Metoda konečných prvků - Finite element method

Diferenciální rovnice
Navier – Stokesovy diferenciální rovnice slouží k simulaci proudění vzduchu kolem překážky.
Rozsah Přírodní vědy Inženýrství Astronomie Fyzika Chemie Biologie Geologie Aplikovaná matematika Mechanika kontinua Teorie chaosu Dynamické systémy Společenské vědy Ekonomika Populační dynamika
Klasifikace
Typy Obyčejný Částečný Diferenciálně algebraický Integro-diferenciál Frakční Lineární Nelineární Podle typu proměnné Závislé a nezávislé proměnné Autonomní Komplex Spojeno / Odpojeno Přesný Homogenní  / Nehomogenní Funkce Objednat Operátor Zápis
Vztah k procesům Rozdíl (diskrétní analogový) Stochastický Stochastické částečné Zpoždění
Řešení
Existence a jedinečnost Picard – Lindelöfova věta Věta o Peanově existenci Carathéodoryho věta o existenci Cauchy – Kowalevského věta
Obecná témata Wronskian Fázový portrét Fázový prostor Lyapunov  / Asymptotické  / Exponenciální stabilita Míra konvergence Série / Integrovaná řešení Numerická integrace Diracova delta funkce
Metody řešení Inspekce Metoda charakteristik Euler Vzorec exponenciální odezvy Konečný rozdíl  (Crank – Nicolson ) Konečný element Nekonečný prvek Konečný objem Galerkin Petrov – Galerkin Integrační faktor Integrální transformace Poruchová teorie Runge – Kutta Oddělení proměnných Neurčené koeficienty Variace parametrů
Lidé Isaac Newton Gottfried Leibniz Leonhard Euler Émile Picard Józef Maria Hoene-Wroński Ernst Lindelöf Rudolf Lipschitz Augustin-Louis Cauchy John Crank Phyllis Nicolson Carl David Tolmé Runge Martin Kutta

The Metoda konečných prvků (FEM) je nejpoužívanější metodou pro řešení problémů strojírenství a matematické modely. Typické problémové oblasti zájmu zahrnují tradiční pole strukturální analýza, přenos tepla, proudění tekutin, hromadná doprava a elektromagnetický potenciál. FEM je zvláštní numerická metoda k řešení parciální diferenciální rovnice ve dvou nebo třech prostorových proměnných (tj. některé problémy s hraniční hodnotou ). K vyřešení problému rozdělí MKP velký systém na menší a jednodušší části, které se nazývají konečné prvky. Toho je dosaženo konkrétním prostorem diskretizace v prostorových rozměrech, který je realizován výstavbou a pletivo objektu: numerická doména řešení, která má konečný počet bodů. Formulace metody konečných prvků problému okrajové hodnoty nakonec vyústí v systém algebraické rovnice. Metoda aproximuje neznámou funkci přes doménu.^[1]Jednoduché rovnice, které modelují tyto konečné prvky, se poté sestaví do většího systému rovnic, který modeluje celý problém. MKP poté použije variační metody z variační počet přiblížit řešení minimalizací přidružené chybové funkce.

Studium nebo analyzovat jev s MKP se často označuje jako analýza konečných prvků (FEA).

Základní pojmy

Rozdělení celé domény na jednodušší části má několik výhod:^[2]

• Přesné znázornění složité geometrie
• Zahrnutí různých materiálových vlastností
• Snadné znázornění celkového řešení
• Zachycení místních účinků.

Typické zpracování metody zahrnuje (1) rozdělení domény problému do souboru subdomén, přičemž každá subdoména je představována množinou elementových rovnic původního problému, následovanou (2) systematickým rekombinováním všech sad rovnic prvků do globální systém rovnic pro konečný výpočet. Globální systém rovnic má známé techniky řešení a lze jej vypočítat z počáteční hodnoty původního problému získat číselnou odpověď.

