Sesquilineární forma - Sesquilinear form

v matematika, a sesquilineární forma je zobecnění a bilineární forma to je zase zevšeobecnění pojmu Tečkovaný produkt z Euklidovský prostor. Bilineární forma je lineární v každém ze svých argumentů, ale sesquilineární forma umožňuje, aby jeden z argumentů byl „zkroucen“ v a semilineární způsobem, tedy jménem; který pochází z latiny číselná předpona sesqui což znamená „jeden a půl“. Základní koncept dot produktu - výroba a skalární z dvojice vektorů - lze zobecnit povolením širšího rozsahu skalárních hodnot a možná současně rozšířením definice vektoru.

Motivujícím zvláštním případem je sesquilineární forma na a složitý vektorový prostor, $PROTI$ . Toto je mapa $PROTI \times PROTI \to C$ to je lineární v jednom argumentu a "překrucuje" linearitu druhého argumentu pomocí komplexní konjugace (označováno jako antilineární v druhém argumentu). Tento případ nastává přirozeně v aplikacích matematické fyziky. Další důležitý případ umožňuje skalárům pocházet z kteréhokoli pole a zkroucení zajišťuje a polní automorfismus.

Aplikace v projektivní geometrie vyžaduje, aby skaláry pocházely z a dělící prsten (šikmé pole), $K.$ , a to znamená, že „vektory“ by měly být nahrazeny prvky a $K.$ -modul. Ve velmi obecném prostředí lze definovat sesquilineární formy $R$ -moduly pro libovolné prsteny $R$ .

Neformální úvod

Sesquilineární formy abstraktní a zobecňují základní pojem a Poustevnická forma na složitý vektorový prostor. Hermitovské formy jsou běžně vidět v fyzika jako vnitřní produkt v komplexu Hilbertův prostor. V takových případech je standardní hermitovský formulář zapnut $C n$ darováno

{ displaystyle langle w, z rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

kde ${ displaystyle { overline {w}} _ {i}}$ označuje komplexní konjugát z ${ displaystyle w_ {i} ~.}$ Tento produkt lze zobecnit na situace, kdy člověk nepracuje s ortonormálním základem $C n$ , nebo dokonce jakýkoli základ vůbec. Vložením dalšího faktoru ${ displaystyle i}$ do produktu získá jeden šikmo-poustevnická forma, přesněji definováno níže. Neexistuje žádný zvláštní důvod omezit definici na komplexní čísla; to může být definováno pro libovolný prsteny nesoucí antiautomorfismus, neformálně chápán jako zobecněný koncept „komplexní konjugace“ pro kruh.

Konvence

Konvence se liší, pokud jde o to, který argument by měl být lineární. V komutativním případě vezmeme první lineární, jak je běžné v matematické literatuře, s výjimkou části věnované sesquilineárním formám na komplexních vektorových prostorech. Tam použijeme druhou konvenci a první argument považujeme za konjugovaný-lineární (tj. Antilineární) a druhý za lineární. Toto je konvence používaná většinou fyziky^[1] a pochází z Dirac braketová notace v kvantová mechanika.

V obecnějším nekomutativním nastavení s pravými moduly považujeme druhý argument za lineární a u levých modulů za první argument lineární.

Složité vektorové prostory

Předpoklad: V této části jsou seskvilineární formy antilineární (resp. lineární ) ve svém prvním (resp. druhém) argumentu.

Přes složitý vektorový prostor $PROTI$ mapa $φ : PROTI \times PROTI \to C$ je sesquilineární, pokud

{ displaystyle { begin {zarovnáno} & varphi (x + y, z + w) = varphi (x, z) + varphi (x, w) + varphi (y, z) + varphi (y , w) & varphi (ax, by) = { overline {a}} b , varphi (x, y) end {zarovnáno}}}

pro všechny $X, y, z, w$ v $PROTI$ a všechno $A, b$ v $C$ . $A$ je komplexní konjugát $A$ .

