Sledovací třída - Trace class

v matematika, a stopová třída operátor je a kompaktní operátor pro které a stopa lze definovat tak, že stopa je konečná a nezávislá na volbě základu. Provozovatelé třídy trasování jsou v podstatě stejní jako provozovatelé jaderných zařízení, ačkoli mnoho autorů vyhrazuje termín „provozovatel trasovací třídy“ pro speciální případ provozovatelů jaderných zařízení Hilbertovy prostory a vyhradit „jaderného operátora“ pro použití obecněji topologické vektorové prostory (jako Banachovy prostory ).

Definice

Definice: stopa, označeno ${ displaystyle operatorname {Tr} A}$ , lineárního operátoru $A$ být součtem série^[1]
${ displaystyle operatorname {Tr} A = součet _ {k} levá langle Ae_ {k}, e_ {k} pravá rangle}$ ,
kde tento součet je nezávislý na volbě ortonormálního základu ${E k} k$ z $H$ a kde se tento součet rovná $\infty$ pokud se nespojuje.

Li $H$ je konečně-dimenzionální pak $Tr A$ se rovná obvyklé definici stopa.

Definice: Pro všechny ohraničený lineární operátor $T : H \to H$ přes Hilbertův prostor $H$ , definujeme jeho absolutní hodnota, označeno $| T |$ , být pozitivní odmocnina z ${ displaystyle T ^ {*} T}$ , tj. ${ displaystyle left | T right |: = { sqrt {T ^ {*} T}}}$ je jedinečný ohraničený pozitivní operátor na $H$ takhle ${ Displaystyle | T | Circ | T | = T ^ {*} Circ T}$ .

Může se ukázat, že ohraničený lineární operátor na Hilbertově prostoru je sledovací třídou právě tehdy, je-li její absolutní hodnotou sledovací třída.^[1]

Definice: Omezený lineární operátor $T : H \to H$ přes Hilbertův prostor $H$ se říká, že je v stopová třída je-li splněna některá z následujících rovnocenných podmínek:
$T$ je provozovatel jaderné energie.
$T$ se rovná složení dvou Operátoři Hilbert-Schmidt.^[1]
${ displaystyle { sqrt { levý | T pravý |}}}$ je Operátor Hilbert-Schmidt.^[1]
$T$ je integrální operátor.^[2]
existují slabě uzavřené a rovnocenný (a tedy slabě kompaktní ) podmnožiny ${ displaystyle A ^ { prime}}$ a ${ displaystyle B ^ { prime prime}}$ z ${ displaystyle H ^ { prime}}$ a ${ displaystyle H ^ { prime prime}}$ , respektive, a některé pozitivní Radonová míra ${ displaystyle mu}$ na ${ displaystyle A ^ { prime} krát B ^ { prime prime}}$ celkové hmotnosti $\leq 1$ takové, že pro všechny $X \in H$ a ${ displaystyle y ^ { prime} v H ^ { prime}}$ :
${ displaystyle y ^ { prime} left (T (x) right) = int _ {A ^ { prime} krát B ^ { prime prime}} x ^ { prime} left ( x right) cdot y ^ { prime prime} left (y ^ { prime} right) operatorname {d} mu left (x ^ { prime}, y ^ { prime prime }že jo)}$ .
existují dva ortogonální sekvence ${ displaystyle left (x_ {i} right) _ {i = 1} ^ { infty}}$ a ${ displaystyle left (y_ {i} right) _ {i = 1} ^ { infty}}$ v $H$ a sekvence ${ displaystyle left ( lambda _ {i} right) _ {i = 1} ^ { infty}}$ v l¹ takové, že pro všechny X ∈ H, ${ displaystyle T (x) = součet _ {i = 1} ^ { infty} lambda _ {i} levá langle x, x_ {i} pravá rangle y_ {i}}$ .^[3]
Zde nekonečný součet znamená, že posloupnost částečných součtů ${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {N} lambda _ {i} left langle x, x_ {i} right rangle y_ {i} right) _ {N = 1 } ^ { infty}}$ konverguje k $T (X)$ v $H$ .
$T$ je kompaktní operátor a ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} l_ {i} < infty}$ , kde $l 1, l 2, ...$ jsou vlastní čísla z $T$ s každou vlastní hodnotou se opakuje tak často, jak je její multiplicita.^[1]
Připomeňme, že multiplicita vlastního čísla $r$ je rozměr jádra $T - r Id H$ , kde $Id H : H \to H$ je mapa identity.
pro některé ortonormální základ $(E k) k$ z $H$ , součet kladných podmínek ${ displaystyle sum _ {k} levý langle levý | T pravý | , e_ {k}, e_ {k} pravý rangle}$ je konečný.
výše uvedená podmínka, ale se slovem „some“ nahrazeno výrazem „every“.
the přemístit mapa ${ displaystyle {} ^ {t} T: H_ {b} ^ { prime} až H_ {b} ^ { prime}}$ je stopová třída (podle jakékoli jiné definující podmínky než této), v takovém případě ${ displaystyle | {} ^ {t} T | _ {1} = | T | _ {1}}$ .^[4]
Připomeňme, že provedení $T$ je definováno ${ displaystyle left ({} ^ {t} T right) left (y ^ { prime} right): = y ^ { prime} circ T}$ , pro všechny ${ displaystyle y ^ { prime}}$ patřící do souvislého duálního prostoru ${ displaystyle H ^ { prime}}$ z $H$ . Dolní index b naznačuje to ${ displaystyle H ^ { prime}}$ má svou obvyklou normovou topologii.
${ displaystyle operatorname {Tr} left ( left | T right | right) < infty}$ .^[1]
a pokud $T$ již není kladným operátorem, můžeme do tohoto seznamu přidat:
operátor $| T |$ je stopová třída (podle jakékoli jiné definující podmínky než této).