V prvním kroku výše jsou rovnice prvků jednoduché rovnice, které se místně přibližují původním komplexním rovnicím, které mají být studovány, přičemž původní rovnice jsou často parciální diferenciální rovnice (PDE). Pro vysvětlení aproximace v tomto procesu je metoda konečných prvků běžně představována jako speciální případ Galerkinova metoda. Proces, v matematickém jazyce, je postavit integrál z vnitřní produkt zbytku a váhové funkce a nastavte integrál na nulu. Jednoduše řečeno, jedná se o postup, který minimalizuje chybu aproximace vložením zkušebních funkcí do PDE. Zbytkem je chyba způsobená zkušebními funkcemi a váhovými funkcemi polynomiální aproximační funkce, které promítají reziduum. Proces eliminuje všechny prostorové deriváty z PDE, čímž se PDE lokálně přiblíží

• sada algebraické rovnice pro ustálený stav problémy,
• sada obyčejné diferenciální rovnice pro přechodný problémy.

Tyto sady rovnic jsou rovnice prvků. Oni jsou lineární pokud je základní PDE lineární a naopak. Sady algebraických rovnic, které vznikají v úlohách ustáleného stavu, jsou řešeny pomocí numerická lineární algebra metody, zatímco obyčejná diferenciální rovnice množiny, které vznikají při přechodných problémech, jsou řešeny numerickou integrací pomocí standardních technik jako např Eulerova metoda nebo Runge-Kutta metoda.

V kroku (2) výše je generován globální systém rovnic z rovnic prvků transformací souřadnic z místních uzlů subdomén na globální uzly domény. Tato prostorová transformace zahrnuje vhodné úpravy orientace jak je použito ve vztahu k referenci souřadnicový systém. Proces se často provádí pomocí softwaru FEM pomocí koordinovat data generovaná ze subdomén.

MKP lze nejlépe pochopit z její praktické aplikace známé jako analýza konečných prvků (FEA). FEA, jak byla použita v inženýrství je výpočetní nástroj pro provádění inženýrská analýza. Zahrnuje použití generování sítě techniky dělení složitý problém na malé prvky, stejně jako použití software program kódovaný pomocí algoritmu FEM. Při použití FEA je komplexním problémem obvykle fyzický systém s podkladem fyzika tak jako Euler-Bernoulliho rovnice paprsku, rovnice tepla, nebo Navier-Stokesovy rovnice vyjádřeno buď v PDE, nebo integrální rovnice, zatímco rozdělené malé prvky komplexního problému představují různé oblasti ve fyzickém systému.

FEA je dobrou volbou pro analýzu problémů na složitých doménách (jako jsou automobily a ropovody), když se doména mění (jako během reakce v pevné fázi s pohyblivou hranicí), když se požadovaná přesnost mění v celé doméně, nebo když řešení postrádá hladkost. Simulace FEA poskytují cenný zdroj, protože odstraňují více instancí vytváření a testování tvrdých prototypů pro různé situace s vysokou věrností.^[3] Například v simulaci čelního nárazu je možné zvýšit přesnost predikce v „důležitých“ oblastech, jako je přední část vozu, a snížit ji v jeho zadní části (čímž se sníží náklady na simulaci). Další příklad by byl v numerická předpověď počasí, kde je důležitější mít přesné předpovědi vývoje vysoce nelineárních jevů (např tropické cyklóny v atmosféře, nebo víry v oceánu) spíše než v relativně klidných oblastech.

FEM pletivo vytvořený analytikem před nalezením řešení a magnetický problém s použitím softwaru FEM. Barvy naznačují, že analytik nastavil materiálové vlastnosti pro každou zónu, v tomto případě a vedení cívka drátu v oranžové barvě; A feromagnetický komponenta (možná žehlička ) ve světle modré barvě; a vzduch v šedé barvě. Ačkoli se geometrie může zdát jednoduchá, bylo by velmi náročné vypočítat magnetické pole pro toto nastavení bez použití softwaru FEM pomocí samotné rovnice.

Řešení MKP problému vlevo, zahrnující a válcovitě tvarovaná magnetický štít. The feromagnetický válcová část stíní oblast uvnitř válce odkloněním magnetického pole vytvořeno cívkou (obdélníková oblast vpravo). Barva představuje amplituda z hustota magnetického toku, jak ukazuje stupnice ve vložené legendě, červená má vysokou amplitudu. Oblast uvnitř válce má nízkou amplitudu (tmavě modrá, se značně rozmístěnými čarami magnetického toku), což naznačuje, že štít funguje tak, jak byl navržen.