Na komplexní sesquilineární formu lze také pohlížet jako na komplex bilineární mapa

{ displaystyle { overline {V}} krát V to mathbf {C}}

kde $PROTI$ je komplexní konjugovaný vektorový prostor na $PROTI$ . Podle univerzální vlastnictví z tenzorové výrobky jedná se o individuální korespondenci se složitými lineárními mapami

{ displaystyle { overline {V}} mnohokrát V to mathbf {C}.}

Pro pevné $z$ v $PROTI$ mapa $w \mapsto φ (z, w)$ je lineární funkční na $PROTI$ (tj. prvek dvojí prostor $PROTI *$ ). Stejně tak mapa $w \mapsto φ (w, z)$ je konjugát-lineární funkční na $PROTI$ .

Vzhledem k jakékoli složité sesquilineární formě $φ$ na $PROTI$ můžeme definovat druhou komplexní sesquilineární formu $ψ$ přes konjugovat transponovat:

{ displaystyle psi (w, z) = { overline { varphi (z, w)}}.}

Obecně, $ψ$ a $φ$ bude jiný. Pokud jsou tedy stejné $φ$ se říká, že je Hermitian. Pokud jsou navzájem negativy, pak $φ$ se říká, že je šikmo-poustevník. Každá sesquilineární forma může být zapsána jako součet hermitovské formy a šikmo-hermitovské formy.

Maticová reprezentace

Li $PROTI$ je konečný trojrozměrný komplexní vektorový prostor, pak relativní k jakémukoli základ ${E i}$ z $PROTI$ , sesquilineární forma je reprezentována a matice $Φ$ , $w$ vektorem sloupce $w$ , a $z$ vektorem sloupce $z$ :

{ Displaystyle varphi (w, z) = varphi left ( sum _ {i} w_ {i} e_ {i}, sum _ {j} z_ {j} e_ {j} right) = sum _ {i} sum _ {j} { overline {w_ {i}}} z_ {j} varphi (e_ {i}, e_ {j}) = { overline { mathbf {w}}} ^ { mathrm {T}} mathbf { Phi} mathbf {z}.}

Součásti $Φ$ jsou dány $Φ ij = φ (E i, E j)$ .

Poustevnická forma

Termín Poustevnická forma může také odkazovat na jiný koncept, než který je vysvětlen níže: může odkazovat na určitý diferenciální forma na Hermitian potrubí.

Komplex Poustevnická forma (také nazývaný a symetrická seskvilineární forma), je sesquilineární forma $h : PROTI \times PROTI \to C$ takhle

{ displaystyle h (w, z) = { overline {h (z, w)}}.}

Standardní poustevnický formulář $C n$ je dáno (opět pomocí „fyzikální“ konvence linearity ve druhé a konjugované linearity v první proměnné)

{ displaystyle langle w, z rangle = sum _ {i = 1} ^ {n} { overline {w}} _ {i} z_ {i}.}

Obecněji, vnitřní produkt v jakémkoli komplexu Hilbertův prostor je hermitovská forma.

V hermitovské formě je zavedeno znaménko mínus ${ displaystyle ww ^ {*} - zz ^ {*}}$ definovat skupinu SU (1,1).

Vektorový prostor s hermitovskou formou $(PROTI, h)$ se nazývá a Poustevnický prostor.

Maticová reprezentace komplexní hermitovské formy je a Hermitova matice.

Složitá hermitovská forma aplikovaná na jediný vektor

{ displaystyle | z | _ {h} = h (z, z)}

je vždy nemovitý. Lze ukázat, že komplexní sesquilineární forma je Hermitian iff související kvadratická forma je skutečná pro všechny $z \in PROTI$ .

Skew-Hermitian forma

Komplex šikmo-hermitovská forma (nazývané také antisymetrická seskvilineární forma), je komplexní sesquilineární forma $s : PROTI \times PROTI \to C$ takhle

{ displaystyle s (w, z) = - { overline {s (z, w)}}.}

Každá složitá šikmo-hermitovská forma může být napsána jako $i$ krát hermitovská forma.

Maticová reprezentace složité šikmo-hermitovské formy je a šikmo-hermitovská matice.

Složitá šikmo-hermitovská forma aplikovaná na jediný vektor

{ displaystyle | z | _ {s} = s (z, z)}

je vždy čistě imaginární.

