Hilbertův prostor - Hilbert space

Stav a vibrační struna lze modelovat jako bod v Hilbertově prostoru. Rozklad vibrující struny na její vibrace zřetelně podtexty je dáno projekcí bodu do souřadnicových os v prostoru.

The matematický koncept a Hilbertův prostor, pojmenoval podle David Hilbert, zobecňuje pojem Euklidovský prostor. Rozšiřuje metody vektorová algebra a počet z dvojrozměrného Euklidovské letadlo a trojrozměrný prostor do prostorů s jakýmkoli konečným nebo nekonečným počtem rozměry. Hilbertův prostor je abstrakt vektorový prostor vlastnit struktura z vnitřní produkt který umožňuje měření délky a úhlu. Kromě toho jsou Hilbertovy prostory kompletní: je jich dost limity v prostoru, aby bylo možné použít techniky kalkulu.

Hilbertovy prostory vznikají přirozeně a často v matematika a fyzika, typicky jako nekonečně-dimenzionální funkční prostory. Nejstarší Hilbertovy prostory byly z tohoto pohledu studovány v první dekádě 20. století autorem David Hilbert, Erhard Schmidt, a Frigyes Riesz. Jsou nepostradatelnými nástroji v teoriích parciální diferenciální rovnice, kvantová mechanika, Fourierova analýza (který zahrnuje aplikace pro zpracování signálu a přenos tepla) a ergodická teorie (který tvoří matematický základ termodynamika ). John von Neumann vytvořil termín Hilbertův prostor pro abstraktní koncept, který je základem mnoha z těchto rozmanitých aplikací. Úspěch Hilbertových vesmírných metod zahájil velmi plodnou éru roku funkční analýza. Kromě klasických euklidovských prostorů patří i příklady Hilbertových prostorů prostory funkcí integrovatelných do čtverců, mezery sekvencí, Sobolevovy prostory skládající se z zobecněné funkce, a Odolné prostory z holomorfní funkce.

Geometrická intuice hraje důležitou roli v mnoha aspektech Hilbertovy teorie prostoru. Přesné analogy Pythagorova věta a paralelogramový zákon držte se v Hilbertově prostoru. Na hlubší úrovni kolmá projekce na podprostor (analogpokles nadmořské výšky „trojúhelníku) hraje významnou roli při optimalizačních problémech a dalších aspektech teorie. Prvek Hilbertovho prostoru lze jednoznačně specifikovat jeho souřadnicemi s ohledem na množinu souřadnicové osy (an ortonormální základ ), analogicky s Kartézské souřadnice v letadle. Když ta osa je počítatelně nekonečný, Hilbertův prostor lze také užitečně vymyslet z hlediska prostoru nekonečné sekvence to jsou čtvercový součet. Druhý prostor je ve starší literatuře často označován jako the Hilbertův prostor. Lineární operátory na Hilbertově prostoru jsou také docela konkrétní objekty: v dobrých případech se jedná pouze o transformace, které roztahují prostor různými faktory ve vzájemně kolmých směrech ve smyslu, který je přesný studiem jejich spektrum.

Definice a ilustrace

Motivující příklad: Euklidovský vektorový prostor

Jedním z nejznámějších příkladů Hilbertova prostoru je Euklidovský vektorový prostor skládající se z trojrozměrného vektory, označeno ℝ³a vybavené Tečkovaný produkt. Tečkový produkt má dva vektory X a ya produkuje reálné číslo X · y. Li X a y jsou zastoupeny v Kartézské souřadnice, pak je bodový produkt definován

${displaystyle {egin {pmatrix} x_ {1} x_ {2} x_ {3} konec {pmatrix}} cdot {egin {pmatrix} y_ {1} y_ {2} y_ {3} konec {pmatrix} } = x_ {1} y_ {1} + x_ {2} y_ {2} + x_ {3} y_ {3} ,.}$

Tečkovaný produkt splňuje vlastnosti:

1. Je symetrický v X a y: X · y = y · X.
2. to je lineární ve svém prvním argumentu: (AX₁ + bX₂) · y = AX₁ · y + bX₂ · y pro všechny skaláry A, ba vektory X₁, X₂, a y.
3. to je pozitivní určitý: pro všechny vektory X, X · X ≥ 0 , s rovností kdyby a jen kdyby X = 0.

Operace na párech vektorů, které, stejně jako bodový produkt, splňují tyto tři vlastnosti, je známá jako (skutečná) vnitřní produkt. A vektorový prostor vybavené takovým vnitřním produktem je známé jako (skutečné) vnitřní produktový prostor. Každý konečný rozměrný vnitřní produktový prostor je také Hilbertovým prostorem. Základní vlastností tečkového produktu, který jej spojuje s euklidovskou geometrií, je to, že souvisí s délkou (nebo norma ) vektoru, označeného ||X||, a do úhlu θ mezi dvěma vektory X a y pomocí vzorce

${displaystyle mathbf {x} cdot mathbf {y} = | mathbf {x} |, | mathbf {y} |, cos heta,.}$

Úplnost znamená, že pokud se částice pohybuje po rozbité cestě (modře) a cestuje po konečné celkové vzdálenosti, pak má částice dobře definované čistý výtlak (oranžově).

Počet proměnných v euklidovském prostoru spoléhá na schopnost počítat limity, a mít užitečná kritéria pro závěr, že limity existují. A matematická řada

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} mathbf {x} _ {n}}$

skládající se z vektorů v ℝ³ je absolutně konvergentní za předpokladu, že součet délek konverguje jako běžná řada reálných čísel:^[1]

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} | mathbf {x} _ {k} |$

Stejně jako u řady skalárů i řada vektorů, které absolutně konvergují, konverguje k nějakému limitnímu vektoru L v euklidovském prostoru v tom smyslu

${displaystyle left | mathbf {L} -sum _ {k = 0} ^ {N} mathbf {x} _ {k} noc | o mathbf {0} quad {ext {as}} N o infty,.}$

Tato vlastnost vyjadřuje úplnost euklidovského prostoru: že řada, která konverguje absolutně, konverguje také v běžném smyslu.

Hilbertovy prostory jsou často převzaty komplexní čísla. The složité letadlo označeno ℂ je vybaven pojmem velikost, komplexní modul |z| který je definován jako druhá odmocnina produktu z z s jeho komplexní konjugát:

${displaystyle | z | ^ {2} = z {overline {z}} ,.}$

Li z = X + iy je rozklad z do jeho skutečné a imaginární části, pak modul je obvyklá euklidovská dvourozměrná délka:

${displaystyle | z | = {sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} ,.}$

Vnitřní součin dvojice komplexních čísel z a w je produktem z s komplexním konjugátem w:

${displaystyle langle z, wangle = z {overline {w}} ,.}$

To má komplexní hodnotu. Skutečná část ⟨z, w⟩ dává obvyklý dvojrozměrný euklidovský Tečkovaný produkt.

Druhým příkladem je prostor ℂ² jejichž prvky jsou dvojice komplexních čísel z = (z₁, z₂). Pak vnitřní produkt z s jiným takovým vektorem w = (w₁, w₂) darováno

${displaystyle langle z, wangle = z_ {1} {overline {w_ {1}}} + z_ {2} {overline {w_ {2}}} ,.}$

Skutečná část ⟨z, w⟩ je pak dvourozměrný euklidovský součinový produkt. Tento vnitřní produkt je Hermitian symetrický, což znamená, že je výsledkem záměny z a w je komplexní konjugát:

${displaystyle langle w, zangle = {overline {langle z, wangle}} ,.}$

Definice

A Hilbertův prostor H je nemovitý nebo komplex vnitřní produktový prostor to je také a kompletní metrický prostor s ohledem na funkci vzdálenosti indukovanou vnitřním produktem.^[2]

To říct H je komplexní vnitřní produktový prostor znamená, že H je komplexní vektorový prostor, ve kterém je vnitřní produkt ⟨X, y⟩ přiřazení komplexního čísla každé dvojici prvků X, y z H který splňuje následující vlastnosti:

1. Vnitřní produkt je konjugovaný symetrický; to znamená, že vnitřní produkt dvojice prvků se rovná komplexní konjugát vnitřního produktu vyměněných prvků:

   ${displaystyle langle y, xangle = {overline {langle x, yangle}} ,.}$

2. Vnitřní produkt je lineární ve své první^{[pozn. 1]} argument. Pro všechna komplexní čísla A a b,

   ${displaystyle langle ax_ {1} + bx_ {2}, yangle = alangle x_ {1}, yangle + blangle x_ {2}, yangle,.}$

3. Vnitřní produkt prvku sám se sebou je pozitivní určitý:

   ${displaystyle {egin {cases} langle x, xangle> 0 & xeq 0 langle x, xangle = 0 & x = 0, .end {cases}}}$

Z vlastností 1 a 2 vyplývá, že je to komplexní vnitřní produkt konjugát lineární ve svém druhém argumentu, což znamená

${displaystyle langle x, ay_ {1} + by_ {2} angle = {ar {a}} langle x, y_ {1} úhel + {ar {b}} langle x, y_ {2} úhel,.}$

A skutečný vnitřní produktový prostor je definován stejným způsobem, kromě toho H je skutečný vektorový prostor a vnitřní produkt má skutečné hodnoty. Takovým vnitřním produktem bude a bilineární mapa a (H, H, ⟨ ⋅, ⋅⟩) vytvoří a duální systém.^[3]

The norma je funkce se skutečnou hodnotou

${displaystyle | x | = {sqrt {langle x, xangle}} ,,}$

a vzdálenost d mezi dvěma body X, y v H je definován v podmínkách normy

${displaystyle d (x, y) = | x-y | = {sqrt {langle x-y, x-yangle}} ,.}$

To, že tato funkce je funkcí vzdálenosti, znamená za prvé, že je symetrická X a y, za druhé, že vzdálenost mezi X a sám je nula, a jinak vzdálenost mezi X a y musí být pozitivní a nakonec, že nerovnost trojúhelníku drží, což znamená, že délka jedné nohy trojúhelníku xyz nemůže překročit součet délek ostatních dvou nohou:

${displaystyle d (x, z) leq d (x, y) + d (y, z) ,.}$

Tato poslední vlastnost je nakonec důsledkem toho zásadnějšího Cauchy – Schwarzova nerovnost, který tvrdí

${displaystyle {igl |} langle x, yangle {igr |} leq | x |, | y |}$

s rovností právě tehdy X a y jsou lineárně závislé.

S takto definovanou funkcí vzdálenosti je jakýkoli vnitřní prostor produktu a metrický prostor, a někdy se označuje jako a předhilbertský prostor.^[4] Jakýkoli prostor před Hilbertem, který je navíc také a kompletní vesmír je Hilbertův prostor.