Dějiny

I když je obtížné citovat datum vynálezu metody konečných prvků, metoda pocházela z potřeby řešení složitých pružnost a strukturální analýza problémy v civilní a letecké inženýrství. Jeho vývoj lze vysledovat zpět k práci A. Hrennikoff^[4] a R. Courant^[5] na počátku 40. let. Další průkopník byl Ioannis Argyris. V SSSR je zavedení praktické aplikace metody obvykle spojeno s názvem Leonard Oganesyan.^[6] V Číně na konci 50. a na počátku 60. let na základě výpočtů přehradních konstrukcí K. Feng navrhla systematickou numerickou metodu řešení parciální diferenciální rovnice. Metoda se nazývala metoda konečných rozdílů založená na variačním principu, což byl další nezávislý vynález metody konečných prvků.^[7] Přestože se přístupy těchto průkopníků liší, sdílejí jednu podstatnou vlastnost: pletivo diskretizace spojité domény do sady diskrétních subdomén, obvykle nazývaných prvky.

Hrennikoffova práce diskretizuje doménu pomocí a mříž analogie, zatímco Courantův přístup rozděluje doménu na konečné trojúhelníkové podoblasti, které je třeba vyřešit druhá objednávka eliptický parciální diferenciální rovnice (PDE), které vznikají z problému kroucení a válec. Courantův příspěvek byl evoluční a vycházel z velkého množství dřívějších výsledků pro PDE vyvinutých společností Rayleigh, Ritz, a Galerkin.

Metoda konečných prvků získala svůj skutečný impuls v 60. a 70. letech vývojem J. H. Argyris se spolupracovníky na University of Stuttgart, R. W. Clough se spolupracovníky v UC Berkeley, O. C. Zienkiewicz se spolupracovníky Ernest Hinton, Bruce Irons^[8] a další na Swansea University, Philippe G. Ciarlet na univerzitě v Paříž 6 a Richard Gallagher se spolupracovníky v Cornell University. Další podnět v těchto letech poskytly dostupné softwarové programy konečných prvků open source. NASA sponzorovala původní verzi NASTRAN a UC Berkeley vytvořili program konečných prvků SAP IV^[9] široce dostupný. V Norsku společnost pro klasifikaci lodí Det Norske Veritas (nyní DNV GL ) vyvinut Sesam v roce 1969 pro použití při analýze lodí.^[10] Důsledný matematický základ metody konečných prvků byl poskytnut v roce 1973 publikací Strang a Opravit.^[11] Metoda byla od té doby zobecněna pro numerické modelování fyzických systémů v široké škále inženýrství obory, např. elektromagnetismus, přenos tepla, a dynamika tekutin.^[12][13]

Technická diskuse

Struktura metod konečných prvků

Metodu konečných prvků charakterizuje a variační formulace, diskretizační strategie, jeden nebo více algoritmů řešení a postupy post-processingu.

Příklady variační formulace jsou Galerkinova metoda, diskontinuální Galerkinova metoda, smíšené metody atd.

Diskretizační strategií se rozumí jasně definovaný soubor postupů, které pokrývají (a) vytváření sítí konečných prvků, (b) definici základní funkce na referenčních prvcích (nazývané také tvarové funkce) a (c) mapování odkazu prvky na prvky sítě. Příklady diskretizačních strategií jsou verze h, verze p, hp verze, x-FEM, izogeometrická analýza atd. Každá diskretizační strategie má určité výhody a nevýhody. Rozumným kritériem při výběru diskretizační strategie je realizace téměř optimálního výkonu pro nejširší sadu matematických modelů v konkrétní třídě modelů.

Různé numerické algoritmy řešení lze rozdělit do dvou širokých kategorií; přímé a iterativní řešitele. Tyto algoritmy jsou navrženy tak, aby využívaly řídkost matic, které závisí na volbách variační formulace a diskretizační strategii.

Postupy po zpracování jsou navrženy pro extrakci dat, která nás zajímají, z řešení konečných prvků. Aby bylo možné splnit požadavky na ověření řešení, je třeba zajistit postprocesory a posteriori odhad chyb z hlediska sledovaných veličin. Pokud jsou chyby aproximace větší než to, co je považováno za přijatelné, musí se diskretizace změnit buď automatizovaným adaptivním procesem, nebo akcí analytika. Existuje několik velmi efektivních postprocesorů, které zajišťují realizaci superkonvergence.

