Carnotova věta (termodynamika) - Carnots theorem (thermodynamics) - Wikipedia

Termodynamika
Klasický Carnotův tepelný motor
Pobočky Klasický Statistický Chemikálie Kvantová termodynamika Rovnováha  / Nerovnováha
Zákony Zeroth za prvé Druhý Třetí
Systémy Stát Stavová rovnice Ideální plyn Skutečný plyn Stav hmoty Rovnováha Ovládejte hlasitost Nástroje Procesy Izobarický Izochorický Izotermický Adiabatický Isentropic Isenthalpic Kvazistatický Polytropní Bezplatná expanze Reverzibilita Nevratnost Endoreversibility Cykly Tepelné motory Tepelná čerpadla Tepelná účinnost
Systémové vlastnosti Poznámka: Konjugujte proměnné v kurzíva Diagramy vlastností Intenzivní a rozsáhlé vlastnosti Procesní funkce Práce Teplo Funkce státu Teplota  / Entropie  (úvod ) Tlak  / Objem Chemický potenciál  / Číslo částice Kvalita páry Snížené vlastnosti
Vlastnosti materiálu Databáze nemovitostí Specifická tepelná kapacita   ${ displaystyle c =}$ ${ displaystyle T}$ ${ displaystyle částečné S}$ ${ displaystyle N}$ ${ displaystyle částečné T}$ Stlačitelnost   ${ displaystyle beta = -}$ ${ displaystyle 1}$ ${ displaystyle částečné V}$ ${ displaystyle V}$ ${ displaystyle částečný p}$ Teplotní roztažnost   ${ displaystyle alpha =}$ ${ displaystyle 1}$ ${ displaystyle částečné V}$ ${ displaystyle V}$ ${ displaystyle částečné T}$
Rovnice Carnotova věta Clausiova věta Základní vztah Zákon o ideálním plynu Maxwellovy vztahy Vzájemné vztahy Onsager Bridgmanovy rovnice Tabulka termodynamických rovnic
Potenciál Energie zdarma Zdarma entropie Vnitřní energie ${ displaystyle U (S, V)}$ Entalpie ${ displaystyle H (S, p) = U + pV}$ Helmholtzova volná energie ${ displaystyle A (T, V) = U-TS}$ Gibbsova volná energie ${ displaystyle G (T, p) = H-TS}$
Dějiny Kultura Dějiny Všeobecné Entropie Zákony o plynu Stroje „Perpetual Motion“ Filozofie Entropie a čas Entropie a život Brownova ráčna Maxwellův démon Paradox smrtelné smrti Loschmidtův paradox Synergetika Teorie Kalorická teorie Teorie tepla Vis viva („živá síla“) Mechanický ekvivalent tepla Hnací síla Klíčové publikace "Experimentální dotaz Co se týče ... tepla " "V rovnováze Heterogenní látky " "Úvahy o Hnací síla ohně " Časové osy Termodynamika Tepelné motory Umění Vzdělávání Maxwellův termodynamický povrch Entropie jako rozptýlení energie
Vědci Bernoulli Boltzmann Carnot Clapeyron Clausius Carathéodory Duhem Gibbs von Helmholtz Joule Maxwell von Mayer Onsager Rankine Smeaton Stahl Thompson Thomson van der Waals Waterston
Rezervovat Kategorie

Carnotova věta, vyvinutý v roce 1824 Nicolas Léonard Sadi Carnot, také zvaný Carnotovo pravidlo, je princip, který specifikuje limity maximální účinnosti tepelný motor může získat. Účinnost motoru Carnot závisí pouze na teplotách horkého a studeného zásobníku.

Carnotova věta říká, že všechny tepelné motory mezi dvěma tepelnými zásobníky jsou méně účinné než a Carnotův tepelný motor pracující mezi stejnými zásobníky. Každý Carnotův tepelný motor mezi dvojicí tepelných zásobníků je stejně účinný, bez ohledu na použitou pracovní látku nebo provozní podrobnosti.

Maximální účinnost je poměr teplotního rozdílu mezi zásobníky a teplotou horkého zásobníku, vyjádřený v rovnici ${ displaystyle eta _ { text {max}} = 1 - { frac {T _ { mathrm {C}}} {T _ { mathrm {H}}}}}$,kde T_C a T_H jsou absolutní teploty studeného a horkého zásobníku a účinnosti ${ displaystyle eta}$ je poměr práce odvedené motorem k teplu odvedenému z horkého zásobníku.

Carnotova věta je důsledkem druhý zákon termodynamiky. Historicky to bylo založeno na současném kalorická teorie, a předcházel ustanovení druhého zákona.^[1]

Důkaz

Nemožná situace: Tepelný motor nemůže řídit méně účinný (reverzibilní) tepelný motor, aniž by porušil druhý zákon termodynamiky.

