco jiného než vhodného teoretický konstrukty. Jen pár let po Boltzmannově smrti, Perrin studie koloidní pozastavení (1908–1909), na základě Einstein teoretické studie z roku 1905, potvrdil hodnoty Avogadro číslo a Boltzmannova konstanta, přesvědčit svět, že drobné částice skutečně existují.

Citovat Planck „ logaritmický spojení mezi entropie a pravděpodobnost poprvé uvedl L. Boltzmann ve svém kinetická teorie plynů ".^[19] Tento slavný vzorec pro entropie S je^[20][21]

${ displaystyle S = k_ {B} ln W}$

kde k_B je Boltzmannova konstanta, a ln je přirozený logaritmus. Ž je Wahrscheinlichkeit, německé slovo znamenající pravděpodobnost výskytu a makrostát^[22] nebo přesněji počet možných microstates odpovídající makroskopickému stavu systému - počet (nepozorovatelných) „cest“ v (pozorovatelném) termodynamické stav systému, který lze realizovat přiřazením různých pozic a momenta k různým molekulám. Boltzmann paradigma byl ideální plyn z N identické částice, z toho N_i jsou v iTřetí mikroskopický stav (rozsah) polohy a hybnosti. Ž lze spočítat pomocí vzorce pro obměny

${ displaystyle W = N! prod _ {i} { frac {1} {N_ {i}!}}}$

kde i rozsahy za všech možných molekulárních podmínek a kde ${ displaystyle!}$ označuje faktoriál. "Oprava" ve jmenovateli představuje nerozeznatelný částice ve stejném stavu.

Boltzmann by také mohl být považován za jednoho z předchůdců kvantové mechaniky kvůli jeho návrhu z roku 1877, že energetické úrovně fyzického systému mohou být diskrétní.

Boltzmannova rovnice

Boltzmannova busta v arkádovém nádvoří hlavní budovy Vídeňské univerzity.

Boltzmannova rovnice byla vyvinuta k popisu dynamiky ideálního plynu.

${ displaystyle { frac { částečné f} { částečné t}} + v { frac { částečné f} { částečné x}} + { frac {F} {m}} { frac { částečné f} { částečné v}} = { frac { částečné f} { částečné t}} vlevo. {! ! { frac {} {}}} doprava | _ { mathrm {kolize} }}$

kde ƒ představuje distribuční funkci polohy a hybnosti jedné částice v daném čase (viz Maxwell – Boltzmannova distribuce ), F je síla, m je hmotnost částice, t je čas a proti je průměrná rychlost částic.

Tato rovnice popisuje temporální a prostorový variace rozdělení pravděpodobnosti pro polohu a hybnost rozdělení hustoty oblaku bodů v jedné částice fázový prostor. (Vidět Hamiltoniánská mechanika.) První člen na levé straně představuje explicitní časovou změnu distribuční funkce, zatímco druhý člen udává prostorovou variaci a třetí člen popisuje účinek jakékoli síly působící na částice. Pravá strana rovnice představuje účinek kolizí.

V zásadě výše uvedená rovnice zcela popisuje dynamiku souboru plynných částic, je-li to vhodné okrajové podmínky. Tento první řád diferenciální rovnice má klamně jednoduchý vzhled, protože ƒ může představovat libovolnou funkci distribuce jedné částice. Také platnost působení na částice závisí přímo na funkci distribuce rychlostiƒ. Boltzmannova rovnice je notoricky obtížná integrovat. David Hilbert strávil roky pokusem o jeho vyřešení bez skutečného úspěchu.

Forma kolizního termínu předpokládaná Boltzmannem byla přibližná. Pro ideální plyn však standard Chapman – Enskog řešení Boltzmannovy rovnice je vysoce přesné. Očekává se, že povede k nesprávným výsledkům pro ideální plyn pouze pod rázová vlna podmínky.

Boltzmann se mnoho let snažil „dokázat“ druhý zákon termodynamiky pomocí jeho plyn-dynamické rovnice - jeho slavný H-věta. Klíčovým předpokladem, který učinil při formulování kolizního termínu, však bylo „molekulární chaos “, předpoklad, který se ruší symetrie obrácení času jak je nutné pro cokoliv což by mohlo znamenat druhý zákon. Jen z pravděpodobnostního předpokladu vycházel zjevný úspěch Boltzmanna, takže jeho dlouhý spor s Loschmidt a další Loschmidtův paradox nakonec skončil jeho neúspěchem.

Konečně v 70. letech E.G.D. Cohen a J. R. Dorfman dokázali, že systematické (výkonové řady) rozšíření Boltzmannovy rovnice na vysoké hustoty je matematicky nemožné. Tudíž, nerovnovážná statistická mechanika pro husté plyny a kapaliny se zaměřuje na Vztahy mezi zelenými a Kubo, fluktuační věta a místo toho jiné přístupy.

Druhý zákon termodynamiky jako zákon poruchy

Boltzmannův hrob v Zentralfriedhof Vídeň, s poprsím a entropickým vzorcem.