Ilustrativní problémy P1 a P2

Metodu konečných prvků si předvedeme pomocí dvou vzorových úloh, ze kterých lze extrapolovat obecnou metodu. Předpokládá se, že čtenář je obeznámen s počet a lineární algebra.

P1 je a jednorozměrný problém

${displaystyle {mbox {P1}}: {egin {cases} u '(x) = f (x) {mbox {in}} (0,1), u (0) = u (1) = 0, konec {případů}}}$

kde ${displaystyle f}$ je dáno, ${displaystyle u}$ je neznámá funkce ${displaystyle x}$, a ${displaystyle u ''}$ je druhý derivát ${displaystyle u}$ s ohledem na ${displaystyle x}$.

P2 je a dvourozměrný problém (Dirichletův problém )

${displaystyle {mbox {P2}}: {egin {cases} u_ {xx} (x, y) + u_ {yy} (x, y) = f (x, y) & {mbox {in}} Omega, u = 0 a {mbox {on}} částečná Omega, konec {případů}}}$

kde ${displaystyle Omega}$ je propojená otevřená oblast v ${displaystyle (x, y)}$ letadlo, jehož hranice ${displaystyle partial Omega}$ je hezké (např hladké potrubí nebo a polygon ), a ${displaystyle u_ {xx}}$ a ${displaystyle u_ {yy}}$ označit druhé deriváty s ohledem na ${displaystyle x}$ a ${displaystyle y}$, resp.

Problém P1 lze vyřešit přímo výpočtem antiderivativa. Tato metoda řešení problém mezní hodnoty (BVP) funguje pouze v případě, že existuje jedna prostorová dimenze, a nezobecňuje se na problémy vyšší dimenze nebo podobné problémy ${displaystyle u + u '= f}$. Z tohoto důvodu vyvineme metodu konečných prvků pro P1 a načrtneme její zobecnění na P2.

Naše vysvětlení bude probíhat ve dvou krocích, které odrážejí dva základní kroky, které je třeba podniknout k vyřešení problému s hraniční hodnotou (BVP) pomocí MKP.

• V prvním kroku přeformuluje původní BVP v jeho slabé formě. Pro tento krok je obvykle zapotřebí malý nebo žádný výpočet. Transformace se provádí ručně na papíře.
• Druhým krokem je diskretizace, kdy je slabá forma diskretizována v konečně-dimenzionálním prostoru.

Po tomto druhém kroku máme konkrétní vzorce pro velký, ale konečněrozměrný lineární problém, jehož řešení přibližně vyřeší původní BVP. Tento konečně-dimenzionální problém je poté implementován na a počítač.

Slabá formulace

Prvním krokem je převod P1 a P2 na jejich ekvivalent slabé formulace.

Slabá forma P1

Li ${displaystyle u}$ řeší P1, pak pro jakoukoli hladkou funkci ${displaystyle v}$ který splňuje okrajové podmínky posunutí, tj. ${displaystyle v = 0}$ na ${displaystyle x = 0}$ a ${displaystyle x = 1}$, my máme

(1) ${displaystyle int _ {0} ^ {1} f (x) v (x), dx = int _ {0} ^ {1} u '' (x) v (x), dx.}$

Naopak, pokud ${displaystyle u}$ s ${displaystyle u (0) = u (1) = 0}$ vyhovuje (1) pro každou hladkou funkci ${displaystyle v (x)}$ pak se může ukázat, že tohle ${displaystyle u}$ vyřeší P1. Důkaz je jednodušší pro dvakrát nepřetržitě rozlišitelné ${displaystyle u}$ (věta o střední hodnotě ), ale může být prokázáno v a distribuční smysl také.

Definujeme nového operátora nebo mapu ${displaystyle phi (u, v)}$ používáním integrace po částech na pravé straně (1):

(2)${displaystyle {egin {aligned} int _ {0} ^ {1} f (x) v (x), dx & = int _ {0} ^ {1} u '' (x) v (x), dx & = u '(x) v (x) | _ {0} ^ {1} -int _ {0} ^ {1} u' (x) v '(x), dx & = - int _ {0} ^ {1} u '(x) v' (x), dxequiv -phi (u, v), konec {zarovnáno}}}$

kde jsme použili předpoklad, že ${displaystyle v (0) = v (1) = 0}$.