Stopová norma

Definice: Pokud $T$ is trace class then we define the stopová norma operátoru třídy trasování $T$ být běžnou hodnotou
${ displaystyle left | T right | _ {1}: = sum _ {k} left langle left | T right | , e_ {k}, e_ {k} right rangle = operatorname {Tr} left ( left | T right | right)}$
(kde je možné ukázat, že poslední rovnost nutně platí). Označíme prostor všech lineárních operátorů třídy trasování $H$ podle $B 1 (H)$ .

Li $T$ je tedy třída trasování

{ displaystyle left | T right | _ {1} = sup left { left | operatorname {Tr} left (CT right) right |: | C | leq 1 { text {and}} C: H to H { text {je kompaktní operátor}} doprava }}

.^[5]

Když $H$ je konečně-dimenzionální, každý operátor je sledovací třída a tato definice trasování $A$ se shoduje s definicí stopa matice.

Rozšířením, pokud $A$ je nezáporný operátor s vlastním nastavením, můžeme také definovat stopu po $A$ jako rozšířené reálné číslo o možná odlišný součet

{ displaystyle sum _ {k} levá langle Ae_ {k}, e_ {k} pravá rangle.}

kde je tato suma nezávislá na volbě ortonormálního základu {E_k}_k z $H$ .

Příklady

Každý ohraničený lineární operátor, který má konečně-dimenzionální rozsah (tj. Operátory konečné pozice), je třída trasování;^[1] kromě toho je prostor všech operátorů konečné pozice hustým podprostorem B₁(H) (je-li obdařen ${ displaystyle | cdot | _ {1}}$ norma).^[5] Složení dvou Operátoři Hilbert-Schmidt je operátor třídy trasování.^[1]

Vzhledem k jakékoli X a y v H, definovat ${ displaystyle x x y: H to H}$ od (X ⊗ y)(z) = <z, y> X, což je spojitý lineární operátor úrovně 1 a je tedy sledovací třídou; navíc pro libovolného ohraničeného lineárního operátora A na H (a do H), ${ displaystyle operatorname {Tr} left (A left (x otimes y right) right) = left langle Axe, y right rangle}$ .^[5]

