Sférické harmonické - Spherical harmonics

Vizuální znázornění prvních několika skutečných sférických harmonických. Modré části představují oblasti, kde je funkce pozitivní, a žluté části představují oblasti, kde je záporná. Vzdálenost povrchu od počátku udává absolutní hodnotu ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, phi)}$ v úhlovém směru ${ displaystyle ( theta, phi)}$.

v matematika a fyzická věda, sférické harmonické jsou speciální funkce definované na povrchu a koule. Často se používají při řešení parciální diferenciální rovnice v mnoha vědeckých oborech.

Protože sférické harmonické tvoří úplnou sadu ortogonální funkce a tím i ortonormální základ, každou funkci definovanou na povrchu koule lze zapsat jako součet těchto sférických harmonických. To je podobné jako periodické funkce definované na kružnici, kterou lze vyjádřit jako součet kruhové funkce (sinusy a kosiny) prostřednictvím Fourierova řada. Stejně jako sinusy a kosiny v Fourierových řadách mohou být sférické harmonické uspořádány pomocí (prostorové) úhlová frekvence, jak je vidět v řadách funkcí na obrázku vpravo. Dále jsou sférické harmonické základní funkce pro neredukovatelné reprezentace z SO (3), skupina rotací ve třech rozměrech, a hrají tak ústřední roli v skupinový teoretik diskuse o SO (3).

Sférické harmonické vycházejí z řešení Laplaceova rovnice ve sférických doménách. Funkce, které řeší Laplaceovu rovnici, se nazývají harmonické. Přes své jméno mají sférické harmonické svou nejjednodušší podobu Kartézské souřadnice, kde je lze definovat jako homogenní polynomy stupeň ${ displaystyle ell}$ v ${ displaystyle (x, y, z)}$ že poslouchají Laplaceovu rovnici. Spojení s sférické souřadnice vzniká okamžitě, pokud použijeme homogenitu k extrakci faktoru ${ displaystyle r ^ { ell}}$ z výše uvedeného polynomu stupně ${ displaystyle ell}$; zbývající faktor lze považovat za funkci sférických úhlových souřadnic ${ displaystyle theta}$ a ${ displaystyle varphi}$ pouze nebo ekvivalentně vektoru orientační jednotky ${ displaystyle { mathbf {r}}}$ specifikovaný těmito úhly. V tomto nastavení lze na ně pohlížet jako na úhlovou část souboru řešení Laplaceovy rovnice ve třech rozměrech a toto hledisko je často bráno jako alternativní definice.

Specifická sada sférických harmonických, označená ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi)}$ nebo ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {r}})}$, jsou známé jako Laplaceovy sférické harmonické, jak byly poprvé představeny Pierre Simon de Laplace v roce 1782.^[1] Tyto funkce tvoří ortogonální systému, a jsou tedy základem pro rozšíření obecné funkce v oblasti, jak již bylo zmíněno výše.

Sférické harmonické jsou důležité v mnoha teoretických a praktických aplikacích, včetně reprezentace vícepólový elektrostatické a elektromagnetické pole, elektronové konfigurace, gravitační pole, geoidy, magnetické pole planetárních těles a hvězd a kosmické mikrovlnné záření na pozadí. v 3D počítačová grafika, sférické harmonické hrají roli v celé řadě témat, včetně nepřímého osvětlení (ambient occlusion, globální osvětlení, předpočítaný přenos radiance atd.) a modelování 3D tvarů.

Dějiny

Sférické harmonické byly nejprve zkoumány v souvislosti s Newtonovský potenciál z Newtonův zákon univerzální gravitace ve třech rozměrech. V roce 1782 Pierre-Simon de Laplace měl ve svém Mécanique Céleste, určil, že gravitační potenciál ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R}}$ v určitém okamžiku X spojené se sadou bodových hmot m_i nachází se v bodech X_i byl dán

${ displaystyle V ( mathbf {x}) = součet _ {i} { frac {m_ {i}} {| mathbf {x} _ {i} - mathbf {x} |}}.}$

Každý člen ve výše uvedeném součtu je individuálním newtonovským potenciálem pro bodovou hmotu. Těsně před touto dobou Adrien-Marie Legendre zkoumal expanzi newtonovského potenciálu v moci r = |X| a r₁ = |X₁|. Zjistil, že pokud r ≤ r₁ pak

${ displaystyle { frac {1} {| mathbf {x} _ {1} - mathbf {x} |}} = P_ {0} ( cos gamma) { frac {1} {r_ {1 }}} + P_ {1} ( cos gamma) { frac {r} {r_ {1} ^ {2}}} + P_ {2} ( cos gamma) { frac {r ^ {2 }} {r_ {1} ^ {3}}} + cdots}$

kde γ je úhel mezi vektory X a X₁. Funkce ${ displaystyle P_ {i}: [- 1,1] to mathbb {R}}$ jsou Legendární polynomy a lze je odvodit jako speciální případ sférických harmonických. Následně ve svém memoáru z roku 1782 Laplace zkoumal tyto koeficienty pomocí sférických souřadnic, které představují úhel γ mezi X₁ a X. (Vidět Aplikace Legendrových polynomů ve fyzice pro podrobnější analýzu.)

V roce 1867 William Thomson (Lord Kelvin) a Peter Guthrie Tait představil pevné sférické harmonické v jejich Pojednání o přírodní filozofii, a také poprvé zavedl název „sférické harmonické“ pro tyto funkce. The pevné harmonické byly homogenní polynomiální řešení ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {R}}$ z Laplaceova rovnice

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné z ^ {2}}} = 0.}$

Zkoumáním Laplaceovy rovnice ve sférických souřadnicích Thomson a Tait obnovili Laplaceovu sférickou harmoniku. (Viz níže uvedená část „Harmonické polynomické znázornění“.) Termín „Laplaceovy koeficienty“ použil William Whewell popsat konkrétní systém řešení zavedený v tomto duchu, zatímco ostatní si toto označení vyhrazili pro zonální sférické harmonické které správně představili Laplace a Legendre.