Slabá forma P2

Pokud integrujeme po částech pomocí formy Greenovy identity, vidíme, že pokud ${displaystyle u}$ řeší P2, pak můžeme definovat ${displaystyle phi (u, v)}$ pro všechny ${displaystyle v}$ podle

${displaystyle int _ {Omega} fv, ds = -int _ {Omega} abla ucdot abla v, dsequiv -phi (u, v),}$

kde ${displaystyle abla}$ označuje spád a ${displaystyle cdot}$ označuje Tečkovaný produkt v dvourozměrné rovině. Ještě jednou ${displaystyle,! phi}$ lze na vhodném prostoru přeměnit na vnitřní produkt ${displaystyle H_ {0} ^ {1} (Omega)}$ kdysi diferencovatelných funkcí ${displaystyle Omega}$ které jsou nulové ${displaystyle partial Omega}$. To jsme také předpokládali ${displaystyle vin H_ {0} ^ {1} (Omega)}$ (vidět Sobolevovy prostory ). Lze také ukázat existenci a jedinečnost řešení.

Důkazní obrys existence a jedinečnosti řešení

Můžeme volně myslet ${displaystyle H_ {0} ^ {1} (0,1)}$ být absolutně kontinuální funkce ${displaystyle (0,1)}$ to jsou ${displaystyle 0}$ na ${displaystyle x = 0}$ a ${displaystyle x = 1}$ (vidět Sobolevovy prostory ). Takové funkce jsou (slabě) jednou diferencovatelné a ukázalo se, že jsou symetrické bilineární mapa ${displaystyle!, phi}$ pak definuje vnitřní produkt který se otočí ${displaystyle H_ {0} ^ {1} (0,1)}$ do Hilbertův prostor (podrobný důkaz je netriviální). Na druhé straně na levé straně ${displaystyle int _ {0} ^ {1} f (x) v (x) dx}$ je také vnitřní produkt, tentokrát na LP prostor ${displaystyle L ^ {2} (0,1)}$. Aplikace Rieszova věta o reprezentaci pro Hilbertovy prostory ukazuje, že existuje jedinečný ${displaystyle u}$ řešení (2) a tedy P1. Toto řešení je a priori pouze členem ${displaystyle H_ {0} ^ {1} (0,1)}$, ale pomocí eliptický pravidelnost, bude hladká, pokud ${displaystyle f}$ je.

Diskretizace

Funkce v ${displaystyle H_ {0} ^ {1},}$ s nulovými hodnotami v koncových bodech (modrá) a po částech lineární aproximace (červená)

P1 a P2 jsou připraveny k diskriminaci, což vede ke společnému dílčímu problému (3). Základní myšlenkou je nahradit nekonečně rozměrný lineární problém:

Nalézt ${displaystyle uin H_ {0} ^ {1}}$ takhle

${displaystyle forall vin H_ {0} ^ {1},; - phi (u, v) = int fv}$

s konečně-dimenzionální verzí:

(3) Najít ${displaystyle uin V}$ takhle

${displaystyle forall vin V,; - phi (u, v) = int fv}$

kde ${displaystyle V}$ je konečně-dimenzionální podprostor z ${displaystyle H_ {0} ^ {1}}$. Existuje mnoho možných možností ${displaystyle V}$ (jedna možnost vede k spektrální metoda ). Pro metodu konečných prvků však vezmeme ${displaystyle V}$ být prostorem po částech polynomiálních funkcí.

Pro problém P1

Bereme interval ${displaystyle (0,1)}$, Vybrat ${displaystyle n}$ hodnoty ${displaystyle x}$ s ${displaystyle 0 = x_ {0}$ a definujeme ${displaystyle V}$ podle:

${displaystyle V = {v: [0,1] ightarrow mathbb {R};: v {mbox {je spojitý,}} v | _ {[x_ {k}, x_ {k + 1}]}} {mbox {je lineární pro}} k = 0, tečky, n {mbox {a}} v (0) = v (1) = 0}}$

kde definujeme ${displaystyle x_ {0} = 0}$ a ${displaystyle x_ {n + 1} = 1}$. Pozorujte, že funkce v ${displaystyle V}$ nejsou rozlišitelné podle základní definice počtu. Opravdu, pokud ${displaystyle vin V}$ pak derivát obvykle není definován vůbec ${displaystyle x = x_ {k}}$, ${displaystyle k = 1, ldots, n}$. Derivát však existuje při všech ostatních hodnotách ${displaystyle x}$ a lze tento derivát použít pro účely integrace po částech.