Vlastnosti

Li A : H → H je tedy nezáporný self-adjoint A je třída trasování právě tehdy, když Tr (A) <∞. Proto je operátor s vlastním nastavením A je stopová třída kdyby a jen kdyby jeho pozitivní část A⁺ a negativní část A⁻ jsou oba třídy stop. (Kladné a záporné části operátoru s vlastním nastavením jsou získány pomocí spojitý funkční počet.)
Trasa je lineární funkce nad prostorem operátorů třídy trasování, tj.
${ displaystyle operatorname {Tr} (aA + bB) = a operatorname {Tr} (A) + b operatorname {Tr} (B).}$
Bilineární mapa
${ displaystyle langle A, B rangle = operatorname {Tr} (A ^ {*} B)}$
je vnitřní produkt na stopové třídě; odpovídající norma se nazývá Hilbert – Schmidt norma. Dokončení operátorů trasovací třídy v normě Hilbert – Schmidt se nazývá operátory Hilbert – Schmidt.
Li T : H → H je stopová třída, pak také je T^* a ${ displaystyle left | T right | _ {1} = left | T ^ {*} right | _ {1}}$ .^[1]
Li A : H → H je ohraničený a T : H → H je stopová třída, NA a TA jsou také stopové třídy a^[6]^[1]
${ displaystyle | AT | _ {1} = operatorname {Tr} (| AT |) leq | A | | T | _ {1}, quad | TA | _ {1 } = operatorname {Tr} (| TA |) leq | A | | T | _ {1}.}$ ^[1]
Za stejné hypotézy navíc
${ displaystyle operatorname {Tr} (AT) = operatorname {Tr} (TA)}$ a ${ displaystyle left | operatorname {Tr} left (AT right) right | leq left | A right | left | T right |}$ .^[1]
Poslední tvrzení platí také pro slabší hypotézu A a T jsou Hilbert – Schmidt.
Prostor operátorů třídy trasování zapnut H je ideál v prostoru ohraničených lineárních operátorů H.^[1]
Pokud {E_k}_k a {F_k}_k jsou dvě ortonormální základny H a pokud T je tedy třída trasování ${ displaystyle sum _ {k} left | left langle Te_ {k}, f_ {k} right rangle right | leq left | T right | _ {1}}$ .^[5]
Li A je stopová třída, pak lze definovat Fredholmský determinant 1 + A:
${ displaystyle det (I + A): = prod _ {n geq 1} [1+ lambda _ {n} (A)],}$
kde ${ displaystyle { lambda _ {n} (A) } _ {n}}$ je spektrum ${ displaystyle A}$ . Podmínka třídy trasování zapnuta ${ displaystyle A}$ zaručuje, že nekonečný produkt je konečný: ve skutečnosti
${ displaystyle det (I + A) leq e ^ { | A | _ {1}}.}$
To také znamená ${ displaystyle det (I + A) neq 0}$ kdyby a jen kdyby (Já + A) je invertibilní.
Li A : H → H is trace class then for any ortonormální základ {E_k}_k z H, součet kladných podmínek ${ displaystyle sum _ {k} left | left langle A , e_ {k}, e_ {k} right rangle right |}$ je konečný.^[1]

Lidská věta

Nechat ${ displaystyle A}$ být operátorem třídy trasování v oddělitelném Hilbertově prostoru ${ displaystyle H}$ a nechte ${ displaystyle { lambda _ {n} (A) } _ {n = 1} ^ {N},}$ ${ displaystyle N leq infty}$ být vlastní čísla z ${ displaystyle A}$ . Předpokládejme to ${ displaystyle lambda _ {n} (A)}$ jsou vyjmenovány s ohledem na algebraické multiplicity (tj. pokud je algebraická multiplicita z ${ displaystyle lambda}$ je ${ displaystyle k}$ , pak ${ displaystyle lambda}$ se opakuje ${ displaystyle k}$ časy v seznamu ${ displaystyle lambda _ {1} (A), lambda _ {2} (A), tečky}$ ). Lidskiova věta (pojmenovaná po Viktor Borisovič Lidskii ) tvrdí, že