Vývoj 19. století Fourierova řada umožnilo řešení nejrůznějších fyzických problémů v pravoúhlých doménách, jako je řešení rovnice tepla a vlnová rovnice. Toho lze dosáhnout rozšířením funkcí v sérii trigonometrické funkce. Zatímco trigonometrické funkce ve Fourierově řadě představují základní režimy vibrací v a tětiva, sférické harmonické představují základní režimy vibrace koule stejným způsobem. Mnoho aspektů teorie Fourierových řad lze zobecnit tak, že se spíše použijí rozšíření sférických harmonických než trigonometrických funkcí. Analogicky k tomu, jak lze ekvivalentně zapsat trigonometrické funkce jako komplexní exponenciály, sférické harmonické také měly ekvivalentní formu jako funkce s komplexní hodnotou. To bylo požehnáním za problémy s vlastnictvím sférická symetrie, jako jsou mechaniky nebeské mechaniky původně studované Laplaceem a Legendrem.

Prevalence sférických harmonických již ve fyzice připravila půdu pro jejich pozdější význam při zrodu 20. století kvantová mechanika. (S komplexní hodnotou) sférické harmonické ${ displaystyle S ^ {2} to mathbb {C}}$ jsou vlastní funkce náměstí náměstí orbitální moment hybnosti operátor

${ displaystyle -i hbar mathbf {r} krát nabla,}$

a proto představují různé kvantováno konfigurace atomové orbitaly.

Laplaceovy sférické harmonické

Skutečné (Laplaceovy) sférické harmonické Y_.m pro ℓ = 0, …, 4 (shora dolů) a m = 0, …, ℓ (zleva do prava). Zónové, sektorové a tesserální harmonické jsou zobrazeny podél sloupce nejvíce vlevo, hlavní úhlopříčky a jinde. (Harmonické složky záporného řádu ${ displaystyle Y _ { ell (-m)}}$ bude zobrazen otočený kolem z osa o ${ displaystyle 90 ^ { circ} / m}$ s ohledem na ty pozitivní pořadí.)

Alternativní obrázek pro skutečné sférické harmonické ${ displaystyle Y _ { ell m}}$.

Laplaceova rovnice ukládá, že Laplacian skalárního pole F je nula. (Zde se skalární pole chápe jako složité, tj. Odpovídá (hladké) funkci ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$.) V sférické souřadnice tohle je:^[2]

${ displaystyle nabla ^ {2} f = { frac {1} {r ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r ^ {2} { frac { částečné f} { částečné r}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin theta { frac { částečné f} { částečné theta}} pravé) + { frac {1} {r ^ {2} sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2} f} { částečné varphi ^ {2}}} = 0.}$

Zvažte problém hledání řešení formuláře F(r, θ, φ) = R(r) Y(θ, φ). Podle oddělení proměnných, dvě diferenciální rovnice vyplývají z uložení Laplaceovy rovnice:

${ displaystyle { frac {1} {R}} { frac {d} {dr}} left (r ^ {2} { frac {dR} {dr}} right) = lambda, qquad { frac {1} {Y}} { frac {1} { sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta}} vlevo ( sin theta { frac { částečné Y} { částečné theta}} pravé) + { frac {1} {Y}} { frac {1} { sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2} Y} { částečné varphi ^ {2}}} = - lambda.}$

Druhá rovnice může být zjednodušena za předpokladu, že Y má formu Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Opětovné použití oddělení proměnných na druhou rovnici ustoupí dvojici diferenciálních rovnic

${ displaystyle { frac {1} { Phi}} { frac {d ^ {2} Phi} {d varphi ^ {2}}} = - m ^ {2}}$

${ displaystyle lambda sin ^ {2} theta + { frac { sin theta} { Theta}} { frac {d} {d theta}} left ( sin theta { frac {d Theta} {d theta}} right) = m ^ {2}}$

pro nějaké číslo m. A priori, m je složitá konstanta, ale protože Φ musí být periodická funkce jehož období se rovnoměrně dělí 2π, m je nutně celé číslo a Φ je lineární kombinace komplexních exponenciálů E^{± imφ}. Funkce řešení Y(θ, φ) je pravidelný na pólech koule, kde θ = 0, π. Uložení této pravidelnosti do řešení Θ druhé rovnice v hraničních bodech domény je a Sturm – Liouvilleův problém který vynutí parametr λ být ve formě λ = ℓ (ℓ + 1) pro nějaké nezáporné celé číslo s ℓ ≥ |m|; to je také vysvětleno níže z hlediska orbitální moment hybnosti. Dále změna proměnných t = cos θ transformuje tuto rovnici na Legendrova rovnice, jehož řešení je násobkem přidružený Legendrov polynom P_ℓ^m(cos θ) . Nakonec rovnice pro R má řešení této formy R(r) = R^ℓ + B r^{−ℓ − 1}; vyžadující, aby řešení bylo po celou dobu pravidelné R³ síly B = 0.^[3]

Zde se předpokládalo, že řešení bude mít speciální formu Y(θ, φ) = Θ (θ) Φ (φ). Pro danou hodnotu ℓ, existují 2ℓ + 1 nezávislá řešení této formy, jedno pro každé celé číslo m s −ℓ ≤ m ≤ ℓ. Tato úhlová řešení ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}: S ^ {2} to mathbb {C}}$ jsou produktem trigonometrické funkce, zde reprezentován jako komplexní exponenciální a související legendární polynomy:

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = Ne ^ {im varphi} P _ { ell} ^ {m} ( cos { theta})}$

které splňují

${ displaystyle r ^ {2} nabla ^ {2} Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = - ell ( ell +1) Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi).}$

Tady ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}: S ^ {2} to mathbb {C}}$ se nazývá a sférická harmonická funkce stupně ℓ a objednat m, ${ displaystyle P _ { ell} ^ {m}: [- 1,1] to mathbb {R}}$ je přidružený Legendrov polynom, N je normalizační konstanta a θ a φ představují souřadnici a délku. Zejména soudržnost θ, nebo polární úhel, se pohybuje od 0 na severním pólu, do π/2 na rovníku, do π na jižním pólu a zeměpisná délka φnebo azimut, může převzít všechny hodnoty pomocí 0 ≤ φ < 2π. Pro pevné celé číslo ℓ, každé řešení Y(θ, φ), ${ displaystyle Y: S ^ {2} to mathbb {C}}$, problému s vlastním číslem

${ displaystyle r ^ {2} nabla ^ {2} Y = - ell ( ell +1) Y}$

je lineární kombinace z Y_ℓ^m${ displaystyle: S ^ {2} to mathbb {C}}$. Ve skutečnosti pro každé takové řešení r^ℓ Y(θ, φ) je výraz ve sférických souřadnicích a homogenní polynom ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$ to je harmonické (viz níže ), a tak počítání dimenzí ukazuje, že existují 2ℓ + 1 lineárně nezávislé takové polynomy.