The úplnost z H je vyjádřena pomocí formy Cauchyho kritérium pro sekvence v H: předhilbertský prostor H je kompletní, pokud každý Cauchyova posloupnost konverguje s ohledem na tuto normu k prvku v prostoru. Úplnost lze charakterizovat následující ekvivalentní podmínkou: je-li řada vektorů

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} u_ {k}}$

absolutně konverguje V tom smyslu, že

${displaystyle sum _ {k = 0} ^ {infty} | u_ {k} |$

pak se řada sblíží H, v tom smyslu, že dílčí součty konvergují k prvku H.

Jako úplný normovaný prostor jsou Hilbertovy prostory podle definice také Banachovy prostory. Jako takové jsou topologické vektorové prostory, ve kterém topologické pojmy jako otevřenost a uzavřenost podmnožin je dobře definováno. Zvláštní význam má pojem uzavřeného lineární podprostor Hilbertova prostoru, který s vnitřním produktem vyvolaným omezením, je také úplný (je uzavřenou množinou v úplném metrickém prostoru), a proto je Hilbertův prostor sám o sobě.

Druhý příklad: posloupnosti mezer

The sekvenční prostor l² skládá se ze všeho nekonečné sekvence z = (z₁, z₂, …) komplexních čísel tak, že série

${displaystyle sum _ {n = 1} ^ {infty} | z_ {n} | ^ {2}}$

konverguje. Vnitřní produkt zapnutý l² je definováno

${displaystyle langle mathbf {z}, mathbf {w} angle = sum _ {n = 1} ^ {infty} z_ {n} {overline {w_ {n}}} ,,}$

s druhou řadou konvergující v důsledku Cauchy – Schwarzova nerovnost.

Úplnost prostoru drží za předpokladu, že kdykoli řada prvků z l² konverguje absolutně (v normě), pak konverguje na prvek l². Důkaz je základní v matematická analýza a umožňuje manipulaci s matematickou řadou prvků prostoru se stejnou lehkostí jako s řadou komplexních čísel (nebo vektorů v konečněrozměrném euklidovském prostoru).^[5]

Dějiny

David Hilbert

Před vývojem Hilbertových prostorů bylo známo další zobecnění euklidovských prostorů matematici a fyzici. Zejména myšlenka abstraktní lineární prostor (vektorový prostor) získal určitou trakci na konci 19. století:^[6] toto je prostor, jehož prvky lze sčítat a vynásobit skaláry (např nemovitý nebo komplexní čísla ), aniž by bylo nutné tyto prvky identifikovat "geometrické" vektory, jako jsou vektory polohy a hybnosti ve fyzických systémech. Další objekty studované matematiky na přelomu 20. století, zejména prostory sekvence (počítaje v to série ) a mezery funkcí,^[7] lze přirozeně považovat za lineární prostory. Například funkce lze sčítat nebo vynásobit konstantními skaláry a tyto operace se řídí algebraickými zákony uspokojenými sčítáním a skalárním násobením prostorových vektorů.

V prvním desetiletí 20. století vedl paralelní vývoj k zavedení Hilbertových prostor. Prvním z nich bylo pozorování, které vzniklo během David Hilbert a Erhard Schmidt studie o integrální rovnice,^[8] ty dva čtvercově integrovatelný funkce se skutečnou hodnotou F a G v intervalu [A, b] mít vnitřní produkt

${displaystyle langle f, gangle = int _ {a} ^ {b} f (x) g (x), mathrm {d} x}$

který má mnoho známých vlastností euklidovského tečkového produktu. Zejména myšlenka ortogonální rodina funkcí má význam. Schmidt využil podobnosti tohoto vnitřního produktu s obvyklým tečkovým produktem, aby dokázal analog svého produktu spektrální rozklad pro operátora formuláře

${displaystyle f (x) mapsto int _ {a} ^ {b} K (x, y) f (y), mathrm {d} y}$

kde K. je spojitá funkce symetrická v X a y. Výsledný rozšíření vlastních funkcí vyjadřuje funkci K. jako série formuláře

${displaystyle K (x, y) = součet _ {n} lambda _ {n} varphi _ {n} (x) varphi _ {n} (y)}$

kde funkce φ_n jsou kolmé v tom smyslu, že ⟨φ_nφ_m⟩ = 0 pro všechny n ≠ m. Jednotlivé výrazy v této sérii jsou někdy označovány jako základní produktová řešení. Existují však rozšíření vlastních funkcí, která ve vhodném smyslu nekonvergují na funkci integrovatelnou do čtverce: chybějící složkou, která zajišťuje konvergenci, je úplnost.^[9]

Druhým vývojem byl Lebesgueův integrál, alternativa k Riemannův integrál představil Henri Lebesgue v roce 1904.^[10] Lebesgueův integrál umožnil integrovat mnohem širší třídu funkcí. V roce 1907 Frigyes Riesz a Ernst Sigismund Fischer nezávisle prokázal, že prostor L² čtvercových Lebesgue integrovatelných funkcí je a kompletní metrický prostor.^[11] V důsledku souhry mezi geometrií a úplností byly výsledky 19. století Joseph Fourier, Friedrich Bessel a Marc-Antoine Parseval na trigonometrická řada snadno přeneseny do těchto obecnějších prostorů, což má za následek geometrický a analytický přístroj nyní obvykle známý jako Riesz – Fischerova věta.^[12]

Další základní výsledky byly prokázány na počátku 20. století. Například Rieszova věta o reprezentaci byla nezávisle založena Maurice Fréchet a Frigyes Riesz v roce 1907.^[13] John von Neumann vytvořil termín abstraktní Hilbertův prostor ve své práci bez hranic Hermitovské operátory.^[14] Ačkoli jiní matematici jako např Hermann Weyl a Norbert Wiener již podrobně studoval konkrétní Hilbertovy prostory, často z fyzicky motivovaného hlediska, von Neumann s nimi provedl první úplné a axiomatické zacházení.^[15] Von Neumann je později použil ve své klíčové práci o základech kvantové mechaniky,^[16] a v jeho pokračující práci s Eugene Wigner. Název „Hilbertův prostor“ si brzy osvojili i ostatní, například Hermann Weyl ve své knize o kvantové mechanice a teorii grup.^[17]

Význam konceptu Hilbertova prostoru byl podtržen s vědomím, že nabízí jeden z nejlepších matematické formulace kvantové mechaniky.^[18] Stručně řečeno, stavy kvantové mechanické soustavy jsou vektory v určitém Hilbertově prostoru, pozorovatelné jsou poustevnické operátory v tomto prostoru symetrie systému jsou nečleněné operátory, a Měření jsou ortogonální projekce. Vztah mezi kvantově mechanickými symetriemi a jednotnými operátory poskytl impuls pro rozvoj unitární teorie reprezentace z skupiny, zahájený v roce 1928 dílem Hermanna Weyla.^[17] Na druhé straně na počátku 30. let vyšlo najevo, že klasickou mechaniku lze popsat v pojmech Hilbertova prostoru (Koopman – von Neumann klasická mechanika ) a že určité vlastnosti klasické dynamické systémy lze analyzovat pomocí Hilbertových vesmírných technik v rámci ergodická teorie.^[19]

Algebra z pozorovatelné v kvantové mechanice je přirozeně algebra operátorů definovaných v Hilbertově prostoru, podle Werner Heisenberg je maticová mechanika formulace kvantové teorie. Von Neumann začal vyšetřovat operátorské algebry ve třicátých letech, as prsteny operátorů na Hilbertově prostoru. Druh algebry studovaný von Neumannem a jeho současníky je nyní známý jako von Neumannovy algebry. Ve 40. letech Izrael Gelfand, Mark Naimark a Irving Segal dal definici jakési operátorské algebry zvané C * -algebry to na jedné straně nijak nehovořilo o podkladovém Hilbertově prostoru a na druhé extrapolovalo mnoho užitečných funkcí operátorových algeber, které byly dříve studovány. Spektrální věta pro operátory se samostatným přidružením, která je základem většiny existujících Hilbertových teorií prostoru, byla zobecněna na C * -algebry. Tyto techniky jsou nyní základní v teorii abstraktní harmonické analýzy a reprezentace.

Příklady

Lebesgueovy prostory

Lebesgueovy prostory jsou funkční prostory spojené s změřte mezery (X, M, μ), kde X je sada, M je σ-algebra podskupin X, a μ je spočítatelné aditivní opatření na M. Nechat L²(X, μ) být prostorem těchto měřitelných funkcí se složitou hodnotou X pro které Lebesgueův integrál náměstí náměstí absolutní hodnota funkce je konečná, tj. pro funkci F v L²(X, μ),

${displaystyle int _ {X} | f | ^ {2} mathrm {d} mu$

a kde jsou identifikovány funkce právě tehdy, když se liší pouze na a sada nulové míry.

Vnitřní produkt funkcí F a G v L²(X, μ) je pak definována jako

${displaystyle langle f, gangle = int _ {X} f (t) {overline {g (t)}}, mathrm {d} mu (t)}$ nebo ${displaystyle int _ {X} {overline {f (t)}} g (t), mathrm {d} mu (t) ,,}$

kde druhá forma (konjugace prvního prvku) se běžně vyskytuje v literatuře teoretické fyziky. Pro F a G v L², integrál existuje kvůli Cauchy-Schwarzově nerovnosti a definuje vnitřní součin v prostoru. Vybaven tímto vnitřním produktem, L² je ve skutečnosti kompletní.^[20] Lebesgueův integrál je nezbytný pro zajištění úplnosti: například v doménách reálných čísel není dostatek funkcí Riemann integrovatelný.^[21]

Lebesgueovy prostory se objevují v mnoha přirozených podmínkách. Mezery L²(ℝ) a L²([0,1]) čtvercových integrovatelných funkcí s ohledem na Lebesgueovo opatření na reálném řádku a jednotkovém intervalu jsou přirozené domény, ve kterých lze definovat Fourierovu transformaci a Fourierovu řadu. V jiných situacích může být měřítkem něco jiného než běžné Lebesgueovo měřítko na skutečné linii. Například pokud w je libovolná pozitivní měřitelná funkce, prostor všech měřitelných funkcí F na intervalu [0, 1] uspokojující

${displaystyle int _ {0} ^ {1} {igl |} f (t) {igr |} ^ {2} w (t), mathrm {d} t$

se nazývá vážený L² prostor L²
_w([0, 1]), a w se nazývá funkce hmotnosti. Vnitřní produkt je definován

${displaystyle langle f, gangle = int _ {0} ^ {1} f (t) {overline {g (t)}} w (t), mathrm {d} t ,.}$

Vážený prostor L²
_w([0, 1]) je totožný s Hilbertovým prostorem L²([0, 1], μ) kde opatření μ Lebesgue-měřitelné sady A je definováno

${displaystyle mu (A) = int _ {A} w (t), mathrm {d} t ,.}$

Vážený L² takové prostory se často používají ke studiu ortogonálních polynomů, protože různé rodiny ortogonálních polynomů jsou ortogonální vzhledem k různým váhovým funkcím.