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} lambda _ {n} (A) = operatorname {Tr} (A).}

Všimněte si, že řada vlevo konverguje absolutně kvůli Weylova nerovnost

{ displaystyle sum _ {n = 1} ^ {N} { big |} lambda _ {n} (A) { big |} leq sum _ {m = 1} ^ {M} s_ { m} (A)}

mezi vlastními hodnotami ${ displaystyle { lambda _ {n} (A) } _ {n = 1} ^ {N}}$ a singulární hodnoty ${ displaystyle {s_ {m} (A) } _ {m = 1} ^ {M}}$ kompaktního operátora ${ displaystyle A}$ .^[7]

Vztah mezi některými třídami operátorů

Lze zobrazit určité třídy ohraničených operátorů jako nekomutativní analogii klasiky posloupnosti mezer, s operátory třídy trasování jako nekomutativním analogem prostoru sekvence ℓ¹(N).

Je skutečně možné použít spektrální věta ukázat, že každý normální operátor třídy trasování v oddělitelném Hilbertově prostoru může být realizován určitým způsobem jako ℓ¹ posloupnost vzhledem k nějaké volbě dvojice Hilbertových bází. Ve stejném duchu jsou ohraničené operátory nekomutativní verze ℓ^∞(N), kompaktní operátory to z C₀ (sekvence konvergentní k 0), operátory Hilbert – Schmidt odpovídají ℓ²(N), a operátory s konečnou hodností (sekvence, které mají pouze konečně mnoho nenulových členů). Do určité míry jsou vztahy mezi těmito třídami operátorů podobné vztahům mezi jejich komutativními protějšky.

Připomeňme, že každý kompaktní operátor T na Hilbertově prostoru má následující kanonickou podobu:

{ displaystyle forall h v H, ; Th = součet _ {i = 1} alpha _ {i} langle h, v_ {i} rangle u_ {i}, quad { text {kde }} quad alpha _ {i} geq 0, alpha _ {i} na 0,}

pro některé ortonormální základy {u_i} a {proti_i}. Abychom výše uvedené heuristické komentáře zpřesnili, máme to T je stopová třída, pokud je řada ∑_i α_i je konvergentní, T je Hilbert – Schmidt, pokud ∑_i α_i² je konvergentní a T je konečné pozice, pokud posloupnost {α_i} má pouze konečně mnoho nenulových výrazů.

Výše uvedený popis umožňuje snadno získat některá fakta, která se týkají těchto tříd operátorů. Například následující inkluze platí a jsou správné, když H je nekonečně dimenzionální: {konečná hodnost} ⊂ {stopová třída} ⊂ {Hilbert – Schmidt} ⊂ {kompaktní}.

Provozovatelé třídy trasování dostanou normu trasování ||T||₁ = Tr [(T * T)^1/2] = ∑_i α_i. Normou odpovídající vnitřnímu produktu Hilbert – Schmidt je ||T||₂ = [Tr (T * T)]^1/2 = (∑_iα_i²)^1/2. Také obvyklé norma operátora je ||T|| = sup_i(α_i). Klasickými nerovnostmi ohledně sekvencí

{ displaystyle | T | leq | T | _ {2} leq | T | _ {1}}

pro vhodné T.

Je také jasné, že operátoři konečných hodnot jsou hustí jak ve stopové třídě, tak u Hilberta – Schmidta v příslušných normách.

Stopová třída jako dvojice kompaktních operátorů

The dvojí prostor z C₀ je ℓ¹(N). Podobně máme tu dvojici kompaktních operátorů, označenou K.(H) *, jsou operátory třídy trasování, označené C₁. Argument, který nyní načrtneme, připomíná argument pro odpovídající prostory sekvence. Nechat F ∈ K.(H) *, identifikujeme F s operátorem T_F definován

{ displaystyle langle T_ {f} x, y rangle = f (S_ {x, y}),}

kde S_X,y je operátor první úrovně daný

{ displaystyle S_ {x, y} (h) = langle h, y rangle x.}

Tato identifikace funguje, protože operátoři konečné řady jsou normálně hustí K.(H). V případě, že T_F je pozitivní operátor pro jakýkoli ortonormální základ u_i, jeden má

{ displaystyle sum _ {i} langle T_ {f} u_ {i}, u_ {i} rangle = f (I) leq | f |,}

kde Já je operátor identity:

{ displaystyle I = sum _ {i} langle cdot, u_ {i} rangle u_ {i}.}

Ale to to znamená T_F je stopová třída. Odvolání na polární rozklad rozšířit to na obecný případ, kde T_F nemusí být pozitivní.