Po částech lineární funkce ve dvou rozměrech

Pro problém P2

Potřebujeme ${displaystyle V}$ být soubor funkcí ${displaystyle Omega}$. Na obrázku vpravo jsme ilustrovali a triangulace z 15 stran polygonální kraj ${displaystyle Omega}$ v rovině (dole) a a po částech lineární funkce (výše, barevně) tohoto mnohoúhelníku, který je lineární na každém trojúhelníku triangulace; prostor ${displaystyle V}$ by se skládal z funkcí, které jsou lineární na každém trojúhelníku zvolené triangulace.

Jeden doufá, že jakmile bude podkladová trojúhelníková síť jemnější a jemnější, řešení diskrétního problému (3) se v určitém smyslu sblíží s řešením původního problému okrajové hodnoty P2. K měření této jemnosti sítě je triangulace indexována pomocí parametru se skutečnou hodnotou ${displaystyle h> 0}$ který z nich je velmi malý. Tento parametr bude souviset s velikostí největšího nebo průměrného trojúhelníku v triangulaci. Jak zpřesňujeme triangulaci, prostor po částech lineárních funkcí ${displaystyle V}$ musí také změnit s ${displaystyle h}$. Z tohoto důvodu se často čte ${displaystyle V_ {h}}$ namísto ${displaystyle V}$ v literatuře. Protože takovou analýzu neprovádíme, nebudeme tuto notaci používat.

Výběr základu

Interpolace a Besselova funkce

16 zmenšených a posunutých trojúhelníkových základních funkcí (barev) použitých k rekonstrukci Besselovy funkce s nulovým řádem J₀ (Černá).

Lineární kombinace základních funkcí (žlutá) se reprodukuje J₀ (modrá) na požadovanou přesnost.

K dokončení diskretizace musíme vybrat a základ z ${displaystyle V}$. V jednorozměrném případě pro každý kontrolní bod ${displaystyle x_ {k}}$ zvolíme po částech lineární funkci ${displaystyle v_ {k}}$ v ${displaystyle V}$ jehož hodnota je ${displaystyle 1}$ na ${displaystyle x_ {k}}$ a nula u každého ${displaystyle x_ {j} ,; jeq k}$, tj.,

${displaystyle v_ {k} (x) = {egin {cases} {x-x_ {k-1} over x_ {k}, - x_ {k-1}} & {mbox {if}} xin [x_ {k -1}, x_ {k}], {x_ {k + 1}, - x nad x_ {k + 1}, - x_ {k}} a {mbox {if}} xin [x_ {k}, x_ {k + 1}], 0 a {mbox {jinak}}, konec {případů}}}$

pro ${displaystyle k = 1, tečky, n}$; tento základ je posunutý a zmenšený funkce stanu. Pro dvourozměrný případ zvolíme opět jednu základní funkci ${displaystyle v_ {k}}$ na vrchol ${displaystyle x_ {k}}$ triangulace rovinné oblasti ${displaystyle Omega}$. Funkce ${displaystyle v_ {k}}$ je jedinečná funkce ${displaystyle V}$ jehož hodnota je ${displaystyle 1}$ na ${displaystyle x_ {k}}$ a nula u každého ${displaystyle x_ {j} ,; jeq k}$.

V závislosti na autorovi slovo „prvek“ v „metodě konečných prvků“ odkazuje buď na trojúhelníky v doméně, po částech lineární základní funkci, nebo na obojí. Například autor, který se zajímá o zakřivené domény, by mohl trojúhelníky nahradit zakřivenými primitivy, a tak by mohl popsat prvky jako křivočaré. Na druhou stranu někteří autoři nahrazují „po částech lineární“ slovy „po částech kvadratických“ nebo dokonce „po částech polynom“. Autor by pak mohl říci „prvek vyššího řádu“ místo „polynom vyššího stupně“. Metoda konečných prvků není omezena na trojúhelníky (nebo čtyřstěny ve 3-d nebo simplexy vyššího řádu ve vícerozměrných prostorech), ale může být definována na čtyřstranných subdoménách (hexahedra, hranoly nebo pyramidy ve 3-d atd.) . Tvary vyššího řádu (křivočaré prvky) lze definovat pomocí polynomiálních i nepolynomiálních tvarů (např. Elipsa nebo kružnice).