Sobolevovy prostory

Sobolevovy prostory, označeno H^s nebo Ž^{s, 2}, jsou Hilbertovy prostory. Jedná se o speciální druh funkční prostor ve kterém diferenciace může být provedeno, ale to (na rozdíl od jiných Banachovy prostory tak jako Hölderovy prostory ) podporují strukturu vnitřního produktu. Protože diferenciace je povolena, jsou Sobolevovy prostory vhodným nastavením pro teorii parciální diferenciální rovnice.^[22] Tvoří také základ teorie přímé metody v variačním počtu.^[23]

Pro s nezáporné celé číslo a Ω ⊂ ℝⁿ, Sobolevův prostor H^s(Ω) obsahuje L² funkce, jejichž slabé deriváty objednávky až s jsou také L². Vnitřní produkt v H^s(Ω) je

${displaystyle langle f, gangle = int _ {Omega} f (x) {ar ​​{g}} (x), mathrm {d} x + int _ {Omega} Df (x) cdot D {ar {g}} ( x), mathrm {d} x + cdots + int _ {Omega} D ^ {s} f (x) cdot D ^ {s} {ar {g}} (x), mathrm {d} x}$

kde tečka označuje produkt tečky v euklidovském prostoru částečných derivací každého řádu. Sobolevovy prostory lze také definovat, když s není celé číslo.

Sobolevovy prostory jsou také studovány z hlediska spektrální teorie, konkrétněji se opírají o Hilbertovu vesmírnou strukturu. Li Ω je vhodná doména, pak lze definovat Sobolevův prostor H^s(Ω) jako prostor Besselovy potenciály;^[24] zhruba,

${displaystyle H ^ {s} (Omega) = left.left {(1-Delta) ^ {- {frac {s} {2}}} f, ight |, fin L ^ {2} (Omega) ight}, .}$

Tady Δ je Laplacian a (1 - Δ)^−s/2 se chápe ve smyslu věta o spektrálním mapování. Kromě poskytnutí funkční definice Sobolevových prostorů pro jiné než celé číslo s, tato definice má rovněž zvláště žádoucí vlastnosti v rámci Fourierova transformace díky nimž je ideální pro studium pseudodiferenciální operátory. Použití těchto metod na a kompaktní Riemannovo potrubí, lze získat například Hodgeův rozklad, který je základem Hodgeova teorie.^[25]

Prostory holomorfních funkcí

Odolné prostory

The Odolné prostory jsou funkční prostory vznikající v komplexní analýza a harmonická analýza, jehož prvky jsou jisté holomorfní funkce ve složité doméně.^[26] Nechat U označit jednotka disku v komplexní rovině. Pak Hardyho prostor H²(U) je definován jako prostor holomorfních funkcí F na U takové, že prostředky

${displaystyle M_ {r} (f) = {frac {1} {2pi}} int _ {0} ^ {2pi} left | fleft (re ^ {i heta} ight) ight | ^ {2}, mathrm {d } heta}$

zůstat omezen na r < 1. Norma v tomto Hardyho prostoru je definována

${displaystyle left | fight | _ {2} = lim _ {r o 1} {sqrt {M_ {r} (f)}} ,.}$

Hardy mezery na disku se vztahují k Fourierově řadě. Funkce F je v H²(U) kdyby a jen kdyby

${displaystyle f (z) = součet _ {n = 0} ^ {infty} a_ {n} z ^ {n}}$

kde

${displaystyle sum _ {n = 0} ^ {infty} | a_ {n} | ^ {2}$

Tím pádem H²(U) se skládá z těch funkcí, které jsou L² na kružnici a jehož záporná frekvence Fourierovy koeficienty zmizí.

Bergmanovy prostory

The Bergmanovy prostory jsou další rodinou Hilbertových prostorů holomorfních funkcí.^[27] Nechat D být ohraničeným otevřeným souborem v složité letadlo (nebo komplexnější prostor vyšší dimenze) a nechat L^{2, h}(D) být prostorem holomorfních funkcí F v D které jsou také v L²(D) V tom smyslu, že

${displaystyle | f | ^ {2} = int _ {D} | f (z) | ^ {2}, mathrm {d} mu (z)$

kde je integrál vzat s ohledem na Lebesgueovu míru v D. Jasně L^{2, h}(D) je podprostor o L²(D); ve skutečnosti je to Zavřeno podprostor, a tedy Hilbertův prostor sám o sobě. To je důsledek odhadu platného dne kompaktní podmnožiny K. z D, že

${displaystyle sup _ {zin K} vlevo | f (z) ight | leq C_ {K} vlevo | boj | _ {2} ,,}$

což dále vyplývá z Cauchyho integrální vzorec. Konvergence sekvence holomorfních funkcí v L²(D) naznačuje také kompaktní konvergence, a tak je limitní funkce také holomorfní. Dalším důsledkem této nerovnosti je, že lineární funkce, která vyhodnotí funkci F v bodě D je ve skutečnosti nepřetržitý L^{2, h}(D). Rieszova věta o reprezentaci znamená, že funkcionalitu vyhodnocení lze reprezentovat jako prvek L^{2, h}(D). Tedy pro každého z ∈ D, existuje funkce η_z ∈ L^{2, h}(D) takhle

${displaystyle f (z) = int _ {D} f (zeta) {overline {eta _ {z} (zeta)}}, mathrm {d} mu (zeta)}$

pro všechny F ∈ L^{2, h}(D). Integrrand

${displaystyle K (zeta, z) = {overline {eta _ {z} (zeta)}}}$

je známý jako Bergmanovo jádro z D. Tento integrální jádro splňuje reprodukční vlastnost

${displaystyle f (z) = int _ {D} f (zeta) K (zeta, z), mathrm {d} mu (zeta) ,.}$

Bergmanův prostor je příkladem a reprodukce jádra Hilbertova prostoru, což je Hilbertův prostor funkcí spolu s jádrem K.(ζ, z) který ověří reprodukční vlastnost analogickou k této. Hardyho prostor H²(D) také připouští reprodukční jádro, známé jako Szegő jádro.^[28] Reprodukční jádra jsou běžná i v jiných oblastech matematiky. Například v harmonická analýza the Poissonovo jádro je reprodukční jádro pro Hilbertův prostor se čtvercovou integrací harmonické funkce v jednotková koule. To, že druhý je vůbec Hilbertův prostor, je důsledkem věty o střední hodnotě pro harmonické funkce.

Aplikace

Mnoho aplikací Hilbertových prostorů využívá skutečnost, že Hilbertovy prostory podporují zobecnění jednoduchých geometrických konceptů projekce a změna základny z jejich obvyklého konečného dimenzionálního nastavení. Zejména spektrální teorie z kontinuální samoadjung lineární operátory na Hilbertově prostoru zobecňuje obvyklé spektrální rozklad a matice, a to často hraje hlavní roli v aplikacích teorie na jiné oblasti matematiky a fyziky.

Teorie Sturm – Liouville

The podtexty vibrující struny. Tyto jsou vlastní funkce souvisejícího problému Sturm – Liouville. Vlastní čísla 1, 1/2, 1/3, ... tvoří (hudební) harmonická řada.

V teorii obyčejné diferenciální rovnice, ke studiu chování vlastních čísel a vlastních funkcí diferenciálních rovnic se používají spektrální metody na vhodném Hilbertově prostoru. Například Sturm – Liouvilleův problém vzniká při studiu harmonických vln v houslové smyčce nebo bubnu a je ústředním problémem v obyčejné diferenciální rovnice.^[29] Problémem je diferenciální rovnice tvaru

${displaystyle - {frac {mathrm {d}} {mathrm {d} x}} vlevo [p (x) {frac {mathrm {d} y} {mathrm {d} x}} vpravo] + q (x) y = lambda w (x) y}$

pro neznámou funkci y v intervalu [A, b], uspokojující obecně homogenní Robinovy ​​okrajové podmínky

${displaystyle {egin {cases} alpha y (a) + alpha 'y' (a) & = 0 eta y (b) + eta 'y' (b) & = 0, .end {cases}}}$

Funkce p, q, a w jsou uvedeny předem a problém je najít funkci y a konstanty λ pro které má rovnice řešení. Problém má řešení pouze pro určité hodnoty λ, nazývané vlastní čísla systému, a to je důsledek spektrální věty pro kompaktní operátory aplikován na integrální operátor definováno Greenova funkce pro systém. Dalším důsledkem tohoto obecného výsledku je, že vlastní čísla λ systému lze uspořádat v rostoucí sekvenci směřující k nekonečnu.^{[pozn. 2]}

Parciální diferenciální rovnice

Hilbertovy prostory tvoří základní nástroj při studiu parciální diferenciální rovnice.^[22] Pro mnoho tříd parciálních diferenciálních rovnic, například lineární eliptické rovnice, je možné zvážit zobecněné řešení (známé jako a slabý řešení) rozšířením třídy funkcí. Mnoho slabých formulací zahrnuje třídu Sobolevovy funkce, což je Hilbertův prostor. Vhodná slabá formulace redukuje na geometrický problém analytický problém hledání řešení, nebo, co je často důležitější, ukazuje, že řešení existuje a je pro dané hraniční údaje jedinečné. U lineárních eliptických rovnic je jedním geometrickým výsledkem, který zajišťuje jedinečnou řešitelnost pro velkou třídu problémů, Věta Lax – Milgram. Tato strategie tvoří základ systému Galerkinova metoda (A Metoda konečných prvků ) pro numerické řešení parciálních diferenciálních rovnic.^[30]

Typickým příkladem je Poissonova rovnice −Δu = G s Dirichletovy okrajové podmínky v ohraničené doméně Ω v ℝ². Slabá formulace spočívá v nalezení funkce u takové, že pro všechny spojitě diferencovatelné funkce proti v Ω mizí na hranici:

${displaystyle int _ {Omega} abla ucdot abla v = int _ {Omega} gv ,.}$

To lze přepracovat, pokud jde o Hilbertův prostor H¹
₀(Ω) skládající se z funkcí u takhle u, spolu se svými slabými parciálními deriváty, jsou čtvercově integrovatelné Ωa zmizet na hranici. Otázka se pak redukuje na hledání u v tomto prostoru tak, že pro všechny proti v tomto prostoru

${displaystyle a (u, v) = b (v)}$

kde A je spojitý bilineární forma, a b je spojitý lineární funkční, daný příslušně

${displaystyle a (u, v) = int _ {Omega} abla ucdot abla v, quad b (v) = int _ {Omega} gv ,.}$

Protože Poissonova rovnice je eliptický, z Poincarého nerovnosti vyplývá, že bilineární forma A je donucovací. Věta Lax – Milgram pak zajišťuje existenci a jedinečnost řešení této rovnice.

