Heisenbergův model (kvantový) - Heisenberg model (quantum)

The Heisenbergův model, vyvinutý uživatelem Werner Heisenberg, je statistická mechanická Modelka použitý při studiu kritické body a fázové přechody magnetických systémů, ve kterých točí se magnetických systémů kvantově mechanicky. Souvisí to s prototypem Isingův model, kde na každém místě mřížky je rotace ${displaystyle sigma _ {i} za {pm 1}}$ představuje mikroskopický magnetický dipól, ke kterému je magnetický moment buď nahoře nebo dole. Kromě vazby mezi magnetickými dipólovými momenty existuje také multipolární verze Heisenbergova modelu zvaná multipolární výměnná interakce.

Přehled

Kvantově mechanické důvody (viz výměna interakce nebo Magnetismus § Kvantově-mechanický původ magnetismu ), dominantní vazba mezi dvěma dipóly může způsobit, že nejbližší sousedé mají nejnižší energii, když jsou zarovnaný. Za tohoto předpokladu (aby magnetické interakce probíhaly pouze mezi sousedními dipóly) a na jednorozměrné periodické mřížce Hamiltonian lze napsat ve formě

${displaystyle {hat {H}} = - Jsum _ {j = 1} ^ {N} sigma _ {j} sigma _ {j + 1} -hsum _ {j = 1} ^ {N} sigma _ {j} }$

kde ${displaystyle J}$ je vazební konstanta a dipóly jsou reprezentovány klasickými vektory (neboli spiny) σ_j, s výhradou periodické okrajové podmínky ${displaystyle sigma _ {N + 1} = sigma _ {1}}$. Heisenbergův model je realističtějším modelem v tom, že zachází se spiny kvantově-mechanicky nahrazením spinu kvantový operátor působící na tenzorový produkt ${displaystyle (mathbb {C} ^ {2}) ^ {často N}}$, dimenze ${displaystyle 2 ^ {N}}$. Chcete-li to definovat, připomeňte si Pauli spin-1/2 matice

${displaystyle sigma ^ {x} = {egin {pmatrix} 0 & 1 1 & 0end {pmatrix}}}$

${displaystyle sigma ^ {y} = {egin {pmatrix} 0 & -i i & 0end {pmatrix}}}$

${displaystyle sigma ^ {z} = {egin {pmatrix} 1 & 0 0 & -1end {pmatrix}}}$

a pro ${displaystyle 1leq jleq N}$ a ${displaystyle ain {x, y, z}}$ označit ${displaystyle sigma _ {j} ^ {a} = I ^ {otimes j-1} otimes sigma ^ {a} otimes I ^ {otimes N-j}}$, kde ${displaystyle I}$ je ${displaystyle 2 imes 2}$ matice identity. Je dán výběr spojovacích konstant se skutečnou hodnotou ${displaystyle J_ {x}, J_ {y},}$ a ${displaystyle J_ {z}}$, Hamiltonián je dán

${displaystyle {hat {H}} = - {frac {1} {2}} součet _ {j = 1} ^ {N} (J_ {x} sigma _ {j} ^ {x} sigma _ {j + 1 } ^ {x} + J_ {y} sigma _ {j} ^ {y} sigma _ {j + 1} ^ {y} + J_ {z} sigma _ {j} ^ {z} sigma _ {j + 1 } ^ {z} + hsigma _ {j} ^ {z})}$

Kde ${displaystyle h}$ na pravé straně označuje vnější magnetické pole, s periodickými okrajové podmínky Cílem je určit spektrum hamiltoniánů, ze kterých funkce oddílu lze vypočítat a termodynamika systému lze studovat.

Je běžné pojmenovat model v závislosti na hodnotách ${displaystyle J_ {x}}$, ${displaystyle J_ {y}}$ a ${displaystyle J_ {z}}$: pokud ${displaystyle J_ {x} eq J_ {y} eq J_ {z}}$, model se nazývá model Heisenberg XYZ; v případě ${displaystyle J = J_ {x} = J_ {y} eq J_ {z} = Delta}$, to je Model Heisenberg XXZ; -li ${displaystyle J_ {x} = J_ {y} = J_ {z} = J}$, jedná se o model Heisenberg XXX. Spin 1/2 Heisenbergův model v jedné dimenzi lze vyřešit přesně pomocí Bethe ansatz.^[1] V algebraické formulaci se tyto vztahují ke konkrétním Kvantové afinní algebry a Eliptická kvantová skupina v případech XXZ a XYZ.^[2] Jiné přístupy tak činí bez Bethe ansatz.^[3]