Příklady metod, které používají vyšší stupeň po částech polynomiálních základních funkcí, jsouhp-FEM a spektrální FEM.

Pokročilejší implementace (adaptivní metody konečných prvků) využívají metodu k hodnocení kvality výsledků (na základě teorie odhadu chyb) a úpravy sítě během řešení, jejímž cílem je dosáhnout přibližného řešení v některých mezích od přesného řešení úlohy kontinua . Adaptivita sítě může využívat různé techniky, nejoblíbenější jsou:

• pohybující se uzly (r-adaptivita)
• rafinace (a nerafinované) prvky (h-adaptivita)
• měnící se pořadí základních funkcí (p-adaptivita)
• kombinace výše uvedených (hp-adaptivita ).

Malá podpora základny

Řešení dvojrozměrného problému ${displaystyle u_ {xx} + u_ {yy} = - 4}$ v disku se středem na počátku a poloměru 1, s nulovými okrajovými podmínkami.
(a) Triangulace.

(b) řídká matice L diskretizovaného lineárního systému

(c) vypočítané řešení, ${displaystyle u (x, y) = 1-x ^ {2} -y ^ {2}.}$

Hlavní výhodou této volby základu je, že vnitřní produkty

${displaystyle langle v_ {j}, v_ {k} angle = int _ {0} ^ {1} v_ {j} v_ {k}, dx}$

a

${displaystyle phi (v_ {j}, v_ {k}) = int _ {0} ^ {1} v_ {j} 'v_ {k}', dx}$

bude nula pro téměř všechny ${displaystyle j, k}$(Matice obsahující ${displaystyle langle v_ {j}, v_ {k} úhel}$ v ${displaystyle (j, k)}$ umístění je známé jako Gramianova matice.) V jednorozměrném případě je Podpěra, podpora z ${displaystyle v_ {k}}$ je interval ${displaystyle [x_ {k-1}, x_ {k + 1}]}$. Proto celá čísla ${displaystyle langle v_ {j}, v_ {k} úhel}$ a ${displaystyle phi (v_ {j}, v_ {k})}$ jsou identicky kdykoli nulové ${displaystyle | j-k |> 1}$.

Podobně v rovinném případě, pokud ${displaystyle x_ {j}}$ a ${displaystyle x_ {k}}$ nesdílejte hranu triangulace, pak integrály

${displaystyle int _ {Omega} v_ {j} v_ {k}, ds}$

a

${displaystyle int _ {Omega} abla v_ {j} cdot abla v_ {k}, ds}$

jsou oba nula.

Maticová forma problému

Pokud píšeme ${displaystyle u (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} v_ {k} (x)}$ a ${displaystyle f (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} v_ {k} (x)}$ pak problém (3), přičemž ${displaystyle v (x) = v_ {j} (x)}$ pro ${displaystyle j = 1, tečky, n}$se stává

${displaystyle -sum _ {k = 1} ^ {n} u_ {k} phi (v_ {k}, v_ {j}) = součet _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} int v_ {k } v_ {j} dx}$ pro ${displaystyle j = 1, tečky, n.}$ (4)

Pokud označíme ${displaystyle mathbf {u}}$ a ${displaystyle mathbf {f}}$ vektory sloupců ${displaystyle (u_ {1}, tečky, u_ {n}) ^ {t}}$ a ${displaystyle (f_ {1}, tečky, f_ {n}) ^ {t}}$, a pokud to necháme

${displaystyle L = (L_ {ij})}$

a

${displaystyle M = (M_ {ij})}$

být matice, jejichž položky jsou

${displaystyle L_ {ij} = phi (v_ {i}, v_ {j})}$

a

${displaystyle M_ {ij} = int v_ {i} v_ {j} dx}$

pak můžeme přeformulovat (4) jako

${displaystyle -Lmathbf {u} = Mmathbf {f}.}$ (5)