Hilbertovy prostory umožňují podobným způsobem formulovat mnoho eliptických parciálních diferenciálních rovnic a věta Lax – Milgram je poté základním nástrojem při jejich analýze. S vhodnými úpravami lze použít podobné techniky parabolické parciální diferenciální rovnice a jisté hyperbolické parciální diferenciální rovnice.

Ergodická teorie

Cesta a kulečník míč v Stadion Bunimovich je popsán ergodikem dynamický systém.

Pole ergodická teorie je studium dlouhodobého chování chaotický dynamické systémy. Protypický případ pole, na které se vztahuje ergodická teorie, je termodynamika, ve kterém - i když je mikroskopický stav systému extrémně komplikovaný (nelze pochopit soubor jednotlivých srážek mezi částicemi hmoty) - průměrné chování v dostatečně dlouhých časových intervalech je přijatelné. The zákony termodynamiky jsou tvrzení o takovém průměrném chování. Zejména jedna formulace nulový zákon termodynamiky tvrdí, že po dostatečně dlouhou dobu je jediným funkčně nezávislým měřením termodynamického systému v rovnováze jeho celková energie ve formě teplota.

Ergodický dynamický systém je ten, pro který kromě energie - měřené pomocí Hamiltonian - neexistují žádní další funkčně nezávislí konzervovaná množství na fázový prostor. Přesněji řečeno, předpokládejme, že energie E je pevná a nech Ω_E být podmnožinou fázového prostoru skládající se ze všech energetických stavů E (energetický povrch), a nechat T_t označit evoluční operátor ve fázovém prostoru. Dynamický systém je ergodický, pokud na něm nejsou nepřetržité nekonstantní funkce Ω_E takhle

${displaystyle f (T_ {t} w) = f (w)}$

pro všechny w na Ω_E a pořád t. Liouvilleova věta znamená, že existuje a opatření μ na energetickém povrchu, který je neměnný pod překlad času. Výsledkem je, že časový překlad je a unitární transformace Hilbertova prostoru L²(Ω_E, μ) skládající se z funkcí integrovatelných do čtverce na energetické ploše Ω_E s ohledem na vnitřní produkt

${displaystyle leftlangle f, gightangle _ {L ^ {2} left (Omega _ {E}, mu ight)} = int _ {E} f {ar {g}}, mathrm {d} mu,.}$

Von Neumann znamená ergodickou větu^[19] uvádí následující:

• Li U_t je (silně spojitá) jednoparametrická poloskupina unitárních operátorů na Hilbertově prostoru H, a P je ortogonální projekce do prostoru společných pevných bodů U_t, {X ∈H | U_tX = X, ∀t > 0}, pak

  ${displaystyle Px = lim _ {T o infty} {frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} U_ {t} x, mathrm {d} t ,.}$

Pro ergodický systém se pevná množina časového vývoje skládá pouze z konstantních funkcí, takže ergodická věta znamená následující:^[31] pro jakoukoli funkci F ∈ L²(Ω_E, μ),

${displaystyle {underset {T o infty} {L ^ {2} -lim}} {frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} f (T_ {t} w), mathrm {d} t = int _ {Omega _ {E}} f (y), mathrm {d} mu (y) ,.}$

To je dlouhodobý průměr pozorovatelného F se rovná jeho očekávané hodnotě na energetické ploše.

Fourierova analýza

Superpozice základních funkcí sinusových vln (dole) pro vytvoření pilovité vlny (nahoře)

Sférické harmonické, ortonormální základ pro Hilbertův prostor funkcí integrovatelných do čtverce na kouli, zobrazený v grafu podél radiálního směru

Jedním ze základních cílů Fourierova analýza je rozložit funkci na (možná nekonečnou) lineární kombinace daných základních funkcí: přidružené Fourierova řada. Klasická Fourierova řada spojená s funkcí F definované na intervalu [0, 1] je řada formuláře

${displaystyle sum _ {n = -infty} ^ {infty} a_ {n} e ^ {2pi v heta}}$

kde

${displaystyle a_ {n} = int _ {0} ^ {1} f (heta) e ^ {- 2pi v heta}, mathrm {d} heta,.}$

Příklad přidání prvních několika výrazů v Fourierově řadě pro funkci pilového zubu je uveden na obrázku. Základními funkcemi jsou sinusové vlny s vlnovými délkami λ/n (pro celé číslo n) kratší než vlnová délka λ samotné pily (kromě n = 1, základní mávat). Všechny základní funkce mají uzly v uzlech pilovitého zubu, ale všechny kromě základních mají další uzly. Oscilace sečtených členů o pilovém zubu se nazývá Gibbsův fenomén.

Významný problém v klasické Fourierově řadě se ptá, v jakém smyslu Fourierova řada konverguje, pokud vůbec, k funkci F. Jednu možnou odpověď na tuto otázku poskytují Hilbertovy vesmírné metody.^[32] Funkce E_n(θ) = E^2πinθ tvoří ortogonální základ Hilbertova prostoru L²([0, 1]). V důsledku toho lze jakoukoli funkci integrovatelnou do čtverce vyjádřit jako řadu

${displaystyle f (heta) = součet _ {n} a_ {n} e_ {n} (heta) ,, quad a_ {n} = langle f, e_ {n} úhel}$

a navíc tato řada konverguje ve smyslu Hilbertově prostoru (tj. v L² znamenat ).

Problém lze studovat také z abstraktního hlediska: každý Hilbertův prostor má ortonormální základ a každý prvek Hilbertova prostoru lze zapsat jedinečným způsobem jako součet násobků těchto základních prvků. Koeficienty objevující se na těchto základních prvcích jsou někdy abstraktně známé jako Fourierovy koeficienty prvku prostoru.^[33] Abstrakce je obzvláště užitečná, když je přirozenější použít různé základní funkce pro prostor, jako je L²([0, 1]). Za mnoha okolností je žádoucí nerozkládat funkci na trigonometrické funkce, ale spíše na ortogonální polynomy nebo vlnky například,^[34] a ve vyšších dimenzích do sférické harmonické.^[35]

Například pokud E_n jsou jakékoli ortonormální základní funkce L²[0, 1], pak daná funkce v L²[0, 1] lze aproximovat jako konečnou lineární kombinaci^[36]

${displaystyle f (x) cca f_ {n} (x) = a_ {1} e_ {1} (x) + a_ {2} e_ {2} (x) + cdots + a_ {n} e_ {n} ( X),.}$

Koeficienty {A_j} jsou vybrány tak, aby velikost rozdílu ||F − F_n||² co nejmenší. Geometricky nejlepší aproximace je ortogonální projekce z F na podprostor skládající se ze všech lineárních kombinací {E_j}a lze jej vypočítat pomocí^[37]

${displaystyle a_ {j} = int _ {0} ^ {1} {overline {e_ {j} (x)}} f (x), mathrm {d} x ,.}$

Že tento vzorec minimalizuje rozdíl ||F − F_n||² je důsledkem Besselova nerovnost a Parsevalova formule.

V různých aplikacích na fyzické problémy lze funkci rozložit na fyzicky smysluplnou vlastní funkce a operátor diferenciálu (obvykle Operátor Laplace ): tvoří základ pro spektrální studium funkcí s odkazem na spektrum operátora diferenciálu.^[38] Konkrétní fyzická aplikace zahrnuje problém slyšet tvar bubnu: vzhledem k základním způsobům vibrací, které je bubnová hlava schopna produkovat, lze odvodit tvar samotného bubnu?^[39] Matematická formulace této otázky zahrnuje: Dirichletova vlastní čísla Laplaceovy rovnice v rovině, které představují základní režimy vibrací v přímé analogii s celými čísly, které představují základní režimy vibrací houslové struny.

Spektrální teorie je rovněž základem určitých aspektů Fourierova transformace funkce. Zatímco Fourierova analýza rozkládá funkci definovanou na a kompaktní sada do diskrétního spektra laplaciánu (což odpovídá vibracím houslové struny nebo bubnu) je Fourierova transformace funkce rozkladem funkce definované na celém euklidovském prostoru na jeho složky v spojité spektrum Laplacian. Fourierova transformace je také geometrická, v jistém smyslu upřesněna Plancherelův teorém, který tvrdí, že se jedná o izometrie jednoho Hilbertova prostoru („časová doména“) s druhým („frekvenční doména“). Tato izometrická vlastnost Fourierovy transformace je abstraktním opakujícím se tématem harmonická analýza, o čemž svědčí například Plancherelova věta o sférických funkcích vyskytující se v nekomutativní harmonická analýza.

Kvantová mechanika

The orbitaly z elektron v atom vodíku jsou vlastní funkce z energie.

V matematicky přísné formulaci kvantová mechanika, vyvinutý společností John von Neumann,^[40] možné stavy (přesněji čisté stavy ) kvantově mechanické soustavy jsou reprezentovány jednotkové vektory (volala stavové vektory) sídlící ve složitém oddělitelném Hilbertově prostoru, známém jako státní prostor, dobře definované až do komplexního počtu normy 1 ( fázový faktor ). Jinými slovy, možné stavy jsou body v projektivizace Hilbertova prostoru, obvykle nazývaného složitý projektivní prostor. Přesná povaha tohoto Hilbertova prostoru závisí na systému; například stavy polohy a hybnosti pro jednu nerelativistickou spinovou nulovou částici jsou prostorem všech čtvercově integrovatelný funkce, zatímco stavy pro rotaci jediného protonu jsou jednotkové prvky dvourozměrného komplexu Hilbertova prostoru rotory. Každý pozorovatelný je reprezentován a samoadjung lineární operátor působící na stavový prostor. Každý vlastní stav pozorovatelného odpovídá vlastní vektor provozovatele a přidružené vlastní číslo odpovídá hodnotě pozorovatelné v tomto vlastním státě.

Vnitřní produkt mezi dvěma stavovými vektory je komplexní číslo známé jako a amplituda pravděpodobnosti. Během ideálního měření kvantově mechanického systému je pravděpodobnost, že se systém zhroutí z daného počátečního stavu do konkrétního vlastního stavu, dána druhou mocninou absolutní hodnota amplitud pravděpodobnosti mezi počátečním a konečným stavem. Možnými výsledky měření jsou vlastní čísla operátora - což vysvětluje výběr operátorů s vlastním adjunktem, protože všechna vlastní čísla musí být skutečná. Distribuci pravděpodobnosti pozorovatelné v daném stavu lze zjistit výpočtem spektrálního rozkladu odpovídajícího operátora.