Obecné řešení ${ displaystyle f: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$ na Laplaceova rovnice ${ displaystyle Delta f = 0}$ v kouli se středem na počátku je a lineární kombinace sférických harmonických funkcí vynásobených příslušným měřítkem r^ℓ,

${ displaystyle f (r, theta, varphi) = součet _ { ell = 0} ^ { infty} součet _ {m = - ell} ^ { ell} f _ { ell} ^ { m} r ^ { ell} Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi),}$

Kde ${ displaystyle f _ { ell} ^ {m} v mathbb {C}}$ jsou konstanty a faktory r^ℓ Y_ℓ^m jsou známé jako (pravidelný) pevné harmonické ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$. Taková expanze je platná v míč

${ displaystyle r$

Pro ${ displaystyle r> R}$, pevné harmonické se zápornými silami ${ displaystyle r}$ (dále jen nepravidelný pevné harmonické ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} setminus { mathbf {0} } do mathbb {C}}$) jsou vybrány místo. V takovém případě je třeba rozšířit řešení známých oblastí v Laurentova řada (o ${ displaystyle r = infty}$), místo Taylor série (o ${ displaystyle r = 0}$) použité výše, aby se termíny shodovaly a našly koeficienty rozšíření série ${ displaystyle f _ { ell} ^ {m} v mathbb {C}}$.

Orbitální moment hybnosti

V kvantové mechanice jsou Laplaceovy sférické harmonické chápány z hlediska orbitální moment hybnosti^[4]

${ displaystyle mathbf {L} = -i hbar ( mathbf {x} krát mathbf { nabla}) = L_ {x} mathbf {i} + L_ {y} mathbf {j} + L_ {z} mathbf {k}.}$

The ħ je v kvantové mechanice konvenční; je vhodné pracovat v jednotkách, ve kterých ħ = 1. Sférické harmonické jsou vlastní funkce čtverce orbitálního momentu hybnosti

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbf {L} ^ {2} & = - r ^ {2} nabla ^ {2} + doleva (r { frac { částečné} { částečné r}} +1 vpravo) r { frac { částečné} { částečné r}} & = - { frac {1} { sin theta}} { frac { částečné} { částečné theta} } sin theta { frac { částečné} { částečné theta}} - { frac {1} { sin ^ {2} theta}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné varphi ^ {2}}}. end {zarovnáno}}}$

Laplaceovy sférické harmonické jsou společnými vlastními funkcemi čtverce orbitálního momentu hybnosti a generátoru rotací kolem azimutální osy:

${ displaystyle { begin {aligned} L_ {z} & = - i left (x { frac { částečné} { částečné y}} - y { frac { částečné} { částečné x}} vpravo) & = - i { frac { částečné} { částečné varphi}}. end {zarovnáno}}}$

Tito operátoři dojíždějí a jsou hustě definované operátoři s vlastním nastavením na vážený Hilbertův prostor funkcí F čtvercově integrovatelný s ohledem na normální distribuce jako zapnutá váhová funkce R³:

${ displaystyle { frac {1} {(2 pi) ^ {3/2}}} int _ { mathbf {R} ^ {3}} | f (x) | ^ {2} e ^ { - | x | ^ {2} / 2} , dx < infty.}$

Dále L² je pozitivní operátor.

Li Y je společná vlastní funkce L² a L_z, pak podle definice

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {L} ^ {2} Y & = lambda Y L_ {z} Y & = mY end {aligned}}}$

pro některá reálná čísla m a λ. Tady m ve skutečnosti musí být celé číslo pro Y musí být periodické v souřadnici φ s periodou číslo, které rovnoměrně dělí 2π. Kromě toho od

${ displaystyle mathbf {L} ^ {2} = L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}}$

a každý z nich L_X, L_y, L_z jsou self-adjoint, z toho vyplývá, že λ ≥m².

Označte tento společný vlastní prostor pomocí E_λ,ma definujte zvedání a spouštění operátorů podle

${ displaystyle { begin {aligned} L _ {+} & = L_ {x} + iL_ {y} L _ {-} & = L_ {x} -iL_ {y} end {aligned}}}$

Pak L₊ a L₋ dojíždět s L²a Lieova algebra generovaná L₊, L₋, L_z je speciální lineární Lieova algebra objednávky 2, ${ displaystyle { mathfrak {sl}} _ {2} ( mathbb {C})}$, s komutačními vztahy

${ displaystyle [L_ {z}, L _ {+}] = L _ {+}, quad [L_ {z}, L _ {-}] = - L _ {-}, quad [L _ {+}, L_ { -}] = 2L_ {z}.}$

Tím pádem L₊ : E_λ,m → E_λ,m+1 (jedná se o „operátora zvyšování“) a L₋ : E_λ,m → E_λ,m−1 (je to „spouštěcí operátor“). Zejména, L^k
₊ : E_λ,m → E_λ,m+k musí být nula pro k dostatečně velká, protože nerovnost λ ≥m² musí držet v každém z netriviálních společných vlastních prostorů. Nechat Y ∈ E_λ,m být nenulovou společnou vlastní funkcí a nechat k být nejméně celé číslo takové, že

${ displaystyle L _ {+} ^ {k} Y = 0.}$

Pak od té doby

${ displaystyle L _ {-} L _ {+} = mathbf {L} ^ {2} -L_ {z} ^ {2} -L_ {z}}$

z toho vyplývá, že

${ displaystyle 0 = L _ {-} L _ {+} ^ {k} Y = ( lambda - (m + k) ^ {2} - (m + k)) Y.}$

Tedy λ = ℓ (ℓ + 1) pro kladné celé číslo ℓ = m+k.

Výše uvedené bylo zpracováno ve sférické souřadnicové reprezentaci, ${ displaystyle langle theta, phi | lm rangle = Y_ {l} ^ {m} ( theta, phi)}$ ale mohou být vyjádřeny abstraktněji v úplném, ortonormálním sférický ket základ.

Harmonické polynomické znázornění

Viz také část níže o sférických harmonických ve vyšších dimenzích.