Myšlenka, že druhý zákon termodynamiky nebo „entropické právo“ je zákonem neuspořádanosti (nebo že dynamicky uspořádané stavy jsou „nekonečně nepravděpodobné“) je způsobeno Boltzmannovým pohledem na druhý zákon termodynamiky.

Byl to zejména Boltzmannův pokus snížit na a stochastický kolizní funkce nebo zákon pravděpodobnosti vyplývající z náhodných srážek mechanických částic. Po Maxwellovi,^[23] Boltzmann modeloval molekuly plynu jako kolidující kulečníkové koule v krabici s tím, že při každé kolizi bude nerovnoměrné rozdělení rychlosti (skupiny molekul pohybujících se stejnou rychlostí a ve stejném směru) čím dál tím více neuspořádané, což povede ke konečnému stavu makroskopické uniformity a maximálního mikroskopického porucha nebo stav maximální entropie (kde makroskopická uniformita odpovídá vyhlazení všech potenciálů pole nebo gradientů).^[24] Tvrdil, že druhý zákon byl tedy jednoduše výsledkem skutečnosti, že ve světě mechanicky kolidujících částic jsou nejpravděpodobnější neuspořádané stavy. Protože existuje mnohem více možných neuspořádaných stavů než těch objednaných, systém se téměř vždy najde buď ve stavu maximální poruchy - makrostátu s největším počtem přístupných mikrostavů, jako je plyn v krabici v rovnováze - nebo směrem k to. Boltzmann uzavřel, že dynamicky uspořádaný stav, v němž se molekuly pohybují „stejnou rychlostí a stejným směrem“, je tedy „nejpravděpodobnější případ, který si lze představit ... nekonečně nepravděpodobná konfigurace energie“.^[25]

Boltzmann dosáhl úspěchu tím, že ukázal, že druhý zákon termodynamiky je pouze statistickým faktem. Postupné vyřazování energie je analogické s vyřazováním původně objednaného balíček karet pod opakovaným zamícháním a stejně jako se karty konečně vrátí do původního pořadí, pokud zamíchají gigantický počet opakování, tak celý vesmír musí jednoho dne čistou náhodou znovu získat stav, ze kterého se poprvé vydal. (Tato optimistická coda k myšlence umírajícího vesmíru se poněkud ztlumí, když se pokusíme odhadnout časovou osu, která pravděpodobně uplyne, než k ní spontánně dojde.)^[26] Zdá se, že tendence ke zvyšování entropie způsobuje začátečníkům v termodynamice potíže, ale je snadno pochopitelná z hlediska teorie pravděpodobnosti. Zvažte dva obyčejné kostky s oběma šestkami lícem nahoru. Poté, co jsou kostky otřeseny, je šance na nalezení těchto dvou šestek lícem nahoru malá (1 z 36); lze tedy říci, že náhodný pohyb (míchání) kostek, stejně jako chaotické srážky molekul kvůli tepelné energii, způsobí, že se méně pravděpodobný stav změní na ten, který je pravděpodobnější. S miliony kostek, stejně jako miliony atomů zapojených do termodynamických výpočtů, se pravděpodobnost, že budou všechny šestky, stane tak mizivě malou, že systém musí přejít do jednoho z pravděpodobnějších stavů.^[27] Matematicky je však pravděpodobnost, že všechny výsledky kostek nebudou dvojicí šestek, také tvrdá jako u všech šestek^{[Citace je zapotřebí ]}, a protože statisticky data mají tendenci se vyrovnávat, jeden z každých 36 párů kostek bude mít tendenci být párem šestek a karty - když jsou zamíchány - budou někdy představovat určité dočasné pořadí, i když byl balíček narušen.

Ocenění a vyznamenání

V roce 1885 se stal členem císařského Rakouská akademie věd av roce 1887 se stal prezidentem University of Graz. Byl zvolen členem Královská švédská akademie věd v roce 1888 a Zahraniční člen Královské společnosti (ForMemRS) v roce 1899.^[1] Mnoho věcí jsou pojmenovány na jeho počest.