Pro obecný systém nejsou stavy obvykle čisté, ale jsou reprezentovány jako statistické směsi čistých stavů nebo smíšené stavy, které jsou dány vztahem matice hustoty: operátoři s vlastním adjunktem stopa jeden na Hilbertově prostoru. Kromě toho u obecných kvantově mechanických systémů mohou účinky jediného měření ovlivnit jiné části systému způsobem, který je místo toho popsán kladné opatření oceněné operátorem. Struktura obou stavů i pozorovatelných v obecné teorii je tedy podstatně složitější než idealizace čistých stavů.

Vnímání barev

Jakoukoli skutečnou fyzickou barvu lze vyjádřit kombinací čistého spektrální barvy. Protože fyzické barvy mohou být složeny z libovolného počtu spektrálních barev, může být prostor fyzických barev vhodně reprezentován Hilbertovým prostorem nad spektrálními barvami. Lidé mají tři typy kuželových buněk pro vnímání barev, takže vnímatelné barvy mohou být reprezentovány trojrozměrným euklidovským prostorem. Lineární mapování typu jedna ku jedné z Hilbertova prostoru fyzických barev do euklidovského prostoru lidských vnímatelných barev vysvětluje, proč může mnoho odlišných fyzických barev lidé vnímat jako identické (např. Čisté žluté světlo versus směs červené a zelené) světlo, viz metamerismus ).

Vlastnosti

Pytagorova identita

Dva vektory u a proti v Hilbertově prostoru H jsou kolmé, když ⟨u, proti⟩ = 0. Zápis pro toto je u ⊥ proti. Obecněji, kdy S je podmnožinou v H, notace u ⊥ S znamená, že u is orthogonal to every element from S.

Když u a proti are orthogonal, one has

${displaystyle |u+v|^{2}=langle u+v,u+vangle =langle u,uangle +2,operatorname {Re} langle u,vangle +langle v,vangle =|u|^{2}+|v|^{2},.}$

By induction on n, this is extended to any family u₁, …, u_n z n orthogonal vectors,

${displaystyle |u_{1}+cdots +u_{n}|^{2}=|u_{1}|^{2}+cdots +|u_{n}|^{2},.}$

Whereas the Pythagorean identity as stated is valid in any inner product space, completeness is required for the extension of the Pythagorean identity to series. Série ∑u_k z ortogonální vectors converges in H if and only if the series of squares of norms converges, and

${displaystyle left|sum _{k=0}^{infty }u_{k}ight|^{2}=sum _{k=0}^{infty }left|u_{k}ight|^{2},.}$

Furthermore, the sum of a series of orthogonal vectors is independent of the order in which it is taken.

Parallelogram identity and polarization

Geometrically, the parallelogram identity asserts that AC² + BD² = 2(AB² + AD²). In words, the sum of the squares of the diagonals is twice the sum of the squares of any two adjacent sides.

By definition, every Hilbert space is also a Banachův prostor. Furthermore, in every Hilbert space the following identita rovnoběžníku drží:

${displaystyle |u+v|^{2}+|u-v|^{2}=2left(|u|^{2}+|v|^{2}ight),.}$

Conversely, every Banach space in which the parallelogram identity holds is a Hilbert space, and the inner product is uniquely determined by the norm by the polarizační identita.^[41] For real Hilbert spaces, the polarization identity is

${displaystyle langle u,vangle ={frac {1}{4}}left(|u+v|^{2}-|u-v|^{2}ight),.}$

For complex Hilbert spaces, it is

${displaystyle langle u,vangle ={ frac {1}{4}}left(|u+v|^{2}-|u-v|^{2}+i|u+iv|^{2}-i|u-iv|^{2}ight),.}$

The parallelogram law implies that any Hilbert space is a uniformly convex Banach space.^[42]

Best approximation

This subsection employs the Hilbertova věta o projekci. Li C is a non-empty closed convex subset of a Hilbert space H a X bod dovnitř H, there exists a unique point y ∈ C that minimizes the distance between X a ukazuje dovnitř C,^[43]

${displaystyle yin C,,quad |x-y|=operatorname {dist} (x,C)=min{|x-z|:zin C},.}$

This is equivalent to saying that there is a point with minimal norm in the translated convex set D = C − X. The proof consists in showing that every minimizing sequence (d_n) ⊂ D is Cauchy (using the parallelogram identity) hence converges (using completeness) to a point in D that has minimal norm. More generally, this holds in any uniformly convex Banach space.^[44]

When this result is applied to a closed subspace F z H, it can be shown that the point y ∈ F nejblíže k X is characterized by^[45]

${displaystyle yin F,,quad x-yperp F,.}$

Tento bod y je ortogonální projekce z X na Fa mapování P_F : X → y is linear (see Orthogonal complements and projections ). This result is especially significant in aplikovaná matematika, zvláště numerická analýza, where it forms the basis of nejmenší čtverce metody.^[46]

Zejména když F se nerovná H, one can find a nonzero vector proti kolmo na F (select X ∉ F a proti = X − y). A very useful criterion is obtained by applying this observation to the closed subspace F generated by a subset S z H.

Podmnožina S z H spans a dense vector subspace if (and only if) the vector 0 is the sole vector proti ∈ H kolmo na S.

Dualita

The dvojí prostor H* je prostorem všech kontinuální linear functions from the space H do základního pole. It carries a natural norm, defined by

${displaystyle |varphi |=sup _{|x|=1,xin H}|varphi (x)|,.}$

This norm satisfies the paralelogramový zákon, and so the dual space is also an inner product space where this inner product can be defined in terms of this dual norm by using the polarizační identita. The dual space is also complete so it is a Hilbert space in its own right. Li E_• = (E_i)_{i ∈ Já} is a complete orthonormal basis for H then the inner product on the dual space of any two ${displaystyle f,gin H^{*}}$ je

${displaystyle langle f,gangle _{H^{*}}=sum _{iin I}f(e_{i}){overline {g(e_{i})}}}$

where all but countably many of the terms in this series are zero.

The Rieszova věta o reprezentaci affords a convenient description of the dual space. To every element u z H, there is a unique element φ_u z H*, definován

${displaystyle varphi _{u}(x)=langle x,uangle ,}$

where moreover, ${displaystyle left|varphi _{u}ight|=left|uight|.}$

The Riesz representation theorem states that the map from H na H* definován u ↦ φ_u je surjektivní, which makes this map an izometrické antilineární izomorfismus.^[47] So to every element φ of the dual H* there exists one and only one u_φ v H takhle

${displaystyle langle x,u_{varphi }angle =varphi (x)}$

pro všechny X ∈ H. The inner product on the dual space H* splňuje

${displaystyle langle varphi ,psi angle =langle u_{psi },u_{varphi }angle ,.}$

The reversal of order on the right-hand side restores linearity in φ from the antilinearity of u_φ. In the real case, the antilinear isomorphism from H to its dual is actually an isomorphism, and so real Hilbert spaces are naturally isomorphic to their own duals.

The representing vector u_φ is obtained in the following way. Když φ ≠ 0, jádro F = Ker(φ) is a closed vector subspace of H, nerovná se H, hence there exists a nonzero vector proti kolmo na F. Vektor u is a suitable scalar multiple λv z proti. The requirement that φ(proti) = ⟨proti, u⟩ výnosy

${displaystyle u=langle v,vangle ^{-1},{overline {varphi (v)}},v,.}$

This correspondence φ ↔ u is exploited by the braketová notace populární v fyzika. It is common in physics to assume that the inner product, denoted by ⟨X|y⟩, is linear on the right,

${displaystyle langle x|yangle =langle y,xangle ,.}$

Výsledek ⟨X|y⟩ can be seen as the action of the linear functional ⟨X| (dále jen podprsenka) on the vector |y⟩ (dále jen ket).

The Riesz representation theorem relies fundamentally not just on the presence of an inner product, but also on the completeness of the space. In fact, the theorem implies that the topologická duální of any inner product space can be identified with its completion. An immediate consequence of the Riesz representation theorem is also that a Hilbert space H je reflexní, meaning that the natural map from H do jeho double dual space je izomorfismus.

Weakly-convergent sequences

In a Hilbert space Hposloupnost {X_n} je slabě konvergentní na vektor X ∈ H když

${displaystyle lim _{n}langle x_{n},vangle =langle x,vangle }$

pro každého proti ∈ H.

For example, any orthonormal sequence {F_n} converges weakly to 0, as a consequence of Besselova nerovnost. Every weakly convergent sequence {X_n} is bounded, by the jednotný princip omezenosti.

Conversely, every bounded sequence in a Hilbert space admits weakly convergent subsequences (Alaogluova věta ).^[48] This fact may be used to prove minimization results for continuous convex functionals, stejně jako Bolzano–Weierstrass theorem is used for continuous functions on ℝ^d. Among several variants, one simple statement is as follows:^[49]

Li F : H → ℝ is a convex continuous function such that F(X) má sklony k +∞ když ||X|| má sklony k ∞, pak F admits a minimum at some point X₀ ∈ H.

This fact (and its various generalizations) are fundamental for přímé metody v variační počet. Minimization results for convex functionals are also a direct consequence of the slightly more abstract fact that closed bounded convex subsets in a Hilbert space H jsou slabě kompaktní, od té doby H je reflexivní. The existence of weakly convergent subsequences is a special case of the Eberlein – Šmulianova věta.

Banach space properties

Any general property of Banachovy prostory continues to hold for Hilbert spaces. The otevřená věta o mapování uvádí, že a kontinuální surjektivní linear transformation from one Banach space to another is an otevřené mapování meaning that it sends open sets to open sets. A corollary is the omezená inverzní věta, that a continuous and bijektivní linear function from one Banach space to another is an isomorphism (that is, a continuous linear map whose inverse is also continuous). This theorem is considerably simpler to prove in the case of Hilbert spaces than in general Banach spaces.^[50] The open mapping theorem is equivalent to the věta o uzavřeném grafu, which asserts that a linear function from one Banach space to another is continuous if and only if its graph is a uzavřená sada.^[51] In the case of Hilbert spaces, this is basic in the study of neomezené operátory (vidět uzavřený operátor ).