Sférické harmonické lze vyjádřit jako omezení jednotkové sféry určitých polynomiálních funkcí ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$. Konkrétně říkáme, že polynomiální funkce (s komplexní hodnotou) ${ displaystyle p: mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$ je homogenní stupně ${ displaystyle ell}$ -li

${ displaystyle p ( lambda mathbf {x}) = lambda ^ { ell} p ( mathbf {x})}$

pro všechna reálná čísla ${ displaystyle lambda v mathbb {R}}$ a všechno ${ displaystyle x in mathbb {R} ^ {3}}$. Říkáme to ${ displaystyle p}$ je harmonický -li

${ displaystyle Delta p = 0}$,

kde ${ displaystyle Delta}$ je Laplacian. Pak pro každého ${ displaystyle ell}$, definujeme

${ displaystyle mathbf {A} _ { ell} = {{ text {harmonické polynomy}} mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C} { text {které jsou homogenní stupně} } ell }.}$

Například když ${ displaystyle ell = 1}$, ${ displaystyle mathbf {A} _ {1}}$ je pouze trojrozměrný prostor všech lineárních funkcí ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$, protože každá taková funkce je automaticky harmonická. Mezitím, kdy ${ displaystyle ell = 2}$, máme 5-dimenzionální prostor:

${ displaystyle mathbf {A} _ {2} = mathrm {span} _ { mathbb {C}} (x_ {1} x_ {2}, , x_ {1} x_ {3}, , x_ {2} x_ {3}, , x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2}, , x_ {1} ^ {2} -x_ {3} ^ {2})}$.

Pro všechny ${ displaystyle ell}$, prostor ${ displaystyle mathbf {H} _ { ell}}$ sférických harmonických stupňů ${ displaystyle ell}$ je jen prostor omezení sféry ${ displaystyle S ^ {2}}$ prvků ${ displaystyle mathbf {A} _ { ell}}$.^[5] Jak je navrženo v úvodu, tato perspektiva je pravděpodobně původem pojmu „sférická harmonická“ (tj. Omezení na sféru harmonická funkce ).

Například pro všechny ${ displaystyle c in mathbb {C}}$ vzorec

${ displaystyle p (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = c (x_ {1} + ix_ {2}) ^ { ell}}$

definuje homogenní polynom stupně ${ displaystyle ell}$ s doménou a doménou ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3} to mathbb {C}}$, který je náhodou nezávislý na ${ displaystyle x_ {3}}$. Tento polynom je snadno viditelný jako harmonický. Pokud píšeme ${ displaystyle p}$ ve sférických souřadnicích ${ displaystyle (r, theta, phi)}$ a poté omezit na ${ displaystyle r = 1}$, získáváme

${ displaystyle p ( theta, phi) = c , mathrm {sin} ( theta) ^ { ell} ( mathrm {cos} ( phi) + i , mathrm {sin} ( phi)) ^ { ell},}$

které lze přepsat jako

${ displaystyle p ( theta, phi) = c vlevo ({ sqrt {1- mathrm {cos} ^ {2} ( theta)}} vpravo) ^ { ell} e ^ {i ell phi}.}$

Po použití vzorce pro přidružený Legendrov polynom ${ displaystyle P _ { ell} ^ { ell}}$, můžeme to rozpoznat jako vzorec pro sférickou harmonickou ${ displaystyle Y _ { ell} ^ { ell} ( theta, phi).}$^[6] (Viz část níže o zvláštních případech sférických harmonických.)

Konvence

Ortogonalita a normalizace

Tato část je věcná přesnost je sporný. Relevantní diskuse je k dispozici na Diskuse: Sférické harmonické. Pomozte prosím zajistit, aby sporná prohlášení byla spolehlivě získáván. (Prosince 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Pro sférické harmonické funkce Laplace se běžně používá několik různých normalizací ${ displaystyle S ^ {2} to mathbb {C}}$. V celé části používáme standardní konvenci pro ${ displaystyle m> 0}$ (vidět související legendární polynomy )

${ displaystyle P _ { ell} ^ {- m} = (- 1) ^ {m} { frac {( ell -m)!} {( ell + m)!}} P _ { ell} ^ {m}}$

což je přirozená normalizace daná Rodriguesovým vzorcem.

v akustika,^[7] Laplaceovy sférické harmonické jsou obecně definovány jako (toto je konvence použitá v tomto článku)

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = { sqrt {{(2 ell +1) přes 4 pi} {( ell -m)! over ( ell + m)!}}} , P _ { ell} ^ {m} ( cos { theta}) , e ^ {im varphi}}$

zatímco v kvantová mechanika:^[8][9]

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = (- 1) ^ {m} { sqrt {{(2 ell +1) přes 4 pi} {( ell -m)! over ( ell + m)!}}} , P _ { ell m} ( cos { theta}) , e ^ {im varphi}}$

kde ${ displaystyle P _ { ell m}}$ jsou spojeny Legendrovy polynomy bez fáze Condon – Shortley (aby se zabránilo počítání fáze dvakrát).

V obou definicích jsou sférické harmonické ortonormální

${ displaystyle int _ { theta = 0} ^ { pi} int _ { varphi = 0} ^ {2 pi} Y _ { ell} ^ {m} , Y _ { ell '} ^ {m '} {} ^ {*} , d Omega = delta _ { ell ell'} , delta _ {mm '},}$

kde δ_ij je Kroneckerova delta a dΩ = sinθ dφ dθ. Tato normalizace se používá v kvantové mechanice, protože zajišťuje normalizaci pravděpodobnosti, tj.

${ displaystyle int {| Y _ { ell} ^ {m} | ^ {2} d Omega} = 1.}$

Obory geodézie^[10] a spektrální analýza

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = { sqrt {{(2 ell +1)} {( ell -m)! over ( ell + m)!}}} , P _ { ell} ^ {m} ( cos { theta}) , e ^ {im varphi}}$

které mají jednotkovou sílu

${ displaystyle {1 přes 4 pi} int _ { theta = 0} ^ { pi} int _ { varphi = 0} ^ {2 pi} Y _ { ell} ^ {m} , Y _ { ell '} ^ {m'} {} ^ {*} d Omega = delta _ { ell ell '} , delta _ {mm'}.}$

The magnetické^[10] komunita naproti tomu používá Schmidtovy semi-normalizované harmonické

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, varphi) = { sqrt {( ell -m)! over ( ell + m)!}} , P _ { ell} ^ {m} ( cos { theta}) , e ^ {im varphi}}$

které mají normalizaci

${ displaystyle int _ { theta = 0} ^ { pi} int _ { varphi = 0} ^ {2 pi} Y _ { ell} ^ {m} , Y _ { ell '} ^ {m '} {} ^ {*} d Omega = {4 pi over (2 ell +1)} delta _ { ell ell'} , delta _ {mm '}.}$

V kvantové mechanice se tato normalizace někdy také používá a je pojmenována po Racahově normalizaci Giulio Racah.