Přes divizní kruh

Tato část platí beze změny, když rozdělí prsten $K.$ je komutativní. Pak platí také konkrétnější terminologie: dělicí kruh je pole, antiautomorfismus je také automorfismus a pravý modul je vektorový prostor. Následující text se týká levého modulu s vhodným přeuspořádáním výrazů.

Definice

A $σ$ -sequilineární forma přes právo $K.$ -modul $M$ je bi-aditivní mapa $φ : M \times M \to K.$ s přidruženým anti-automorfismus $σ$ a dělící prsten $K.$ takové, že pro všechny $X, y$ v $M$ a všechno $α, β$ v $K.$ ,

{ displaystyle varphi (x alfa, y beta) = sigma ( alfa) , varphi (x, y) , beta.}

Související anti-automorfismus $σ$ pro jakoukoli nenulovou sesquilineární formu $φ$ je jednoznačně určeno $φ$ .

Ortogonalita

Vzhledem k sesquilineární formě $φ$ přes modul $M$ a podprostor (submodul ) $Ž$ z $M$ , ortogonální doplněk z $Ž$ s ohledem na $φ$ je

{ displaystyle W ^ { perp} = { mathbf {v} in M ​​ mid varphi ( mathbf {v}, mathbf {w}) = 0, forall mathbf {w} in W }.}

Podobně, $X \in M$ je ortogonální na $y \in M$ s ohledem na $φ$ , psaný $X ⊥ φ y$ (nebo jednoduše $X ⊥ y$ -li $φ$ lze odvodit z kontextu), když $φ (X, y) = 0$ . Tento vztah nemusí být symetrický, tj. $X ⊥ y$ neznamená $y ⊥ X$ (ale viz § Reflexivita níže).

Reflexivita

Sesquilineární forma $φ$ je reflexní pokud pro všechny $X, y$ v $M$ ,

{ displaystyle varphi (x, y) = 0}

naznačuje

{ displaystyle varphi (y, x) = 0.}

To znamená, že sesquilineární forma je reflexivní přesně tehdy, když je odvozený vztah ortogonality symetrický.

Hermitovské variace

A $σ$ -sequilineární forma $φ$ je nazýván $(σ, ε)$ -Hermitian pokud existuje $ε$ v $K.$ takové, že pro všechny $X, y$ v $M$ ,

{ displaystyle varphi (x, y) = sigma ( varphi (y, x)) , varepsilon.}

Li $ε = 1$ , formulář se nazývá $σ$ -Hermitian, a pokud $ε = -1$ , to se nazývá $σ$ -anti-poustevník. (Když $σ$ je implicitní, respektive jednoduše Hermitian nebo anti-poustevník.)

Pro nenulovou hodnotu $(σ, ε)$ -Hermitovská forma, z toho vyplývá, že pro všechny $α$ v $K.$ ,

{ displaystyle sigma ( varepsilon) = varepsilon ^ {- 1}}

{ displaystyle sigma ( sigma ( alfa)) = varepsilon alpha varepsilon ^ {- 1}.}

Z toho také vyplývá $φ (X, X)$ je pevný bod mapy $α \mapsto σ (α) ε$ . Pevné body této mapy z a podskupina z aditivní skupina z $K.$ .

A $(σ, ε)$ -Hermitovská forma je reflexivní a každá reflexivní $σ$ -sequilineární forma je $(σ, ε)$ -Pro některé poustevník $ε$ .^[2]^[3]^[4]^[5]

Ve zvláštním případě $σ$ je mapa identity (tj., $σ = id$ ), $K.$ je komutativní $φ$ je bilineární forma a $ε 2 = 1$ . Pak pro $ε = 1$ nazývá se bilineární forma symetrický, a pro $ε = -1$ je nazýván šikmo symetrický.^[6]

Příklad

Nechat $PROTI$ být trojrozměrný vektorový prostor nad konečné pole $F = GF (q 2)$ , kde $q$ je hlavní síla. S ohledem na standardní základ můžeme psát $X = (X 1, X 2, X 3)$ a $y = (y 1, y 2, y 3)$ a definujte mapu $φ$ podle:

{ displaystyle varphi (x, y) = x_ {1} y_ {1} {} ^ {q} + x_ {2} y_ {2} {} ^ {q} + x_ {3} y_ {3} { } ^ {q}.}

Mapa $σ : t \mapsto t q$ je nedobrovolný automorfismus z $F$ . Mapa $φ$ je pak a $σ$ -sequilineární forma. Matice $M φ$ k tomuto formuláři je přidružen matice identity. Toto je poustevnická forma.