The (geometrical) Hahnova – Banachova věta asserts that a closed convex set can be separated from any point outside it by means of a nadrovina of the Hilbert space. This is an immediate consequence of the best approximation vlastnost: pokud y is the element of a closed convex set F nejblíže k X, then the separating hyperplane is the plane perpendicular to the segment xy passing through its midpoint.^[52]

Operators on Hilbert spaces

Ohraničené operátory

The kontinuální lineární operátory A : H₁ → H₂ from a Hilbert space H₁ to a second Hilbert space H₂ jsou ohraničený in the sense that they map bounded sets to bounded sets. Conversely, if an operator is bounded, then it is continuous. The space of such ohraničené lineární operátory má norma, operator norm dána

${displaystyle lVert AVert =sup left{,lVert AxVert :lVert xVert leq 1,ight},.}$

The sum and the composite of two bounded linear operators is again bounded and linear. Pro y v H₂, the map that sends X ∈ H₁ na ⟨Sekera, y⟩ is linear and continuous, and according to the Rieszova věta o reprezentaci can therefore be represented in the form

${displaystyle leftlangle x,A^{*}yightangle =langle Ax,yangle }$

for some vector A*y v H₁. This defines another bounded linear operator A* : H₂ → H₁, adjoint z A. The adjoint satisfies A** = A. When the Riesz representation theorem is used to identify each Hilbert space with its continuous dual space, the adjoint of A can be shown to be stejný jako the přemístit ^tA : H₂* → H₁* z A, which by definition sends ${displaystyle psi in H_{2}^{*}}$ to the functional ${displaystyle psi circ Ain H_{1}^{*}.}$

Sada B (H) of all bounded linear operators on H (meaning operators H → H), together with the addition and composition operations, the norm and the adjoint operation, is a C * -algebra, which is a type of operátorová algebra.

Prvek A z B (H) is called 'self-adjoint' or 'Hermitian' if A* = A. Li A je Hermitian a ⟨Sekera, X⟩ ≥ 0 pro každého X, pak A is called 'nonnegative', written A ≥ 0; if equality holds only when X = 0, pak A is called 'positive'. The set of self adjoint operators admits a částečná objednávka, ve kterém A ≥ B -li A − B ≥ 0. Li A má formu B*B pro některé B, pak A je negativní; -li B je tedy invertibilní A je pozitivní. A converse is also true in the sense that, for a non-negative operator A, there exists a unique non-negative odmocnina B takhle

${displaystyle A=B^{2}=B^{*}B,.}$

In a sense made precise by the spektrální věta, self-adjoint operators can usefully be thought of as operators that are "real". Prvek A z B (H) je nazýván normální -li A*A = AA*. Normal operators decompose into the sum of a self-adjoint operators and an imaginary multiple of a self adjoint operator

${displaystyle A={frac {A+A^{*}}{2}}+i{frac {A-A^{*}}{2i}}}$

that commute with each other. Normal operators can also usefully be thought of in terms of their real and imaginary parts.

Prvek U z B (H) je nazýván unitární -li U je invertibilní a jeho inverze je dána vztahem U*. This can also be expressed by requiring that U be onto and ⟨Ux, Uy⟩ = ⟨X, y⟩ pro všechny X, y ∈ H. The unitary operators form a skupina under composition, which is the izometrická skupina z H.

Prvek B (H) je kompaktní if it sends bounded sets to relativně kompaktní sady. Ekvivalentně omezený operátor T is compact if, for any bounded sequence {X_k}, sekvence {Tx_k} has a convergent subsequence. Mnoho integral operators are compact, and in fact define a special class of operators known as Operátoři Hilbert – Schmidt that are especially important in the study of integrální rovnice. Provozovatelé Fredholm differ from a compact operator by a multiple of the identity, and are equivalently characterized as operators with a finite dimensional jádro a koksovna. The index of a Fredholm operator T je definováno

${displaystyle operatorname {index} T=dim ker T-dim operatorname {coker} T,.}$

The index is homotopy invariant, and plays a deep role in diferenciální geometrie přes Atiyah – Singerova věta o indexu.

Neomezené operátory

Neomezené operátory are also tractable in Hilbert spaces, and have important applications to kvantová mechanika.^[53] An unbounded operator T v Hilbertově prostoru H is defined as a linear operator whose domain D(T) is a linear subspace of H. Often the domain D(T) je hustý podprostor o H, v jakém případě T je známý jako hustě definovaný operátor.

The adjoint of a densely defined unbounded operator is defined in essentially the same manner as for bounded operators. Self-adjoint unbounded operators play the role of the pozorovatelné in the mathematical formulation of quantum mechanics. Examples of self-adjoint unbounded operators on the Hilbert space L²(ℝ) jsou:^[54]

Ty odpovídají hybnost a pozice observables, respectively. Note that neither A ani B je definován na všech H, since in the case of A the derivative need not exist, and in the case of B the product function need not be square integrable. In both cases, the set of possible arguments form dense subspaces of L²(ℝ).

Stavby

Přímé částky

Two Hilbert spaces H₁ a H₂ can be combined into another Hilbert space, called the (orthogonal) direct sum,^[55] a označil

${displaystyle H_{1}oplus H_{2},,}$

skládající se z množiny všech objednané páry (X₁, X₂) kde X_i ∈ H_i, i = 1, 2, and inner product defined by

${displaystyle { igl langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){ igr angle }_{H_{1}oplus H_{2}}=leftlangle x_{1},y_{1}ightangle _{H_{1}}+leftlangle x_{2},y_{2}ightangle _{H_{2}},.}$

Obecněji, pokud H_i is a family of Hilbert spaces indexed by i ∈ Já, then the direct sum of the H_i, označeno

${displaystyle igoplus _{iin I}H_{i}}$

consists of the set of all indexed families

${displaystyle x=(x_{i}in H_{i}|iin I)in prod _{iin I}H_{i}}$

v kartézský součin z H_i takhle

${displaystyle sum _{iin I}|x_{i}|^{2}$

The inner product is defined by

${displaystyle langle x,yangle =sum _{iin I}leftlangle x_{i},y_{i}ightangle _{H_{i}},.}$

Každý z H_i is included as a closed subspace in the direct sum of all of the H_i. Navíc H_i are pairwise orthogonal. Conversely, if there is a system of closed subspaces, PROTI_i, i ∈ Já, in a Hilbert space H, that are pairwise orthogonal and whose union is dense in H, pak H is canonically isomorphic to the direct sum of PROTI_i. V tomto případě, H is called the internal direct sum of the PROTI_i. A direct sum (internal or external) is also equipped with a family of orthogonal projections E_i na ith direct summand H_i. These projections are bounded, self-adjoint, idempotentní operators that satisfy the orthogonality condition

${displaystyle E_{i}E_{j}=0,quad ieq j,.}$

The spektrální věta pro kompaktní self-adjoint operators on a Hilbert space H tvrdí, že H splits into an orthogonal direct sum of the eigenspaces of an operator, and also gives an explicit decomposition of the operator as a sum of projections onto the eigenspaces. The direct sum of Hilbert spaces also appears in quantum mechanics as the Fockový prostor of a system containing a variable number of particles, where each Hilbert space in the direct sum corresponds to an additional stupeň svobody for the quantum mechanical system. v teorie reprezentace, Peter–Weyl theorem guarantees that any jednotkové zastoupení a compact group on a Hilbert space splits as the direct sum of finite-dimensional representations.

Tenzorové výrobky

Li X₁, y₁ ∊ H₁ a X₂, y₂ ∊ H₂, then one defines an inner product on the (ordinary) tenzorový produkt jak následuje. Na simple tensors, nechť

${displaystyle langle x_{1}otimes x_{2},,y_{1}otimes y_{2}angle =langle x_{1},y_{1}angle ,langle x_{2},y_{2}angle ,.}$

This formula then extends by sesquilinearity to an inner product on H₁ ⊗ H₂. The Hilbertian tensor product of H₁ a H₂, někdy označované H₁ ${displaystyle {widehat {otimes }}}$ H₂, is the Hilbert space obtained by completing H₁ ⊗ H₂ for the metric associated to this inner product.^[56]

An example is provided by the Hilbert space L²([0, 1]). The Hilbertian tensor product of two copies of L²([0, 1]) is isometrically and linearly isomorphic to the space L²([0, 1]²) of square-integrable functions on the square [0, 1]². This isomorphism sends a simple tensor F₁ ⊗ F₂ k funkci

${displaystyle (s,t)mapsto f_{1}(s),f_{2}(t)}$

on the square.

This example is typical in the following sense.^[57] Associated to every simple tensor product X₁ ⊗ X₂ is the rank one operator from H^∗
₁ na H₂ that maps a given X* ∈ H^∗
₁ tak jako

${displaystyle x^{*}mapsto x^{*}(x_{1})x_{2},.}$

This mapping defined on simple tensors extends to a linear identification between H₁ ⊗ H₂ a prostor operátorů konečné pozice z H^∗
₁ na H₂. To sahá až k lineární izometrii hilbertovského tenzorového součinu H₁ ${displaystyle {widehat {otimes}}}$ H₂ s Hilbertovým prostorem HS(H^∗
₁, H₂) z Operátoři Hilbert – Schmidt z H^∗
₁ na H₂.

Ortonormální základy

Pojem ortonormální základ od lineární algebry se zobecňuje až k případům Hilbertových prostorů.^[58] V Hilbertově prostoru H, ortonormálním základem je rodina {E_k}_{k ∈ B} prvků H splňující podmínky:

1. Ortogonalita: Každé dva různé prvky B jsou kolmé: ⟨E_k, E_j⟩ = 0 pro všechny k, j ∈ B s k ≠ j.
2. Normalizace: Každý prvek rodiny má normu 1: ||E_k|| = 1 pro všechny k ∈ B.
3. Úplnost: lineární rozpětí z rodiny E_k, k ∈ B, je hustý v H.

Systém vektorů splňujících základ prvních dvou podmínek se nazývá ortonormální systém nebo ortonormální sada (nebo ortonormální sekvence, pokud B je počitatelný ). Takový systém je vždy lineárně nezávislé. Úplnost ortonormálního systému vektorů Hilbertova prostoru lze ekvivalentně zopakovat jako:

-li ⟨proti, E_k⟩ = 0 pro všechny k ∈ B a nějaký proti ∈ H pak proti = 0.

To souvisí se skutečností, že jediným vektorem kolmým na hustý lineární podprostor je nulový vektor, pokud if S je libovolná ortonormální sada a proti je kolmý na S, pak proti je kolmý k uzavření lineárního rozpětí S, což je celý prostor.

Mezi příklady ortonormálních bází patří:

• sada {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} tvoří ortonormální základ ℝ³ s Tečkovaný produkt;
• sekvence {F_n : n ∈ ℤ} s F_n(X) = exp (2πInx) tvoří ortonormální základ komplexního prostoru L²([0, 1]);

V nekonečně-dimenzionálním případě nebude ortonormální základ základem ve smyslu lineární algebra; rozlišovat dva, druhý základ je také nazýván a Hamelův základ. To, že rozpětí základních vektorů je husté, znamená, že každý vektor v prostoru lze zapsat jako součet nekonečné řady a z ortogonality vyplývá, že tento rozklad je jedinečný.