Fyzika modelu Heisenberg XXX silně závisí na znaménku vazebné konstanty${displaystyle J}$ a rozměr prostoru. Pro pozitivní ${displaystyle J}$ základní stav je vždy feromagnetický. Negativní ${displaystyle J}$ základní stav je antiferomagnetický ve dvou a třech rozměrech.^[4] V jedné dimenzi závisí povaha korelací v antiferomagnetickém Heisenbergově modelu na rotaci magnetických dipólů. Pokud je rotace celé číslo, pak pouze objednávka krátkého dosahu Je přítomen systém otočení napůl celého čísla kvazi-dlouhý rozsah objednávky.

Zjednodušená verze Heisenbergova modelu je jednorozměrný Isingův model, kde je příčné magnetické pole ve směru x a interakce je pouze ve směru z:

${displaystyle {hat {H}} = - J_ {z} součet _ {j = 1} ^ {N} sigma _ {j} ^ {z} sigma _ {j + 1} ^ {z} -gJ_ {z} součet _ {j = 1} ^ {N} sigma _ {j} ^ {x}}$

U malého g a velkého g je degenerace základního stavu odlišná, což znamená, že mezi nimi musí existovat kvantový fázový přechod. Lze jej vyřešit přesně pro kritický bod pomocí analýzy duality.^[5] Přechod duality Pauliho matic je ${displaystyle sigma _ {i} ^ {z} = prod _ {jleq i} S_ {j} ^ {x}}$ a ${displaystyle sigma _ {i} ^ {x} = S_ {i} ^ {z} S_ {i + 1} ^ {z}}$, kde ${displaystyle S ^ {x}}$ a ${displaystyle S ^ {z}}$ jsou také Pauliho matice, které se řídí Pauliho maticovou algebrou. Za periodických okrajových podmínek může být transformovaný Hamiltonian zobrazen ve velmi podobné formě:

${displaystyle {hat {H}} = - gJ_ {z} součet _ {j = 1} ^ {N} S_ {j} ^ {z} S_ {j + 1} ^ {z} -J_ {z} součet _ {j = 1} ^ {N} S_ {j} ^ {x}}$

ale pro ${displaystyle g}$ připojený k termínu interakce s rotací. Za předpokladu, že existuje pouze jeden kritický bod, můžeme usoudit, že fázový přechod nastává v ${displaystyle g = 1}$.

Aplikace

• Dalším důležitým objektem je zapletená entropie. Jedním ze způsobů, jak to popsat, je rozdělit jedinečný základní stav na blok (několik postupných otočení) a prostředí (zbytek základního stavu). Entropii bloku lze považovat za entropii entanglementu. Při nulové teplotě v kritické oblasti (termodynamický limit) se logaritmicky upravuje podle velikosti bloku. Jak teplota stoupá, logaritmická závislost se mění na lineární funkci.^[6] U velkých teplot vyplývá lineární závislost z druhý zákon termodynamiky.

• Heisenbergův model poskytuje důležitý a přitažlivý teoretický příklad pro aplikaci Renormalizace matice hustoty.

• The model šesti vrcholů lze vyřešit pomocí Algebraic Bethe Ansatz pro Heisenbergův spinový řetězec (viz Baxter, „Přesně vyřešené modely ve statistické mechanice“).

• Napůl naplněný Hubbardův model v mezích silných odpudivých interakcí lze mapovat na Heisenbergův model s ${displaystyle J <0}$ představující sílu superexchange interakce.

Viz také

• Klasický Heisenbergův model
• DMRG modelu Heisenberg
• Model kvantového rotoru
• model t-J
• Model J1 J2
• Majumdar – Ghosh model
• Model AKLT
• Multipolární výměna interakce

Reference

• R.J. Baxter, Přesně řešené modely ve statistické mechanice, London, Academic Press, 1982
• Heisenberg, W. (1. září 1928). „Zur Theorie des Ferromagnetismus“ [O teorii feromagnetismu]. Zeitschrift für Physik (v němčině). 49 (9): 619–636. Bibcode:1928ZPhy ... 49..619H. doi:10.1007 / BF01328601. S2CID  122524239.
• Bethe, H. (1. března 1931). „Zur Theorie der Metalle“ [O teorii kovů]. Zeitschrift für Physik (v němčině). 71 (3): 205–226. Bibcode:1931ZPhy ... 71..205B. doi:10.1007 / BF01341708. S2CID  124225487.

Poznámky