Plancherelův teorém - Plancherel theorem

v matematika, Plancherelův teorém (někdy nazývaná identita Parseval – Plancherel^[1]) je výsledek v harmonická analýza, prokázáno Michel Plancherel v roce 1910. Uvádí, že integrál čtvercového modulu funkce se rovná integrálu čtvercového modulu jeho frekvenční spektrum. To je, pokud ${ displaystyle f (x)}$ je funkce na reálné linii a ${ displaystyle { widehat {f}} ( xi)}$ je tedy jeho frekvenční spektrum

Přesnější formulace je, že pokud je funkce v obou Lp mezery ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$ a ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$, pak jeho Fourierova transformace je v ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$, a mapa Fourierovy transformace je izometrie vzhledem k L² norma. To znamená, že Fourierova transformační mapa je omezena na ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R}) cap L ^ {2} ( mathbb {R})}$ má jedinečné rozšíření k lineární izometrické mapě ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R}) mapsto L ^ {2} ( mathbb {R})}$, někdy nazývaná Plancherelova transformace. Tato izometrie je ve skutečnosti a unitární mapa. To ve skutečnosti umožňuje mluvit o Fourierových transformacích kvadraticky integrovatelné funkce.

Plancherelova věta zůstává platná, jak je uvedeno v n-dimenzionální Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Věta také platí obecněji v místně kompaktní abelianské skupiny. Existuje také verze Plancherelovy věty, která dává smysl pro nekomutativní lokálně kompaktní skupiny splňující určité technické předpoklady. To je předmětem nekomutativní harmonická analýza.

The jednotnost z Fourierova transformace se často nazývá Parsevalova věta ve vědních a technických oborech na základě dřívějšího (ale méně obecného) výsledku, který byl použit k prokázání jednoty EU Fourierova řada.

V důsledku polarizační identita, lze také použít Plancherelův teorém na ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ vnitřní produkt dvou funkcí. To je, pokud ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle g (x)}$ jsou dva ${ displaystyle L ^ {2} ( mathbb {R})}$ funkce a ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ označuje Plancherelovu transformaci

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) { overline {g (x)}} , dx = int _ {- infty} ^ { infty} ({ mathcal {P}} f) ( xi) { overline {({ mathcal {P}} g) ( xi)}} d xi,}$

a pokud ${ displaystyle f (x)}$ a ${ displaystyle g (x)}$ jsou navíc ${ displaystyle L ^ {1} ( mathbb {R})}$ funkce

${ displaystyle ({ mathcal {P}} f) ( xi) = { widehat {f}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} f (x) e ^ { -2 pi i xi x} , dx,}$

a

${ displaystyle ({ mathcal {P}} g) ( xi) = { widehat {g}} ( xi) = int _ {- infty} ^ { infty} g (x) e ^ { -2 pi i xi x} , dx,}$

tak

Viz také

• Plancherelova věta o sférických funkcích

Reference

• Plancherel, Michel; Mittag-Leffler (1910), „Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies“, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289–335, doi:10.1007 / BF03014877.
• Dixmier, J. (1969), Les C * -algèbres et leurs ReprésentationsGauthier Villars.
• Yosida, K. (1968), Funkční analýzaSpringer Verlag.

externí odkazy

• „Plancherelova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Plancherelův teorém na Mathworld

Tento matematická analýza –Příbuzný článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.