Omezující argument používající operátory konečné pozice ukazuje, že ||T_F||₁ = ||F||. Tím pádem K.(H) * je izometricky izomorfní s C₁.

Jako předobraz omezených operátorů

Připomeňme, že dvojí ℓ¹(N) je ℓ^∞(N). V současném kontextu duální operátory trasovací třídy C₁ je ohraničený operátor B (H). Přesněji řečeno, sada C₁ je oboustranný ideál v B (H). Takže daný libovolný operátor T v B (H), můžeme definovat a kontinuální lineární funkční φ_T na ${ displaystyle C_ {1}}$ podle φ_T(A) = Tr (NA). Tato korespondence mezi ohraničenými lineárními operátory a prvky φ_T z dvojí prostor z ${ displaystyle C_ {1}}$ je izometrický izomorfismus. Z toho vyplývá, že B (H) je duální prostor ${ displaystyle C_ {1}}$ . To lze použít k definování slabá topologie na B (H).

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^str Conway 1990, str. 267.
^ Trèves 2006, str. 502-508.
^ Trèves 2006, str. 494.
^ Trèves 2006, str. 484.
^ ^A ^b ^C ^d Conway 1990, str. 268.
^ M. Reed a B. Simon, Funkční analýza, Cvičení 27, 28, strana 218.
^ Simon, B. (2005) Stopové ideály a jejich aplikace, Druhé vydání, American Mathematical Society.

Reference

Conway, John (1990). Kurz funkční analýzy. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908.
Dixmier, J. (1969). Les Algebres d'Operateurs dans l'Espace Hilbertien. Gauthier-Villars.
Schaefer, Helmut H. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 3. New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

[FOOTNOTEConway1990267-1] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ ^j ^k ^l ^m ⁿ ^Ó ^str Conway 1990, str. 267.

[FOOTNOTETrèves2006502-508-2] Trèves 2006, str. 502-508.

[FOOTNOTETrèves2006494-3] Trèves 2006, str. 494.

[FOOTNOTETrèves2006484-4] Trèves 2006, str. 484.

[FOOTNOTEConway1990268-5] A ^b ^C ^d Conway 1990, str. 268.

[6] M. Reed a B. Simon, Funkční analýza, Cvičení 27, 28, strana 218.

[7] Simon, B. (2005) Stopové ideály a jejich aplikace, Druhé vydání, American Mathematical Society.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Hilbertovy prostory
Základní pojmy	Sousední Vnitřní produkt a L-polo-vnitřní produkt Hilbertův prostor a Prehilbertův prostor
Hlavní výsledky	Besselova nerovnost Cauchy – Schwarzova nerovnost Rieszovo zastoupení
Další výsledky	Parsevalova identita Polarizační identita
Mapy	Kompaktní operátor na Hilbertově prostoru Hustě definované Poustevnická forma Hilbert – Schmidt Normální Samonastavitelný Sesquilineární forma Sledovací třída Unitary
Příklady	Cⁿ(K.) s K. kompaktní & n<∞ Segal – Bargmann F

Topologické tenzorové produkty a jaderné prostory
Základní pojmy	Pomocné normované prostory Jaderný prostor Tenzorový produkt (Hilbertových prostorů )
Topologie	Indukční tenzorový produkt Injekční tenzorový produkt Projektivní tenzorový produkt
Provozovatelé / mapy	Hypokontinuita Integrální Jaderná (mezi Banachovými prostory ) Sledovací třída