Je možné ukázat, že všechny výše uvedené normalizované sférické harmonické funkce splňují

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} {} ^ {*} ( theta, varphi) = (- 1) ^ {m} Y _ { ell} ^ {- m} ( theta, varphi ),}$

kde horní index * označuje komplexní konjugaci. Alternativně tato rovnice vyplývá ze vztahu sférických harmonických funkcí s Wigner D-matice.

Condon – Shortleyova fáze

Jeden zdroj záměny s definicí sférických harmonických funkcí se týká fázového faktoru (-1)^m, běžně označované jako Condon –Krátká fáze v kvantově mechanické literatuře. V komunitě kvantové mechaniky je běžnou praxí toto zahrnout fázový faktor v definici související legendární polynomy, nebo jej přidat k definici sférických harmonických funkcí. Neexistuje žádný požadavek na použití fáze Condon-Shortley při definování sférických harmonických funkcí, ale její zahrnutí může zjednodušit některé kvantově mechanické operace, zejména použití zvedání a spouštění operátorů. Geodézie^[11] a magnetická společenství nikdy nezahrnují fázový faktor Condon – Shortley do svých definic sférických harmonických funkcí ani do těch souvisejících s Legendrovými polynomy.^{[Citace je zapotřebí ]}

Skutečná forma

Skutečný základ sférických harmonických ${ displaystyle Y _ { ell m}: S ^ {2} to mathbb {R}}$ lze definovat z hlediska jejich komplexních analogů ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}: S ^ {2} to mathbb {C}}$ nastavením

${ displaystyle { begin {aligned} Y _ { ell m} & = { begin {cases} displaystyle {i over { sqrt {2}}} left (Y _ { ell} ^ {m} - (-1) ^ {m} , Y _ { ell} ^ {- m} vpravo) & { text {if}} m <0 displaystyle Y _ { ell} ^ {0} & { text {if}} m = 0 displaystyle {1 over { sqrt {2}}} left (Y _ { ell} ^ {- m} + (- 1) ^ {m} , Y _ { ell} ^ {m} right) & { text {if}} m> 0. end {cases}} & = { begin {cases} displaystyle {i over { sqrt {2}}} left (Y _ { ell} ^ {- | m |} - (- 1) ^ {m} , Y _ { ell} ^ {| m |} right) & { text { if}} m <0 displaystyle Y _ { ell} ^ {0} & { text {if}} m = 0 displaystyle {1 over { sqrt {2}}} left (Y _ { ell} ^ {- | m |} + (- 1) ^ {m} , Y _ { ell} ^ {| m |} right) & { text {if}} m> 0 . end {cases}} & = { begin {cases} displaystyle { sqrt {2}} , (- 1) ^ {m} , operatorname {Im} [{Y _ { ell} ^ {| m |}}] & { text {if}} m <0 displaystyle Y _ { ell} ^ {0} & { text {if}} m = 0 displaystyle { sqrt {2}} , (- 1) ^ {m} , operatorname {Re} [{Y _ { ell} ^ {m}}] & { text {if}} m> 0. end {cases}} end {aligned}}}$

Pro konzistenci se zde používá konvence fáze Condon – Shortley. Odpovídající inverzní rovnice definující komplexní sférické harmonické ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}: S ^ {2} to mathbb {C}}$ ve smyslu skutečných sférických harmonických ${ displaystyle Y _ { ell m}: S ^ {2} to mathbb {R}}$ jsou

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} = { begin {cases} displaystyle {1 over { sqrt {2}}} left (Y _ { ell | m |} -iY _ { ell, - | m |} right) & { text {if}} m <0 displaystyle Y _ { ell 0} & { text {if}} m = 0 displaystyle {(-1 ) ^ {m} nad { sqrt {2}}} vlevo (Y _ { ell | m |} + iY _ { ell, - | m |} vpravo) & { text {if}} m > 0. end {cases}}}$

Skutečné sférické harmonické ${ displaystyle Y _ { ell m}: S ^ {2} to mathbb {R}}$ jsou někdy známé jako tesseral sférické harmonické.^[12] Tyto funkce mají stejné vlastnosti orthonormality jako složité ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}: S ^ {2} to mathbb {C}}$ výše. Skutečné sférické harmonické ${ displaystyle Y _ { ell m}}$ s m > 0 se říká, že jsou kosinového typu, a ti s m <0 sinusového typu. Důvod toho lze vidět zápisem funkcí ve smyslu Legendrových polynomů jako

${ displaystyle Y _ { ell m} = { begin {cases} displaystyle (-1) ^ {m} { sqrt {2}} { sqrt {{2 ell +1 nad 4 pi} { ( ell - | m |)! over ( ell + | m |)!}}} P _ { ell} ^ {| m |} ( cos theta) sin (| m | varphi) & { mbox {if}} m <0 displaystyle { sqrt {2 ell +1 nad 4 pi}} P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) & { mbox {if}} m = 0 displaystyle (-1) ^ {m} { sqrt {2}} { sqrt {{2 ell +1 přes 4 pi} {( ell -m)! over ( ell + m)!}}} P _ { ell} ^ {m} ( cos theta) cos (m varphi) & { mbox {if}} m> 0 ,. end {případy}}}$

Stejné sinusové a kosinusové faktory lze vidět také v následující podsekci, která se zabývá kartézskou reprezentací.

Vidět tady pro seznam skutečných sférických harmonických až po ${ displaystyle ell = 4}$, což lze považovat za konzistentní s výstupem výše uvedených rovnic.

Použití v kvantové chemii

Jak je známo z analytických řešení pro atom vodíku, vlastní funkce úhlové části vlnové funkce jsou sférické harmonické. Řešení nerelativistické Schrödingerovy rovnice bez magnetických výrazů však může být reálná. Proto je skutečná formy se značně používají v základních funkcích pro kvantovou chemii, protože programy pak nemusí používat složitou algebru. Zde je důležité si uvědomit, že skutečné funkce pokrývají stejný prostor jako komplexní.