Důkaz Carnotovy věty je a důkaz rozporem nebo reductio ad absurdum, jak je znázorněno na obrázku zobrazujícím dva tepelné motory pracující mezi dvěma zásobníky o různé teplotě. Tepelný motor s vyšší účinností (${ displaystyle eta _ {M}}$) řídí tepelný motor s nižší účinností (${ displaystyle eta _ {L}}$), což způsobí, že tento bude fungovat jako a tepelné čerpadlo. Tato dvojice motorů nepřijímá žádnou vnější energii a pracuje pouze s energií uvolněnou při přenosu tepla z horkého do studeného zásobníku. Pokud však ${ displaystyle eta _ {M}> eta _ {L}}$, pak by čistý tok tepla byl zpět, tj. do horkého zásobníku:

${ displaystyle Q _ { text {hot}} ^ { text {out}} = Q <{ frac { eta _ {M}} { eta _ {L}}} Q = Q _ { text {hot }} ^ { text {in}}.}$

Panuje všeobecná shoda, že je to nemožné, protože to porušuje druhý zákon termodynamiky.

Začneme ověřením hodnot práce a tepelného toku zobrazených na obrázku. Nejprve musíme upozornit na důležité upozornění: motor s nižší účinností (${ displaystyle eta _ {L}}$) je poháněno jako tepelné čerpadlo, a proto musí být a reverzibilní motor.^{[Citace je zapotřebí ]} Pokud je méně účinný motor (${ displaystyle eta _ {L}}$) není reverzibilní, pak by bylo možné zařízení postavit, ale výrazy pro práci a tok tepla zobrazené na obrázku by nebyly platné.

Omezením naší diskuse na případy, kdy engine (${ displaystyle eta _ {L}}$) má nižší účinnost než motor (${ displaystyle eta _ {M}}$), jsme schopni zjednodušit notaci přijetím konvence, že všechny symboly, ${ displaystyle Q}$ a ${ displaystyle W}$ zastupovat nezáporné množství (protože směr toku energie se nikdy nezmění znaménko ve všech případech, kdy ${ displaystyle eta _ {L} leqslant eta _ {M}}$). Zachování energetické náročnosti, že pro každý motor, energie, která vstupuje, ${ displaystyle E_ {in}}$, musí se rovnat energii, která vystupuje, ${ displaystyle E_ {out}}$:

${ displaystyle E _ { text {in}} ^ {M} = Q = (1- eta _ {M}) Q + eta _ {M} Q = E _ { text {out}} ^ {M}, }$

${ displaystyle E _ { text {in}} ^ {L} = eta _ {M} Q + eta _ {M} Q doleva ({ frac {1} { eta _ {L}}} - 1 right) = { frac { eta _ {M}} { eta _ {L}}} Q = E _ { text {out}} ^ {L},}$

Obrázek je rovněž v souladu s definicí účinnost tak jako ${ displaystyle eta = W / Q_ {h}}$ pro oba motory:

${ displaystyle eta _ {M} = { frac {W_ {M}} {Q_ {h} ^ {M}}} = { frac { eta _ {M} Q} {Q}} = eta _ {M},}$

${ displaystyle eta _ {L} = { frac {W_ {L}} {Q_ {h} ^ {L}}} = { frac { eta _ {M} Q} {{ frac { eta _ {M}} { eta _ {L}}} Q}} = eta _ {L}.}$

Může se zdát zvláštní, že se k porušení druhého termodynamického zákona používá hypotetické tepelné čerpadlo s nízkou účinností, ale hodnota zásluh pro chladicí jednotky není účinnost, ${ displaystyle W / Q_ {h}}$, ale Koeficient výkonu (POLICAJT),^[2]který je ${ displaystyle Q_ {c} / W}$. Reverzibilní tepelný motor s nízkou termodynamickou účinností, ${ displaystyle W / Q_ {h}}$ dodává více tepla do horkého zásobníku pro dané množství práce, když je poháněn jako tepelné čerpadlo.

Po zjištění, že hodnoty tepelného toku zobrazené na obrázku jsou správné, lze Carnotovu větu dokázat pro nevratné a reverzibilní tepelné motory.^[3]

Oboustranné motory

Je vidět, že každý reverzibilní motor pracuje mezi nádržemi ${ displaystyle T_ {1}}$ a ${ displaystyle T_ {2}}$ musí mít stejnou účinnost, předpokládejme, že dva reverzibilní tepelné motory mají různé hodnoty ${ displaystyle eta}$a nechte účinnější motor (M) pohánět méně účinný motor (L) jako tepelné čerpadlo. Jak ukazuje obrázek, způsobí to tok tepla z chladu do horkého zásobníku bez jakékoli vnější práce nebo energie, což porušuje druhý zákon termodynamiky. Oba (reverzibilní) tepelné motory proto mají stejnou účinnost a dospěli jsme k závěru, že:

Všechny reverzibilní motory, které pracují mezi stejnými dvěma zásobníky tepla, mají stejnou účinnost.