Sekvenční mezery

Prostor ${displaystyle ell _ {2}}$ čtvercových sumabilních posloupností komplexních čísel je množina nekonečných posloupností

${displaystyle (c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, tečky)}$

reálných nebo komplexních čísel tak, že

${displaystyle left | c_ {1} ight | ^ {2} + left | c_ {2} ight | ^ {2} + left | c_ {3} ight | ^ {2} + cdots$

Tento prostor má ortonormální základ:

${displaystyle {egin {aligned} e_ {1} & = (1,0,0, dots) e_ {2} & = (0,1,0, dots) & vdots end {aligned}}}$

Tento prostor je nekonečně dimenzionální zobecnění ${displaystyle ell _ {2} ^ {n}}$ prostor konečně-dimenzionálních vektorů. Obvykle se jedná o první příklad, který se používá k ukázce, že v nekonečně dimenzionálních prostorech je to množina Zavřeno a ohraničený není nutně (postupně) kompaktní (jako je tomu ve všech případech konečný rozměrné prostory). Ve skutečnosti to ukazuje sada ortonormálních vektorů: Jedná se o nekonečnou sekvenci vektorů v jednotkové kouli (tj. Koule bodů s normou menší nebo rovnou jedné). Tato sada je jasně ohraničená a uzavřená; přesto žádná subsekvence těchto vektorů nekonverguje k ničemu a následně k jednotkové kouli dovnitř ${displaystyle ell _ {2}}$ není kompaktní. Intuitivně je to proto, že „vždy existuje další směr souřadnic“, do kterého se mohou další prvky posloupnosti vyhnout.

Jeden může zobecnit prostor ${displaystyle ell _ {2}}$ v mnoha ohledech. Například pokud B je libovolná (nekonečná) množina, pak lze vytvořit Hilbertův prostor sekvencí se sadou indexů B, definován

${displaystyle ell ^ {2} (B) = left {x: B {xrightarrow {x}} mathbb {C}, left |, sum _ {bin B} left | x (b) ight | ^ {2}$

Součet skončil B je zde definováno

${displaystyle sum _ {bin B} left | x (b) ight | ^ {2} = sup sum _ {n = 1} ^ {N} left | x (b_ {n}) ight | ^ {2}}$

the supremum převezme všechny konečné podmnožinyB. Z toho vyplývá, že aby byl tento součet konečný, každý prvek z l²(B) má pouze spočítatelně mnoho nenulových výrazů. Tento prostor se stává Hilbertovým prostorem s vnitřním produktem

${displaystyle langle x, yangle = sum _ {bin B} x (b) {overline {y (b)}}}$

pro všechny X, y ∈ l²(B). Zde má součet také jen spočetně mnoho nenulových výrazů a je bezpodmínečně konvergentní podle Cauchy-Schwarzovy nerovnosti.

Ortonormální základ l²(B) je indexován množinou B, dána

${displaystyle e_ {b} left (b'ight) = {egin {cases} 1 & {ext {if}} b = b ' 0 & {ext {else.}} end {cases}}}$

Besselova nerovnost a Parsevalova formule

Nechat F₁, ..., F_n být konečným ortonormálním systémem ve WindowsH. Pro libovolný vektor X ∈ H, nechť

${displaystyle y = sum _ {j = 1} ^ {n} langle x, f_ {j} úhel, f_ {j} ,.}$

Pak ⟨X, F_k⟩ = ⟨y, F_k⟩ pro každého k = 1, …, n. Z toho vyplývá, že X − y je ke každému ortogonální F_k, proto X − y je kolmý nay. Z použití Pythagorovy identity dvakrát to vyplývá

${displaystyle | x | ^ {2} = | xy | ^ {2} + | y ​​| ^ {2} geq | y | ^ {2} = součet _ {j = 1} ^ {n} {igl |} jazyk x, f_ {j} úhel {igr |} ^ {2} ,.}$

Nechat {F_i}, i ∈ Já, být libovolný orthonormální systém ve WindowsH. Aplikování předchozí nerovnosti na každou konečnou podmnožinu J z Já dává Besselovu nerovnost:^[59]

${displaystyle sum _ {iin I} {igl |} langle x, f_ {i} angle {igr |} ^ {2} leq | x | ^ {2}, quad xin H}$

(podle definice součet libovolné rodiny nezáporných reálných čísel).

Geometricky, Besselova nerovnost znamená, že ortogonální projekce X na lineární podprostor překlenutý F_i má normu, která nepřekračuje normu X. Ve dvou rozměrech se jedná o tvrzení, že délka nohy pravoúhlého trojúhelníku nesmí překročit délku přepony.

Besselova nerovnost je odrazovým můstkem k dosažení silnějšího výsledku Parsevalova identita, který upravuje případ, kdy je Besselova nerovnost ve skutečnosti rovností. Podle definice, pokud {E_k}_{k ∈ B} je ortonormální základ H, pak každý prvek X z H lze psát jako

${displaystyle x = suma _ {kin B} levý úhel x, e_ {k} pravý úhel, e_ {k} ,.}$

I kdyby B je nespočet, Besselova nerovnost zaručuje, že výraz je dobře definovaný a skládá se pouze z nespočetně mnoha nenulových výrazů. Tento součet se nazývá Fourierova expanze Xa jednotlivé koeficienty ⟨X, E_k⟩ jsou Fourierovy koeficienty X. Parsevalova identita to pak tvrdí

${displaystyle | x | ^ {2} = součet _ {kin B} | langle x, e_ {k} úhel | ^ {2} ,.}$

Naopak, pokud {E_k} je ortonormální sada taková, že Parsevalova identita platí pro každého X, pak {E_k} je ortonormální základ.

Hilbertova dimenze

Jako důsledek Zornovo lemma, každý Hilbertův prostor připouští ortonormální základ; dále, všechny dvě ortonormální báze stejného prostoru mají stejné mohutnost, nazývaná Hilbertova dimenze prostoru.^[60] Například od l²(B) má ortonormální bázi indexovanou pomocí B, jeho Hilbertova dimenze je mohutnost B (což může být konečné celé číslo nebo spočetné nebo nepočítatelné základní číslovka ).

V důsledku Parsevalovy identity, pokud {E_k}_{k ∈ B} je ortonormální základ H, pak mapa Φ : H → l²(B) definován Φ(X) = ⟨X, E_k⟩_k∈B je izometrický izomorfismus Hilbertových prostorů: jedná se o bijektivní lineární mapování takové

${displaystyle {igl langle} Phi (x), Phi (y) {igr úhel} _ {l ^ {2} (B)} = levý úhel x, yightangle _ {H}}$

pro všechny X, y ∈ H. The základní číslovka z B je Hilbertova dimenze H. Každý Hilbertův prostor je tedy izometricky izomorfní s prostorem sekvence l²(B) pro nějakou sadu B.

Oddělitelné prostory

Podle definice je Hilbertův prostor oddělitelný za předpokladu, že obsahuje hustou spočetnou podmnožinu. Spolu se Zornovým lematem to znamená, že Hilbertův prostor je oddělitelný právě tehdy, když připouští a počitatelný ortonormální základ. Všechny nekonečně dimenzionální oddělitelné Hilbertovy prostory jsou proto izometricky izomorfní l².

V minulosti se často vyžadovalo, aby Hilbertovy prostory byly oddělitelné jako součást definice.^[61] Většina prostorů používaných ve fyzice je oddělitelná, a protože jsou všechny navzájem izomorfní, jeden často označuje jakýkoli nekonečně dimenzionální oddělitelný Hilbertův prostor jako „the Hilbertův prostor "nebo jen" Hilbertův prostor ".^[62] Dokonce v kvantová teorie pole, většina Hilbertových prostorů je ve skutečnosti oddělitelná, jak stanoví Wightmanovy axiomy. Někdy se však tvrdí, že neoddělitelné Hilbertovy prostory jsou také důležité v teorii kvantového pole, zhruba proto, že systémy v teorii mají nekonečné množství stupně svobody a jakýkoli nekonečný Hilbertův tenzorový produkt (mezer o dimenzi větší než jedna) je neoddělitelná.^[63] Například a bosonické pole lze přirozeně považovat za prvek tenzorového produktu, jehož faktory představují harmonické oscilátory v každém bodě vesmíru. Z tohoto pohledu by se přirozený stavový stav bosonu mohl zdát jako neoddělitelný prostor.^[63] Je to však jen malý oddělitelný podprostor celého tenzorového produktu, který může obsahovat fyzicky smysluplná pole (na kterých lze definovat pozorovatelné). Další neoddělitelný Hilbertův prostor modeluje stav nekonečné sbírky částic v neomezené oblasti vesmíru. Ortonormální základ prostoru je indexován podle hustoty částic, spojitého parametru, a protože množina možných hustot je nespočetná, základ se nepočítá.^[63]

Ortogonální doplňky a projekce

Li S je podmnožinou Hilbertova prostoru H, sada vektorů kolmých na S je definováno

${displaystyle S ^ {perp} = left {xin H: langle x, sangle = 0 for all sin Sight} ,.}$

S^⊥ je Zavřeno podprostor H (lze snadno dokázat pomocí linearity a kontinuity vnitřního produktu) a tak se vytváří Hilbertův prostor. Li PROTI je uzavřený podprostor o H, pak PROTI^⊥ se nazývá ortogonální doplněk z PROTI. Ve skutečnosti každý X ∈ H pak lze zapsat jednoznačně jako X = proti + w, s proti ∈ PROTI a w ∈ PROTI^⊥. Proto, H je vnitřní Hilbertův přímý součet PROTI a PROTI^⊥.

Lineární operátor P_PROTI : H → H že mapy X na proti se nazývá ortogonální projekce na PROTI. Tady je přírodní osobní korespondence mezi množinou všech uzavřených podprostorů H a množinu všech omezených samoadjungujících operátorů P takhle P² = P. Konkrétně

Teorém. Ortogonální projekce P_PROTI je self-adjoint lineární operátor na H normy ≤ 1 s vlastností P²
_PROTI = P_PROTI. Kromě toho libovolný lineární operátor s vlastním nastavením E takhle E² = E je ve formě P_PROTI, kde PROTI je rozsah E. Pro každého X v H, P_PROTI(X) je jedinečný prvek proti z PROTI což minimalizuje vzdálenost ||X − proti||.