Například, jak je vidět z tabulka sférických harmonických, obvyklý str funkce (${ displaystyle l = 1}$) jsou složité a směšují směry os, ale skutečné verze jsou v podstatě spravedlivé X, y a z.

Sférické harmonické v kartézské formě

Funkce generování Herglotz

Pokud je kvantově mechanická konvence přijata pro ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}: S ^ {2} to mathbb {C}}$, pak

${ displaystyle e ^ {v { mathbf {a}} cdot { mathbf {r}}} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} { sqrt { frac {4 pi} {2 ell +1}}} { frac {r ^ { ell} v ^ { ell} { lambda ^ {m}}} { sqrt {( ell + m)! ( ell -m)!}}} Y _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r} / r).}$

Tady, ${ displaystyle { mathbf {r}}}$ je vektor s komponentami ${ displaystyle (x, y, z) v mathbb {R} ^ {3}}$, ${ displaystyle r = | mathbf {r} |}$, a

${ displaystyle { mathbf {a}} = { mathbf { hat {z}}} - { frac { lambda} {2}} ({ mathbf { hat {x}}} + i { mathbf { hat {y}}}) + { frac {1} {2 lambda}} ({ mathbf { hat {x}}} -i { mathbf { hat {y}}})}$

je vektor se složitými koeficienty. Stačí to vzít ${ displaystyle v}$ a ${ displaystyle lambda}$ jako skutečné parametry. Základní vlastnost ${ displaystyle { mathbf {a}}}$ je to, že je null:

${ displaystyle { mathbf {a}} cdot { mathbf {a}} = 0.}$

Při pojmenování této generující funkce po Herglotz, Následujeme Courant & Hilbert 1962, §VII.7, který za jeho objev připíše nepublikované poznámky.

Z této generující funkce lze v podstatě odvodit všechny vlastnosti sférických harmonických.^[13] Okamžitou výhodou této definice je, že pokud je vektor${ displaystyle { mathbf {r}}}$ je nahrazen operátorem vektoru kvantové mechanické rotace ${ displaystyle { mathbf {J}}}$, takový, že ${ displaystyle { mathcal {Y}} _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {J}})}$ je analogovým operátorem pevné harmonické ${ displaystyle r ^ { ell} Y _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r} / r)}$,^[14] jeden získá generující funkci pro standardizovanou sadu sférické tenzorové operátory,${ displaystyle { mathcal {Y}} _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {J}})}$:

${ displaystyle e ^ {v { mathbf {a}} cdot { mathbf {J}}} = sum _ { ell = 0} ^ { infty} sum _ {m = - ell} ^ { ell} { sqrt { frac {4 pi} {2 ell +1}}} { frac {v ^ { ell} { lambda ^ {m}}} { sqrt {( ell + m)! ( ell -m)!}}} { mathcal {Y}} _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {J}}).}$

Paralela mezi dvěma definicemi zajišťuje, že: ${ displaystyle { mathcal {Y}} _ { ell} ^ {m}}$se transformuje v rotacích (viz níže) stejným způsobem jako ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}}$, což zase zaručuje, že se jedná o sférické tenzorové operátory, ${ displaystyle T_ {q} ^ {(k)}}$, s ${ displaystyle k = { ell}}$ a ${ displaystyle q = m}$, dodržování všech vlastností těchto operátorů, například Clebsch-Gordan věta o složení a Wigner-Eckartova věta. Jsou navíc standardizovanou sadou s pevným měřítkem nebo normalizací.

Oddělená kartézská forma

Herglotzianova definice přináší polynomy, které mohou být, pokud si to někdo přeje, dále rozděleny do polynomu ${ displaystyle z}$ a další z ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$, následovně (fáze Condon – Shortley):

${ displaystyle r ^ { ell} , { begin {pmatrix} Y _ { ell} ^ {m} Y _ { ell} ^ {- m} end {pmatrix}} = left [{ frac {2 ell +1} {4 pi}} doprava] ^ {1/2} { bar { Pi}} _ { ell} ^ {m} (z) { begin {pmatrix} ( -1) ^ {m} (A_ {m} + iB_ {m}) qquad (A_ {m} -iB_ {m}) end {pmatrix}}, qquad m> 0.}$

a pro m = 0:

${ displaystyle r ^ { ell} , Y _ { ell} ^ {0} equiv { sqrt { frac {2 ell +1} {4 pi}}} { bar { Pi}} _ { ell} ^ {0}.}$

Tady

${ displaystyle A_ {m} (x, y) = součet _ {p = 0} ^ {m} { binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {mp} cos ((mp ) { frac { pi} {2}}),}$

${ displaystyle B_ {m} (x, y) = součet _ {p = 0} ^ {m} { binom {m} {p}} x ^ {p} y ^ {mp} sin ((mp ) { frac { pi} {2}}),}$

a

${ displaystyle { bar { Pi}} _ { ell} ^ {m} (z) = left [{ frac {( ell -m)!} {( ell + m)!}} right] ^ {1/2} sum _ {k = 0} ^ { left lfloor ( ell -m) / 2 right rfloor} (- 1) ^ {k} 2 ^ {- ell} { binom { ell} {k}} { binom {2 ell -2k} { ell}} { frac {( ell -2k)!} {( ell -2k-m)!}} ; r ^ {2k} ; z ^ { ell -2k-m}.}$

Pro ${ displaystyle m = 0}$ to se snižuje na

${ displaystyle { bar { Pi}} _ { ell} ^ {0} (z) = součet _ {k = 0} ^ { levý lfloor ell / 2 pravý rfloor} (- 1 ) ^ {k} 2 ^ {- ell} { binom { ell} {k}} { binom {2 ell -2k} { ell}} ; r ^ {2k} ; z ^ { ell -2k}.}$

Faktor ${ displaystyle { bar { Pi}} _ { ell} ^ {m} (z)}$ je v podstatě přidružený Legendrov polynom ${ displaystyle P _ { ell} ^ {m} ( cos theta)}$a faktory ${ displaystyle (A_ {m} pm iB_ {m})}$ jsou v podstatě ${ displaystyle e ^ { pm im varphi}}$.