Viz také

• Termodynamika
• Boltzmannův mozek

Reference

Další čtení

• Roman Sexl & John Blackmore (eds.), "Ludwig Boltzmann - Ausgewahlte Abhandlungen", (Ludwig Boltzmann Gesamtausgabe, skupina 8), Vieweg, Braunschweig, 1982.
• John Blackmore (ed.), „Ludwig Boltzmann - Jeho pozdější život a filozofie, 1900–1906, první kniha: Dokumentární historie“, Kluwer, 1995. ISBN  978-0-7923-3231-2
• John Blackmore, „Ludwig Boltzmann - Jeho pozdější život a filozofie, 1900–1906, Kniha druhá: Filozof“, Kluwer, Dordrecht, Nizozemsko, 1995. ISBN  978-0-7923-3464-4
• John Blackmore (ed.), „Ludwig Boltzmann - Troubled Genius as Philosopher“, Synthese, svazek 119, č. 1 a 2, 1999, s. 1–232.
• Blundell, Stephen; Blundell, Katherine M. (2006). Koncepty v tepelné fyzice. Oxford University Press. p. 29. ISBN  978-0-19-856769-1.
• Boltzmann, Ludwig Boltzmann - Leben und Briefe, vyd., Walter Hoeflechner, Akademische Druck- u. Verlagsanstalt. Graz, Oesterreich, 1994
• Brush, Stephen G. (ed. & Tr.), Boltzmann, Přednášky o teorii plynuBerkeley, Kalifornie: U. of California Press, 1964
• Štětec, Stephen G. (ed.), Kinetická teorie, New York: Pergamon Press, 1965
• Štětec, Stephen G. (1970). "Boltzmann". V Charles Coulston Gillispie (ed.). Slovník vědecké biografie. New York: Scribner. ISBN  978-0-684-16962-0.
• Štětec, Stephen G. (1986). Druh pohybu, kterému říkáme teplo: Historie kinetické teorie plynů. Amsterdam: Severní Holandsko. ISBN  978-0-7204-0370-1.
• Cercignani, Carlo (1998). Ludwig Boltzmann: Muž, který důvěřoval atomům. Oxford University Press. ISBN  9780198501541.
• Darrigol, Olivier (2018). Atomy, mechanika a pravděpodobnost: Statistico-Mechanical od Ludwiga Boltzmanna. Oxford University Press. ISBN  978-0-19-881617-1.
• Ehrenfest, P. & Ehrenfest, T. (1911) „Begriffliche Grundlagen der statistischen Auffassung in der Mechanik“, v Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen Pásmo IV, 2. Teil (F. Klein a C. Müller, ed.). Lipsko: Teubner, s. 3–90. Přeloženo jako Koncepční základy statistického přístupu v mechanice. New York: Cornell University Press, 1959. ISBN  0-486-49504-3
• Everdell, William R. (1988). „Problém kontinuity a počátky modernismu: 1870–1913“. Dějiny evropských myšlenek. 9 (5): 531–552. doi:10.1016/0191-6599(88)90001-0.
• Everdell, William R (1997). První moderny. Chicago: University of Chicago Press.
• Gibbs, Josiah Willard (1902). Základní principy statistické mechaniky, vyvinuté se zvláštním důrazem na racionální základy termodynamiky. New York: Synové Charlese Scribnera.
• Johnson, Eric (2018). Úzkost a rovnice: Porozumění Boltzmannově entropii. MIT Press. ISBN  978-0-262-03861-4.
• Klein, Martin J. (1973). „Vývoj Boltzmannův statistických nápadů“. v E.G.D. Cohen; W. Thirring (eds.). Boltzmannova rovnice: teorie a aplikace. Acta physica Austriaca Suppl. 10. Vídeň: Springer. str.53 –106. ISBN  978-0-387-81137-6.
• Lindley, David (2001). Boltzmannův atom: Velká debata, která zahájila revoluci ve fyzice. New York: Free Press. ISBN  978-0-684-85186-0.
• Lotka, A. J. (1922). „Příspěvek k energii vývoje“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 8 (6): 147–51. Bibcode:1922PNAS .... 8..147L. doi:10.1073 / pnas.8.6.147. PMC  1085052. PMID  16576642.
• Meyer, Stefan (1904). Festschrift Ludwig Boltzmann gewidmet zum sechzigsten Geburtstage 20. února 1904 (v němčině). J. A. Barth.
• Planck, max (1914). Teorie tepelného záření. P. Blakiston Son & Co. Anglický překlad Mortona Masiusa z 2. ed. z Waermestrahlung. Přetištěno Doverem (1959) a (1991). ISBN  0-486-66811-8
• Tolman, Richard C. (1938). Principy statistické mechaniky. Oxford University Press. Přetištěno: Dover (1979). ISBN  0-486-63896-0

externí odkazy

• Uffink, Jos (2004). „Boltzmannova práce ve statistické fyzice“. Stanfordská encyklopedie filozofie. Citováno 2007-06-11.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., „Ludwig Boltzmann“, MacTutor Historie archivu matematiky, University of St Andrews.
• Ruth Lewin Sime, Lise Meitner: Život ve fyzice Kapitola jedna: Dětství ve Vídni dává Lise Meitner popis Boltzmannova učení a kariéry.
• Eftekhari, Ali, "Ludwig Boltzmann (1844–1906). „Diskutuje o Boltzmannových filozofických názorech s mnoha citacemi.
• Rajasekar, S .; Athavan, N. (2006-09-07). „Ludwig Edward Boltzmann“. arXiv:fyzika / 0609047.
• Ludwig Boltzmann na Matematický genealogický projekt
• Weisstein, Eric Wolfgang (vyd.). „Boltzmann, Ludwig (1844–1906)“. ScienceWorld.
• Ludwig Boltzmann na Najděte hrob