V projektivní geometrii

Předpoklad: V této části jsou sesquilineární formy antilineární (resp. lineární ) ve svém druhém (resp. prvním) argumentu.

V projektivní geometrie $G$ , a permutace $δ$ subprostorů, které invertují zařazení, tj.

S \subseteq T \Rightarrow T δ \subseteq S δ

pro všechny podprostory

S

,

T

z

G

,

se nazývá a korelace. Výsledek Birkhoffa a von Neumanna (1936)^[7] ukazuje, že korelace desarguesian projektivní geometrie odpovídají nedgenerovaným seskvilineárním formám na podkladovém vektorovém prostoru.^[5] Sesquilineární forma $φ$ je nedegenerovat -li $φ (X, y) = 0$ pro všechny $y$ v $PROTI$ (pokud a) pouze pokud $X = 0$ .

K dosažení úplné obecnosti tohoto tvrzení a protože každá desarguesiánská projektivní geometrie může být koordinována pomocí a dělící prsten, Reinhold Baer rozšířil definici sesquilineární formy na dělicí kruh, který vyžaduje nahrazení vektorových prostorů $R$ - moduly.^[8] (V geometrické literatuře se o nich stále hovoří jako o levém nebo pravém vektorovém prostoru nad zkosenými poli.)^[9]

Přes libovolné kroužky

Specializace výše uvedené sekce na zkosená pole byla důsledkem aplikace na projektivní geometrii a nebyla podstatou povahy sesquilineárních forem. K zobecnění verze definice libovolného pole definice na libovolné prstence jsou nutné pouze drobné úpravy potřebné k zohlednění nekomutativity násobení.

Nechat $R$ být prsten, $PROTI$ an $R$ -modul a $σ$ an antiautomorfismus z $R$ .

Mapa $φ : PROTI \times PROTI \to R$ je $σ$ -sequilineární -li

{ displaystyle varphi (x + y, z + w) = varphi (x, z) + varphi (x, w) + varphi (y, z) + varphi (y, w)}

{ displaystyle varphi (cx, dy) = c , varphi (x, y) , sigma (d)}

pro všechny $X, y, z, w$ v $PROTI$ a všechno $C, d$ v $R$ .

Prvek $X$ je ortogonální k jinému prvku $y$ s ohledem na sesquilineární formu $φ$ (psaný $X ⊥ y$ ) pokud $φ (X, y) = 0$ . Tento vztah nemusí být symetrický, tj. $X ⊥ y$ neznamená $y ⊥ X$ .

Sesquilineární forma $φ : PROTI \times PROTI \to R$ je reflexní (nebo ortosymetrické) pokud $φ (X, y) = 0$ naznačuje $φ (y, X) = 0$ pro všechny $X, y$ v $PROTI$ .

Sesquilineární forma $φ : PROTI \times PROTI \to R$ je Hermitian pokud existuje $σ$ takhle^[10]^:325

{ displaystyle varphi (x, y) = sigma ( varphi (y, x))}

pro všechny $X, y$ v $PROTI$ . Hermitovská forma je nutně reflexivní, a pokud je nenulová, s tím spojený antiautomorfismus $σ$ je involuce (tj. objednávky 2).

Protože za antiautomorfismus $σ$ my máme $σ (Svatý) = σ (t) σ (s)$ pro všechny $s, t$ v $R$ , pokud $σ = id$ , pak $R$ musí být komutativní a $φ$ je bilineární forma. Zejména pokud v tomto případě $R$ je tedy skewfield $R$ je pole a $PROTI$ je vektorový prostor s bilineární formou.

Antiautomorfismus $σ : R \to R$ lze také zobrazit jako izomorfismus $R \to R op$ , kde $R op$ je protilehlý prsten z $R$ , který má stejnou základní sadu a stejné přidání, ale jehož operace násobení ( $*$ ) je definován $A * b = ba$ , kde je produkt vpravo produkt v $R$ . Z toho vyplývá, že vpravo (vlevo) $R$ -modul $PROTI$ lze změnit na levou (pravou) $R op$ -modul, $PROTI Ó$ .^[11] Tedy sesquilineární forma $φ : PROTI \times PROTI \to R$ lze nahlížet jako na bilineární formu $φ' : PROTI \times PROTI Ó \to R$ .