Příklady

Použití výrazů pro ${ displaystyle { bar { Pi}} _ { ell} ^ {m} (z)}$, ${ displaystyle A_ {m} (x, y) ,}$, a ${ displaystyle B_ {m} (x, y) ,}$ výše výslovně uvedené získáme:

${ displaystyle Y_ {3} ^ {1} = - { frac {1} {r ^ {3}}} left [{ tfrac {7} {4 pi}} cdot { tfrac {3} {16}} right] ^ {1/2} (5z ^ {2} -r ^ {2}) (x + iy) = - left [{ tfrac {7} {4 pi}} cdot { tfrac {3} {16}} vpravo] ^ {1/2} (5 cos ^ {2} theta -1) ( sin theta e ^ {i varphi})}$

${ displaystyle Y_ {4} ^ {- 2} = { frac {1} {r ^ {4}}} left [{ tfrac {9} {4 pi}} cdot { tfrac {5} {32}} right] ^ {1/2} (7z ^ {2} -r ^ {2}) (x-iy) ^ {2} = left [{ tfrac {9} {4 pi} } cdot { tfrac {5} {32}} vpravo] ^ {1/2} (7 cos ^ {2} theta -1) ( sin ^ {2} theta e ^ {- 2i varphi})}$

Může být ověřeno, že to souhlasí s uvedenou funkcí tady a tady.

Skutečné formy

Použitím výše uvedených rovnic k vytvoření skutečné sférické harmonické je vidět, že pro ${ displaystyle m> 0}$ pouze ${ displaystyle A_ {m}}$ jsou zahrnuty termíny (kosiny) a pro ${ displaystyle m <0}$ pouze ${ displaystyle B_ {m}}$ pojmy (sines) jsou zahrnuty:

${ displaystyle r ^ { ell} , { begin {pmatrix} Y _ { ell m} Y _ { ell -m} end {pmatrix}} = { sqrt { frac {2 ell + 1} {2 pi}}} { bar { Pi}} _ { ell} ^ {m} (z) { begin {pmatrix} A_ {m} B_ {m} konec { pmatrix}}, qquad m> 0.}$

a pro m = 0:

${ displaystyle r ^ { ell} , Y _ { ell 0} equiv { sqrt { frac {2 ell +1} {4 pi}}} { bar { Pi}} _ { ell} ^ {0}.}$

Zvláštní případy a hodnoty

1. Kdy ${ displaystyle m = 0}$, sférické harmonické ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}: S ^ {2} to mathbb {C}}$ snížit na běžné Legendární polynomy:

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {0} ( theta, varphi) = { sqrt { frac {2 ell +1} {4 pi}}} P _ { ell} ( cos theta ).}$

2. Kdy ${ displaystyle m = pm ell}$,

${ displaystyle Y _ { ell} ^ { pm ell} ( theta, varphi) = { frac {( mp 1) ^ { ell}} {2 ^ { ell} ell!}} { sqrt { frac {(2 ell +1)!} {4 pi}}} sin ^ { ell} theta , e ^ { pm i ell varphi},}$

nebo jednodušeji v kartézských souřadnicích,

${ displaystyle r ^ { ell} Y _ { ell} ^ { pm ell} ({ mathbf {r}}) = { frac {( mp 1) ^ { ell}} {2 ^ { ell} ell!}} { sqrt { frac {(2 ell +1)!} {4 pi}}} (x pm iy) ^ { ell}.}$

3. Na severním pólu, kde ${ displaystyle theta = 0}$, a ${ displaystyle varphi}$ je nedefinováno, všechny sférické harmonické kromě těch s ${ displaystyle m = 0}$ zmizet:

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} (0, varphi) = Y _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {z}}) = { sqrt { frac {2 ell +1 } {4 pi}}} delta _ {m0}.}$

Vlastnosti symetrie

Sférické harmonické mají hluboké a následné vlastnosti v rámci operací prostorové inverze (parity) a rotace.

Parita

Sférické harmonické mají určitou paritu. To znamená, že jsou sudé nebo liché, pokud jde o inverzi původu. Inverzi představuje operátor ${ displaystyle P Psi ( mathbf {r}) = Psi (- mathbf {r})}$. Pak, jak lze vidět mnoha způsoby (snad nejjednodušší z funkce generování Herglotz), s${ displaystyle mathbf {r}}$ být jednotkovým vektorem,

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} (- mathbf {r}) = (- 1) ^ { ell} Y _ { ell} ^ {m} ( mathbf {r}).}$

Pokud jde o sférické úhly, parita transformuje bod se souřadnicemi ${ displaystyle { theta, phi }}$ na ${ displaystyle { pi - theta, pi + phi }}$. Údaj o paritě sférických harmonických je tedy

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ( theta, phi) rightarrow Y _ { ell} ^ {m} ( pi - theta, pi + phi) = (- 1) ^ { ell} Y _ { ell} ^ {m} ( theta, phi)}$

(To lze vidět následovně: související legendární polynomy dává (-1)^{ℓ +m} a z exponenciální funkce máme (−1)^m, dávající dohromady pro sférické harmonické paritu (-1)^ℓ.)

Parita nadále platí pro skutečné sférické harmonické a pro sférické harmonické ve vyšších dimenzích: použití a bodový odraz na sférickou harmonickou stupně ℓ změní znaménko o faktor (-1)^ℓ.

Rotace

Rotace skutečné sférické funkce s m = 0 al = 3. Koeficienty se nerovnají Wignerovým D-maticím, protože jsou zobrazeny skutečné funkce, ale lze je získat opětovným rozložením komplexních funkcí

Zvažte rotaci ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ o původu, který odesílá jednotkový vektor ${ displaystyle mathbf {r}}$ na ${ displaystyle { mathbf {r}} '}$. V rámci této operace sférická harmonika stupně ${ displaystyle ell}$ a objednat ${ displaystyle m}$ transformuje do lineární kombinace sférických harmonických stejného stupně. To znamená,

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {r}} ') = sum _ {m' = - ell} ^ { ell} A_ {mm '} Y _ { ell} ^ {m '} ({ mathbf {r}}),}$

kde ${ displaystyle A_ {mm '}}$ je matice řádu ${ displaystyle (2 ell +1)}$ to záleží na terapii ${ displaystyle { mathcal {R}}}$. Toto však není standardní způsob vyjádření této vlastnosti. Standardním způsobem se píše:

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {r}} ') = suma _ {m' = - ell} ^ { ell} [D_ {mm '} ^ {( ell )} ({ mathcal {R}})] ^ {*} Y _ { ell} ^ {m '} ({ mathbf {r}}),}$

kde ${ displaystyle D_ {mm '} ^ {( ell)} ({ mathcal {R}}) ^ {*}}$ je komplexní konjugát prvku prvku Wigner D-matice. Zejména když ${ displaystyle mathbf {r} '}$ je ${ displaystyle phi _ {0}}$ rotací azimutu získáme identitu,

${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {r}} ') = Y _ { ell} ^ {m} ({ mathbf {r}}) e ^ {im phi _ {0 }}.}$

Rotační chování sférických harmonických je možná jejich podstatnou vlastností z hlediska teorie skupin. The ${ displaystyle Y _ { ell} ^ {m}}$má titul ${ displaystyle ell}$ poskytnout základní sadu funkcí pro neredukovatelné zastoupení skupiny SO (3) dimenze ${ displaystyle (2 ell +1)}$. Many facts about spherical harmonics (such as the addition theorem) that are proved laboriously using the methods of analysis acquire simpler proofs and deeper significance using the methods of symmetry.