To poskytuje geometrickou interpretaci P_PROTI(X): je to nejlepší přiblížení k X prvky PROTI.^[64]

Projekce P_U a P_PROTI se nazývají vzájemně ortogonální, pokud P_UP_PROTI = 0. To odpovídá U a PROTI být ortogonální jako podprostory H. Součet dvou projekcí P_U a P_PROTI je projekce, pouze pokud U a PROTI jsou vzájemně kolmé a v tom případě P_U + P_PROTI = P_U+PROTI. Kompozitní P_UP_PROTI obecně není projekcí; ve skutečnosti je kompozitní projekce právě tehdy, když dojdou dvě projekce, a v tom případě P_UP_PROTI = P_U∩PROTI.

Omezením codomain na Hilbertův prostor PROTI, ortogonální projekce P_PROTI vede k mapování projekce π : H → PROTI; je adjunktem mapování začlenění

${displaystyle i: V o H ,,}$

znamenající, že

${displaystyle leftlangle ix, yightangle _ {H} = leftlangle x, pi yightangle _ {V}}$

pro všechny X ∈ PROTI a y ∈ H.

Norma operátora ortogonální projekce P_PROTI do nenulového uzavřeného podprostoru PROTI se rovná 1:

${displaystyle | P_ {V} | = sup _ {xin H, xot = 0} {frac {| P_ {V} x |} {| x |}} = 1 ,.}$

Každý uzavřený podprostor PROTI Hilbertova prostoru je tedy obrazem operátora P normy jedna taková P² = P. Vlastnost vlastnit vhodné operátory projekce charakterizuje Hilbertovy prostory:^[65]

• Banachův prostor dimenze vyšší než 2 je (izometricky) Hilbertův prostor právě tehdy, když pro každý uzavřený podprostor PROTI, existuje operátor P_PROTI normálního, jehož obraz je PROTI takhle P²
  _PROTI = P_PROTI.

I když tento výsledek charakterizuje metrickou strukturu Hilbertova prostoru, struktura Hilbertova prostoru jako a topologický vektorový prostor lze sám charakterizovat z hlediska přítomnosti doplňkových podprostorů:^[66]

• Banachův prostor X je topologicky a lineárně izomorfní s Hilbertovým prostorem právě tehdy, pokud jde o každý uzavřený podprostor PROTI, existuje uzavřený podprostor Ž takhle X se rovná vnitřnímu přímému součtu PROTI ⊕ Ž.

Ortogonální doplněk uspokojuje některé elementárnější výsledky. Je to monotónní funkce v tom smyslu, že pokud U ⊂ PROTI, pak PROTI^⊥ ⊆ U^⊥ s držením rovnosti právě tehdy PROTI je obsažen v uzavření z U. Tento výsledek je zvláštním případem Hahnova – Banachova věta. Uzavření podprostoru lze zcela charakterizovat pomocí ortogonálního doplňku: pokud PROTI je podprostor o H, pak uzavření PROTI je rovný PROTI^⊥⊥. Ortogonální doplněk je tedy a Galoisovo spojení na částečná objednávka podprostorů Hilbertova prostoru. Obecně platí, že ortogonální doplněk součtu podprostorů je průsečík ortogonálních doplňků:^[67]

${displaystyle left (sum _ {i} V_ {i} ight) ^ {perp} = igcap _ {i} V_ {i} ^ {perp} ,.}$

Pokud PROTI_i jsou navíc uzavřeny

${displaystyle {overline {sum _ {i} V_ {i} ^ {perp}}} = left (igcap _ {i} V_ {i} ight) ^ {perp} ,.}$

Spektrální teorie

Tam je dobře vyvinutý spektrální teorie pro operátory s vlastním adjunktem v Hilbertově prostoru, to je zhruba analogické se studiem symetrické matice přes reálné nebo samoadjungující matice přes komplexní čísla.^[68] Ve stejném smyslu lze získat „diagonalizaci“ operátoru s vlastním adjungem jako vhodný součet (vlastně integrál) operátorů ortogonální projekce.

The spektrum operátora T, označeno σ(T), je množina komplexních čísel λ takhle T − λ postrádá souvislou inverzi. Li T je ohraničené, pak je spektrum vždy a kompaktní sada v komplexní rovině a leží uvnitř disku |z| ≤ ||T||. Li T je self-adjoint, pak spektrum je skutečné. Ve skutečnosti je obsažen v intervalu [m, M] kde

${displaystyle m = inf _ {| x | = 1} langle Tx, xangle ,, quad M = sup _ {| x | = 1} langle Tx, xangle,.}$

Navíc, m a M jsou oba skutečně obsaženy ve spektru.

Vlastní prostory operátora T jsou dány

${displaystyle H_ {lambda} = ker (T-lambda) ,.}$

Na rozdíl od konečných matic ne každý prvek spektra T musí být vlastní číslo: lineární operátor T − λ může postrádat pouze inverzní, protože není surjektivní. Prvky spektra operátora v obecném smyslu jsou známé jako spektrální hodnoty. Protože spektrální hodnoty nemusí být vlastní hodnoty, je spektrální rozklad často jemnější než v konečných rozměrech.

Nicméně spektrální věta samoobslužného operátora T má obzvláště jednoduchou formu, pokud navíc T se předpokládá, že kompaktní operátor. The spektrální věta pro kompaktní samoadjunkční operátory uvádí:^[69]

• Kompaktní samojistící operátor T má pouze spočetně (nebo konečně) mnoho spektrálních hodnot. Spektrum T nemá žádný mezní bod v komplexní rovině s výjimkou případné nuly. Vlastní prostory T rozložit H do ortogonálního přímého součtu:

  ${displaystyle H = igoplus _ {lambda in sigma (T)} H_ {lambda} ,.}$

Navíc pokud E_λ označuje ortogonální projekci do vlastního prostoru H_λ, pak

${displaystyle T = součet _ {lambda v sigma (T)} lambda E_ {lambda} ,,}$

kde součet konverguje s ohledem na normu dne B (H).

Tato věta hraje zásadní roli v teorii integrální rovnice, protože mnoho integrálních operátorů je kompaktních, zejména těch, které vznikají z Operátoři Hilbert – Schmidt.

Obecná spektrální věta pro samoadjungující operátory zahrnuje určitý druh operátoru Riemann – Stieltjesův integrál, spíše než nekonečné shrnutí.^[70] The spektrální rodina spojené s T přiřadí každému reálnému číslu λ operátor E_λ, což je projekce do prázdného prostoru operátora (T − λ)⁺, kde je kladná část operátoru s vlastním adjointem definována

${displaystyle A ^ {+} = {frac {1} {2}} vlevo ({sqrt {A ^ {2}}} + Aight) ,.}$

Provozovatelé E_λ jsou monotónní zvyšující se vzhledem k částečnému pořadí definovanému u operátorů s vlastním adjunktem; vlastní čísla přesně odpovídají diskontinuitám skoků. Jeden má spektrální teorém, který tvrdí

${displaystyle T = int _ {mathbb {R}} lambda, mathrm {d} E_ {lambda} ,.}$

Integrál je chápán jako Riemann – Stieltjesův integrál, konvergentní vzhledem k normě B (H). Jeden má zejména obyčejné skalární hodnotné integrální zastoupení

${displaystyle langle Tx, yangle = int _ {mathbb {R}} lambda, mathrm {d} langle E_ {lambda} x, yangle,.}$

Poněkud podobný spektrální rozklad platí pro normální operátory, ačkoli protože spektrum nyní může obsahovat nereální komplexní čísla, měří se Stieltjesova hodnota s operátorem dE_λ místo toho musí být nahrazeno a rozlišení identity.

Hlavní aplikací spektrálních metod je věta o spektrálním mapování, což umožňuje aplikovat se na samoadjungujícího operátora T libovolná spojitá komplexní funkce F definované na spektru T vytvořením integrálu

${displaystyle f (T) = int _ {sigma (T)} f (lambda), mathrm {d} E_ {lambda} ,.}$

Výsledný spojitý funkční počet má aplikace zejména na pseudodiferenciální operátory.^[71]

Spektrální teorie neomezený self-adjoint operátoři je jen okrajově obtížnější než pro omezené operátory. Spektrum neomezeného operátoru je definováno přesně stejným způsobem jako u omezených operátorů: λ je spektrální hodnota, pokud provozovatel resolventu

${displaystyle R_ {lambda} = (T-lambda) ^ {- 1}}$

nedokáže být dobře definovaným nepřetržitým operátorem. Samoobslužnost T stále zaručuje, že spektrum je skutečné. Základní myšlenkou práce s neomezenými operátory je tedy místo toho se podívat na resolventa R_λ kde λ je nereálné. Tohle je ohraničený normální operátor, který připouští spektrální zobrazení, které lze poté přenést do spektrálního zobrazení T sám. Podobná strategie se používá například ke studiu spektra Laplaceova operátoru: místo přímého oslovení operátora místo toho vypadá jako přidružené řešení, například Rieszův potenciál nebo Besselův potenciál.

Přesná verze spektrální věty je v tomto případě:^[72]

Vzhledem k hustě definovanému operátorovi s vlastním adjunktem T v Hilbertově prostoru H, odpovídá jedinečný rozlišení identity E na sady Borel ℝ, takový, že

${displaystyle langle Tx, yangle = int _ {mathbb {R}} lambda, mathrm {d} E_ {x, y} (lambda)}$

pro všechny X ∈ D(T) a y ∈ H. Spektrální míra E je soustředěna na spektrum T.

Existuje také verze spektrálního teorému, který platí pro neomezené normální operátory.

V populární kultuře

Thomas Pynchon představil románovou postavu Sammy Hilbert-Spaess (hříčka filmu „Hilbert Space“) ve svém románu z roku 1973, Gravitační duha. Hilbert-Spaess je nejprve popisován jako „všudypřítomný dvojitý agent“ a později jako „alespoň dvojitý agent“.^[73] Román dříve odkazoval na práci kolegy německého matematika Kurt Gödel je Věty o neúplnosti,^[74] který to ukázal Hilbertův program, Hilbertův formalizovaný plán sjednotit matematiku do jediné sady axiomů, nebyl možný.^[75]

Viz také

• Banachův prostor - Normovaný vektorový prostor, který je kompletní
• Základní věta o Hilbertových prostorech
• Hadamardův prostor
• Hilbertova algebra
• Hilbert C * -modul
• Hilbert potrubí
• L-polo-vnitřní produkt - Zobecnění vnitřních produktů, které platí pro všechny normované prostory
• Lokálně konvexní topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s topologií definovanou konvexními otevřenými množinami
• Teorie operátorů
• Topologie operátora
• Pevný Hilbertův prostor - Konstrukce spojující studium „vázaných“ a spojitých vlastních čísel ve funkční analýze
• Topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s představou blízkosti

Poznámky

Poznámky