Viz také

*-prsten

Poznámky

^ poznámka pod čarou 1 palce Anthony Knapp Základní algebra (2007), str. 255
^ "Combinatorics", Sborník Ústavu pro pokročilé studium NATO, konaného na zámku Nijenrode, Breukelen, Nizozemsko, 8. – 20. Července 1974, D. Reidel: 456–457, 1975 – [1]
^ Sesquilineární forma ve společnosti EOM
^ Simeon Ball (2015), Konečná geometrie a kombinatorické aplikace, Cambridge University Press, str. 28 – [2]
^ ^A ^b Dembowski 1968, str. 42
^ Když $char K. = 2$ „Od té doby se symetrické a symetrické bilineární formy shodují $1 = -1$ . Ve všech případech jsou střídající se bilineární formy podmnožinou symetrických bilineárních forem se zkosením a nemusí být brány v úvahu samostatně.
^ Birkhoff, G .; von Neumann, J. (1936), „Logika kvantové mechaniky“, Annals of Mathematics, 37: 823–843, doi:10.2307/1968621
^ Baer, Reinhold (2005) [1952], Lineární algebra a projektivní geometrieDover, ISBN 978-0-486-44565-6
^ Baerova terminologie poskytuje třetí způsob, jak na tyto myšlenky odkazovat, takže je třeba jej číst opatrně.
^ Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Moderní projektivní geometrie, Kluwer Academic Publishers
^ Jacobson 2009, str. 164

Reference

Dembowski, Peter (1968), Konečné geometrie, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, PAN 0233275
Gruenberg, K.W .; Weir, A.J. (1977), Lineární geometrie (2. vyd.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Základní algebra I (2. vyd.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

externí odkazy

"Sesquilinear form", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]

[1] známka pod čarou 1 palce Anthony Knapp Základní algebra (2007), str. 255

[2] "Combinatorics", Sborník Ústavu pro pokročilé studium NATO, konaného na zámku Nijenrode, Breukelen, Nizozemsko, 8. – 20. Července 1974, D. Reidel: 456–457, 1975 – [1]

[3] Sesquilineární forma ve společnosti EOM

[4] Simeon Ball (2015), Konečná geometrie a kombinatorické aplikace, Cambridge University Press, str. 28 – [2]

[Demb42-5] A ^b Dembowski 1968, str. 42

[6] Když $char K. = 2$ „Od té doby se symetrické a symetrické bilineární formy shodují $1 = -1$ . Ve všech případech jsou střídající se bilineární formy podmnožinou symetrických bilineárních forem se zkosením a nemusí být brány v úvahu samostatně.

[7] Birkhoff, G .; von Neumann, J. (1936), „Logika kvantové mechaniky“, Annals of Mathematics, 37: 823–843, doi:10.2307/1968621

[8] Baer, Reinhold (2005) [1952], Lineární algebra a projektivní geometrieDover, ISBN 978-0-486-44565-6

[9] Baerova terminologie poskytuje třetí způsob, jak na tyto myšlenky odkazovat, takže je třeba jej číst opatrně.

[10] Faure, Claude-Alain; Frölicher, Alfred (2000), Moderní projektivní geometrie, Kluwer Academic Publishers

[11] Jacobson 2009, str. 164

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

Hilbertovy prostory
Základní pojmy	Sousední Vnitřní produkt a L-polo-vnitřní produkt Hilbertův prostor a Prehilbertův prostor
Hlavní výsledky	Besselova nerovnost Cauchy – Schwarzova nerovnost Rieszovo zastoupení
Další výsledky	Parsevalova identita Polarizační identita
Mapy	Kompaktní operátor na Hilbertově prostoru Hustě definované Poustevnická forma Hilbert – Schmidt Normální Samonastavitelný Sesquilineární forma Sledovací třída Unitary
Příklady	Cⁿ(K.) s K. kompaktní & n<∞ Segal – Bargmann F