Spherical harmonics expansion

The Laplace spherical harmonics ${displaystyle Y_{ell }^{m}:S^{2} o mathbb {C} }$ form a complete set of orthonormal functions and thus form an ortonormální základ z Hilbertův prostor z čtvercově integrovatelné funkce ${displaystyle L_{mathbb {C} }^{2}(S^{2})}$. On the unit sphere ${ displaystyle S ^ {2}}$, any square-integrable function ${displaystyle f:S^{2} o mathbb {C} }$ can thus be expanded as a linear combination of these:

${displaystyle f( heta ,varphi )=sum _{ell =0}^{infty }sum _{m=-ell }^{ell }f_{ell }^{m},Y_{ell }^{m}( heta ,varphi ).}$

This expansion holds in the sense of mean-square convergence — convergence in L² of the sphere — which is to say that

${displaystyle lim _{N o infty }int _{0}^{2pi }int _{0}^{pi }left|f( heta ,varphi )-sum _{ell =0}^{N}sum _{m=-ell }^{ell }f_{ell }^{m}Y_{ell }^{m}( heta ,varphi ) ight|^{2}sin heta ,d heta ,dvarphi =0.}$

The expansion coefficients are the analogs of Fourierovy koeficienty, and can be obtained by multiplying the above equation by the complex conjugate of a spherical harmonic, integrating over the solid angle Ω, and utilizing the above orthogonality relationships. This is justified rigorously by basic Hilbert space theory. For the case of orthonormalized harmonics, this gives:

${displaystyle f_{ell }^{m}=int _{Omega }f( heta ,varphi ),Y_{ell }^{m*}( heta ,varphi ),dOmega =int _{0}^{2pi }dvarphi int _{0}^{pi },d heta ,sin heta f( heta ,varphi )Y_{ell }^{m*}( heta ,varphi ).}$

If the coefficients decay in ℓ sufficiently rapidly — for instance, exponenciálně — then the series also konverguje rovnoměrně na F.

A square-integrable function ${displaystyle f:S^{2} o mathbb {R} }$ can also be expanded in terms of the real harmonics ${displaystyle Y_{ell m}:S^{2} o mathbb {R} }$ above as a sum

${displaystyle f( heta ,varphi )=sum _{ell =0}^{infty }sum _{m=-ell }^{ell }f_{ell m},Y_{ell m}( heta ,varphi ).}$

The convergence of the series holds again in the same sense, namely the real spherical harmonics ${displaystyle Y_{ell m}:S^{2} o mathbb {R} }$ form a complete set of orthonormal functions and thus form an ortonormální základ z Hilbertův prostor z čtvercově integrovatelné funkce ${displaystyle L_{mathbb {R} }^{2}(S^{2})}$. The benefit of the expansion in terms of the real harmonic functions ${displaystyle Y_{ell m}}$ is that for real functions ${displaystyle f:S^{2} o mathbb {R} }$ the expansion coefficients ${displaystyle f_{ell m}}$ are guaranteed to be real, whereas their coefficients ${displaystyle f_{ell }^{m}}$ in their expansion in terms of the ${displaystyle Y_{ell }^{m}}$ (considering them as functions ${displaystyle f:S^{2} o mathbb {C} supset mathbb {R} }$) do not have that property.

Harmonical tensors

Vzorec

As a rule, harmonic functions are useful in theoretical physics to consider fields in far-zone when distance from charges is much further than size of their location. In that case, radius R is constant and coordinates (θ,φ) are convenient to use. Theoretical physics considers many problems when solution of Laplace's equation is needed as a function of Сartesian coordinates. At the same time, it is important to get invariant form of solutions relatively to rotation of space or generally speaking, relatively to group transformations.^{[15][16][17][18]}The simplest tensor solutions- dipole, quadrupole and octupole potentials are fundamental concepts of general physics:

${displaystyle T^{(1)}{_{i}}=x_{i}}$, ${displaystyle quad T_{ik}^{(2)}=3x{_{i}}x{_{k}}-delta _{ik}r^{2}}$,${displaystyle quad T_{ikn}^{(3)}=15x{_{i}}x{_{k}}x{_{n}}-3delta _{ik}{r^{2}}x{_{n}}-3delta _{kn}{r^{2}}x{_{i}}-3delta _{ni}{r^{2}}x{_{k}}}$.

It is easy to verify that they are the harmonical functions. Total set of tensors is defined by Taylor series of point charge field potential for ${displaystyle r_{0}$:

${displaystyle {frac {1}{left|{oldsymbol {r-r}}{_{0}} ight|}}=sum _{l}(-1)^{l}{frac {{({oldsymbol {r_{0}}} abla )}^{l}}{l!}}{frac {1}{r}}=sum _{l}{frac {x_{0i}ldots x_{0k}}{l!,r^{2l+1}}}T_{ildots k}^{(l)}({oldsymbol {r}})=sum _{l}{frac {left[otimes {oldsymbol {{r_{0}}^{l}T^{(l)}}} ight]}{l!,r^{2l+1}}}}$,

where tensor ${displaystyle x_{0i}ldots x_{0k}}$ is denoted by symbol ${displaystyle otimes {oldsymbol {r_{0}}}^{l}}$ and contraction of the tensors is in the brackets [...].Therefore, the tensor ${displaystyle {oldsymbol {T}}^{(l)}}$ je definováno ${ displaystyle l}$-th tensor derivative:

${displaystyle {frac {oldsymbol {T^{(l)}}}{r^{(2l+1)}}}=(-otimes {oldsymbol { abla }})^{l}{frac {1}{r}}}$