Hyperbolická parciální diferenciální rovnice - Hyperbolic partial differential equation

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a hyperbolická parciální diferenciální rovnice řádu ${ displaystyle n}$ je parciální diferenciální rovnice (PDE), který, zhruba řečeno, má dobrou polohu problém počáteční hodnoty pro prvního ${ displaystyle n-1}$ deriváty. Přesněji řečeno Cauchyho problém lze lokálně vyřešit pro libovolná počáteční data podél jakékoli necharakteristiky nadpovrch. Mnoho z rovnic mechanika jsou hyperbolické, a proto je studium hyperbolických rovnic v současnosti velmi zajímavé. Modelem hyperbolické rovnice je vlnová rovnice. V jedné prostorové dimenzi to je

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné t ^ {2}}} = c ^ {2} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2 }}}}$

Rovnice má tu vlastnost, že pokud u a jeho první derivace jsou libovolně specifikovaná počáteční data na lince t = 0 (s dostatečnými vlastnostmi hladkosti), pak vždy existuje řešení t.

Řešení hyperbolických rovnic jsou „vlnová“. Pokud dojde k narušení v počátečních datech hyperbolické diferenciální rovnice, pak ne každý bod prostoru pocítí narušení najednou. Ve vztahu k pevné časové souřadnici mají poruchy konečnou hodnotu rychlost šíření. Cestují podél charakteristiky rovnice. Tato vlastnost kvalitativně odlišuje hyperbolické rovnice od eliptické parciální diferenciální rovnice a parabolické parciální diferenciální rovnice. Poruchu počátečních (nebo hraničních) dat eliptické nebo parabolické rovnice pociťují najednou v podstatě všechny body v doméně.

Ačkoli definice hyperbolicity je v zásadě kvalitativní, existují přesná kritéria, která závisí na konkrétním druhu uvažované diferenciální rovnice. Pro lineární existuje dobře vyvinutá teorie diferenciální operátory, kvůli Lars Gårding, v kontextu mikrolokální analýza. Nelineární diferenciální rovnice jsou hyperbolické, pokud jsou jejich linearizace hyperbolické ve smyslu Gårding. Pro systémy prvního řádu rovnic pocházejících ze systémů existuje poněkud odlišná teorie zákony na ochranu přírody.

Definice

Parciální diferenciální rovnice je v bodě hyperbolická ${ displaystyle P}$ za předpokladu, že Cauchyho problém je jedinečně řešitelný v sousedství ${ displaystyle P}$ pro všechna počáteční data uvedená na necharakteristickém hyperplochu procházejícím ${ displaystyle P}$.^[1] Zde se předepsaná počáteční data skládají ze všech (příčných) derivací funkce na povrchu až o jednu menší, než je řád diferenciální rovnice.

Příklady

Lineární změnou proměnných libovolná rovnice tvaru

${ displaystyle A { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2}}} + 2B { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x částečné y}} + C { frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} + { text {(odvozené výrazy nižšího řádu)}} = 0}$

s

${ displaystyle B ^ {2} -AC> 0}$

lze transformovat na vlnová rovnice, kromě podmínek nižšího řádu, které jsou pro kvalitativní pochopení rovnice nepodstatné.^[2] Tato definice je analogická s definicí rovinného hyperbola.

Jednorozměrný vlnová rovnice:

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} u} { částečné t ^ {2}}} - c ^ {2} { frac { částečné ^ {2} u} { částečné x ^ {2 }}} = 0}$

je příklad hyperbolické rovnice. Dvourozměrné a trojrozměrné vlnové rovnice rovněž spadají do kategorie hyperbolických PDE. Tento typ hyperbolické parciální diferenciální rovnice druhého řádu lze transformovat na hyperbolický systém diferenciálních rovnic prvního řádu.^[3]

Hyperbolický systém parciálních diferenciálních rovnic

Toto je systém ${ displaystyle s}$ parciální diferenciální rovnice prvního řádu pro ${ displaystyle s}$ neznámý funkce ${ displaystyle { vec {u}} = (u_ {1}, ldots, u_ {s})}$, ${ displaystyle { vec {u}} = { vec {u}} ({ vec {x}}, t)}$, kde ${ displaystyle { vec {x}} in mathbb {R} ^ {d}}$:

${ displaystyle (*) quad { frac { částečné { vec {u}}} { částečné t}} + součet _ {j = 1} ^ {d} { frac { částečné} { parciální x_ {j}}} { vec {f ^ {j}}} ({ vec {u}}) = 0,}$

kde ${ displaystyle { vec {f ^ {j}}} v C ^ {1} ( mathbb {R} ^ {s}, mathbb {R} ^ {s}), j = 1, ldots, d}$ jsou jednou nepřetržitě rozlišitelný funkce, nelineární obecně.