To je důležitý výsledek, protože pomáhá založit Clausiova věta, což znamená, že změna v entropie je jedinečný pro všechny reverzibilní procesy.,^[4]

${ displaystyle Delta S = int _ {a} ^ {b} { frac {dQ _ { text {rev}}} {T}},}$

přes všechny cesty (od A na b v V-T prostor). Pokud by tento integrál nebyl nezávislý na cestě, entropie, S, by ztratila svůj status jako stavová proměnná.^[5]

Nevratné motory

Pokud je jeden z motorů nevratný, musí to být motor (M), umístěný tak, aby zpátečku poháněl méně účinný, ale reverzibilní (L) motor. Pokud je však tento nevratný motor účinnější než reverzibilní motor, (tj. Pokud ${ displaystyle eta _ {M}> eta _ {L}}$), pak je porušen druhý zákon termodynamiky. A protože Carnotův cyklus představuje reverzibilní motor, máme první část Carnotovy věty:

Žádný nevratný motor není účinnější než motor Carnot, který pracuje mezi stejnými dvěma nádržemi.

Definice termodynamické teploty

Účinnost motoru je práce dělená teplem přiváděným do systému nebo

${ displaystyle eta = { frac {w_ {cy}} {q_ {H}}} = { frac {q_ {H} -q_ {C}} {q_ {H}}} = 1 - { frac {q_ {C}} {q_ {H}}}}$

(1)

kde w_cy je práce odvedená za cyklus. Účinnost tedy závisí pouze na q_C/ q_H.

Protože všechny reverzibilní motory pracující mezi stejnými zásobníky tepla jsou stejně účinné, všechny reverzibilní tepelné motory pracující mezi teplotami T₁ a T₂ musí mít stejnou účinnost, což znamená, že účinnost je funkcí pouze dvou teplot:

${ displaystyle { frac {q_ {C}} {q_ {H}}} = f (T_ {H}, T_ {C})}$

(2)

Kromě toho reverzibilní tepelný motor pracující mezi teplotami T₁ a T₃ musí mít stejnou účinnost jako ten, který se skládá ze dvou cyklů, jeden mezi T₁ a další (střední) teplota T₂a druhý mezi T₂ a T₃. To může být pouze v případě, že

${ displaystyle f (T_ {1}, T_ {3}) = { frac {q_ {3}} {q_ {1}}} = { frac {q_ {2} q_ {3}} {q_ {1 } q_ {2}}} = f (T_ {1}, T_ {2}) f (T_ {2}, T_ {3}).}$

Specializace na případ, že ${ displaystyle T_ {1}}$ je pevná referenční teplota: teplota trojného bodu vody. Pak pro všechny T₂ a T₃,

${ displaystyle f (T_ {2}, T_ {3}) = { frac {f (T_ {1}, T_ {3})} {f (T_ {1}, T_ {2})}} = { frac {273.16 cdot f (T_ {1}, T_ {3})} {273.16 cdot f (T_ {1}, T_ {2})}}}}$

Proto, pokud je termodynamická teplota definována

${ displaystyle T = 273,16 cdot f (T_ {1}, T) ,}$

pak funkce považovaná za funkci termodynamické teploty je

${ displaystyle f (T_ {2}, T_ {3}) = { frac {T_ {3}} {T_ {2}}},}$

a referenční teplota T₁ má hodnotu 273,16. (Samozřejmě lze použít jakoukoli referenční teplotu a libovolnou kladnou číselnou hodnotu - volba zde odpovídá Kelvin měřítko.)

Z toho okamžitě vyplývá

${ displaystyle { frac {q_ {C}} {q_ {H}}} = f (T_ {H}, T_ {C}) = { frac {T_ {C}} {T_ {H}}}}$

(3)

Nahrazení rovnice 3 zpět do rovnice 1 udává vztah pro účinnost z hlediska teploty:

${ displaystyle eta = 1 - { frac {q_ {C}} {q_ {H}}} = 1 - { frac {T_ {C}} {T_ {H}}}}$

(4)

Použitelnost pro palivové články a baterie

Od té doby palivové články a baterie může generovat užitečný výkon, když jsou všechny součásti systému stejné teploty (${ displaystyle T = T_ {H} = T_ {C}}$), zjevně nejsou omezeni Carnotovou větou, která uvádí, že když nelze generovat žádnou energii ${ displaystyle T_ {H} = T_ {C}}$. Je to proto, že Carnotova věta platí pro motory, které přeměňují tepelnou energii na práci, zatímco palivové články a baterie místo toho přeměňují chemickou energii na práci.^[6] Nicméně druhý zákon termodynamiky stále poskytuje omezení přeměny energie palivových článků a baterie.^[7]

Reference