Hustě definovaný operátor - Densely defined operator
v matematika - konkrétně v teorie operátorů - a hustě definovaný operátor nebo částečně definovaný operátor je typ částečně definované funkce. V topologické smysl, to je lineární operátor to je definováno "téměř všude ". Hustě definované operátory často vznikají v funkční analýza jako operace, které bychom chtěli použít na větší třídu objektů, než pro které jsou a priori "dávat smysl".
Definice
A hustě definované lineární operátor T od jednoho topologický vektorový prostor, Xk dalšímu, Y, je lineární operátor, který je definován na a hustý lineární podprostorový dom (T) z X a bere hodnoty dovnitř Y, psaný T : dom (T) ⊆ X → Y. Někdy se to zkracuje jako T : X → Y když to kontext jasně ukáže X nemusí být teoretická množina doména z T.
Příklady
- Zvažte prostor C0([0, 1]; R) ze všech skutečný, spojité funkce definované na jednotkovém intervalu; nechat C1([0, 1]; R) označuje podprostor skládající se ze všeho spojitě diferencovatelné funkce. Vybavit C0([0, 1]; R) s nadřazená norma ||·||∞; to dělá C0([0, 1]; R) do reálného Banachův prostor. The operátor diferenciace D dané
- je hustě definovaný operátor z C0([0, 1]; R) sám o sobě, definovaný na hustém podprostoru C1([0, 1]; R). Operátor D je příkladem neomezený lineární operátor, od té doby
- má
- Tato neomezenost způsobuje problémy, pokud si přejeme nějakým způsobem nepřetržitě rozšiřovat operátor diferenciace D na celý C0([0, 1]; R).
- The Paley – Wienerův integrál, na druhé straně je příkladem nepřetržitého rozšiřování hustě definovaného operátoru. V každém abstraktní Wienerův prostor i : H → E s adjoint j = i∗ : E∗ → H, existuje přirozený spojitý lineární operátor (ve skutečnosti je to zahrnutí a je izometrie ) z j(E∗) až L2(E, y; R), pod kterými j(F) ∈ j(E∗) ⊆ H jde do třída ekvivalence [F] z F v L2(E, y; R). Není těžké to ukázat j(E∗) je hustá v H. Jelikož výše uvedená inkluze je spojitá, existuje jedinečné spojité lineární prodloužení Já : H → L2(E, y; R) zařazení j(E∗) → L2(E, y; R) na celý H. Toto rozšíření je mapa Paley – Wiener.
Reference
- Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. str. xiv + 434. ISBN 0-387-00444-0. PAN 2028503.