Dále pro každého ${ displaystyle { vec {f ^ {j}}}}$ definovat ${ displaystyle s times s}$ Jacobian matrix

${ displaystyle A ^ {j}: = { begin {pmatrix} { frac { částečné f_ {1} ^ {j}} { částečné u_ {1}}} & cdots & { frac { částečné f_ {1} ^ {j}} { částečné u_ {s}}} vdots & ddots & vdots { frac { částečné f_ {s} ^ {j}} { částečné u_ { 1}}} & cdots & { frac { částečné f_ {s} ^ {j}} { částečné u_ {s}}} konec {pmatrix}}, { text {pro}} j = 1, ldots, d.}$

Systém ${ displaystyle (*)}$ je hyperbolický pokud pro všechny ${ displaystyle alpha _ {1}, ldots, alpha _ {d} in mathbb {R}}$ matice ${ displaystyle A: = alpha _ {1} A ^ {1} + cdots + alpha _ {d} A ^ {d}}$má pouze nemovitý vlastní čísla a je úhlopříčně.

Pokud je matice ${ displaystyle A}$ má s odlišný skutečná vlastní čísla, z toho vyplývá, že je diagonalizovatelný. V tomto případě systém ${ displaystyle (*)}$ je nazýván přísně hyperbolický.

Pokud je matice ${ displaystyle A}$ je symetrický, z toho vyplývá, že je diagonalizovatelný a vlastní čísla jsou skutečná. V tomto případě systém ${ displaystyle (*)}$ je nazýván symetrický hyperbolický.

Hyperbolický systém a zákony zachování

Existuje spojení mezi hyperbolickým systémem a zákon o ochraně přírody. Uvažujme o hyperbolickém systému jedné parciální diferenciální rovnice pro jednu neznámou funkci ${ displaystyle u = u ({ vec {x}}, t)}$. Pak systém ${ displaystyle (*)}$ má formu

${ displaystyle (**) quad { frac { částečné u} { částečné t}} + součet _ {j = 1} ^ {d} { frac { částečné} { částečné x_ {j} }} {f ^ {j}} (u) = 0.}$

Tady, ${ displaystyle u}$ lze interpretovat jako veličinu, která se pohybuje podle tok dána ${ displaystyle { vec {f}} = (f ^ {1}, ldots, f ^ {d})}$. To množství vidět ${ displaystyle u}$ je konzervovaný, integrovat ${ displaystyle (**)}$ přes doménu ${ displaystyle Omega}$

${ displaystyle int _ { Omega} { frac { částečné u} { částečné t}} operatorname {d} Omega + int _ { Omega} nabla cdot { vec {f}} (u) operatorname {d} Omega = 0.}$

Li ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle { vec {f}}}$ jsou dostatečně plynulé funkce, můžeme použít věta o divergenci a změnit pořadí integrace a ${ displaystyle částečné / částečné t}$ získat zákon o zachování množství ${ displaystyle u}$ v obecné formě

${ displaystyle { frac { operatorname {d}} { operatorname {d} t}} int _ { Omega} u operatorname {d} Omega + int _ { částečné Omega} { vec {f}} (u) cdot { vec {n}} operatorname {d} Gamma = 0,}$

což znamená, že časová rychlost změny ${ displaystyle u}$ v doméně ${ displaystyle Omega}$ se rovná čistému toku ${ displaystyle u}$ přes jeho hranici ${ displaystyle částečné Omega}$. Jelikož se jedná o rovnost, lze dojít k závěru ${ displaystyle u}$ je uvnitř zachována ${ displaystyle Omega}$.

Viz také

• Eliptická parciální diferenciální rovnice
• Hypoelliptický operátor
• Parabolická parciální diferenciální rovnice

Poznámky

Bibliografie

• Evans, Lawrence C. (2010) [1998], Parciální diferenciální rovnice, Postgraduální studium matematiky, 19 (2. vyd.), Providence, R.I .: Americká matematická společnost, doi:10,1090 / gsm / 019, ISBN  978-0-8218-4974-3, PAN  2597943
• A. D. Polyanin, Příručka lineárních parciálních diferenciálních rovnic pro inženýry a vědce, Chapman & Hall / CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN  1-58488-299-9
• Rozhdestvenskii, B.L. (2001) [1994], „Hyperbolická parciální diferenciální rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS

externí odkazy

• "Hyperbolická parciální diferenciální rovnice, numerické metody", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Lineární hyperbolické rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.
• Nelineární hyperbolické rovnice na EqWorld: Svět matematických rovnic.