Není nutné předpokládat ${displaystyle f (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} f_ {k} v_ {k} (x)}$. Pro obecnou funkci ${displaystyle f (x)}$, problém (3) s ${displaystyle v (x) = v_ {j} (x)}$ pro ${displaystyle j = 1, tečky, n}$ se stává ve skutečnosti jednodušší, protože žádná matice ${displaystyle M}$ se používá,

${displaystyle -Lmathbf {u} = mathbf {b}}$, (6)

kde ${displaystyle mathbf {b} = (b_ {1}, tečky, b_ {n}) ^ {t}}$ a ${displaystyle b_ {j} = int fv_ {j} dx}$ pro ${displaystyle j = 1, tečky, n}$.

Jak jsme již diskutovali, většina záznamů z ${displaystyle L}$ a ${displaystyle M}$ jsou nula, protože základní funkce ${displaystyle v_ {k}}$ mít malou podporu. Takže nyní musíme vyřešit lineární systém v neznámém ${displaystyle mathbf {u}}$ kde většina záznamů matice ${displaystyle L}$, které musíme převrátit, jsou nulové.

Takové matice jsou známé jako řídké matice, a pro tyto problémy existují efektivní řešitelé (mnohem efektivnější než ve skutečnosti převrácení matice). ${displaystyle L}$ je symetrický a pozitivní určitý, takže technika jako je metoda sdruženého gradientu je zvýhodněný. U problémů, které nejsou příliš velké, řídké LU rozklady a Choleský rozklad stále fungují dobře. Například, MATLAB Operátor zpětného lomítka (který používá řídké LU, řídké Cholesky a další metody faktorizace) může stačit pro sítě se stotisícem vrcholů.

Matice ${displaystyle L}$ se obvykle označuje jako matice tuhosti, zatímco matice ${displaystyle M}$ je nazván hmotnostní matice.

Obecná forma metody konečných prvků

Obecně je metoda konečných prvků charakterizována následujícím procesem.

• Jeden si vybere mřížku pro ${displaystyle Omega}$. V předchozím zpracování se mřížka skládala z trojúhelníků, ale lze také použít čtverce nebo křivočaré polygony.
• Poté si člověk vybere základní funkce. V naší diskusi jsme použili po částech lineární základní funkce, ale je také běžné používat po částech polynomiální základní funkce.

Samostatnou úvahou je plynulost základních funkcí. Pro druhý řád eliptické okrajové problémy, po částech polynomiální bazální funkce, která postačuje pouze spojitá (tj. derivace jsou diskontinuální.) Pro parciální diferenciální rovnice vyššího řádu je nutné použít hladší bazální funkce. Například pro problém čtvrtého řádu, jako je ${displaystyle u_ {xxxx} + u_ {yyyy} = f}$, lze použít po částech kvadratické základní funkce, které jsou ${displaystyle C ^ {1}}$.

Další úvahou je vztah konečně-dimenzionálního prostoru ${displaystyle V}$ k jeho nekonečně rozměrnému protějšku ve výše uvedených příkladech ${displaystyle H_ {0} ^ {1}}$. A metoda vyhovujících prvků je ten, ve kterém prostoru ${displaystyle V}$ je podprostor prostoru prvků pro spojitý problém. Výše uvedený příklad je taková metoda. Pokud tato podmínka není splněna, získáme a metoda nevyhovujících prvků, jehož příkladem je prostor po částech lineárních funkcí přes síť, které jsou spojité v každém středním okraji. Vzhledem k tomu, že tyto funkce jsou obecně podél okrajů nespojité, není tento konečný trojrozměrný prostor podprostorem originálu ${displaystyle H_ {0} ^ {1}}$.

Typicky má jeden algoritmus, který vezme danou síť a rozdělí ji. Pokud je hlavní metodou pro zvýšení přesnosti rozdělení sítě, jedna má h-metoda (h je obvykle průměr největšího prvku v síti.) Tímto způsobem, pokud jeden ukazuje, že došlo k chybě s mřížkou ${displaystyle h}$ je ohraničen výše ${displaystyle Ch ^ {p}}$, pro některé ${displaystyle C$ a ${displaystyle p> 0}$, pak má člověk objednávku str metoda. Za určitých hypotéz (například pokud je doména konvexní), po částech polynom řádu ${displaystyle d}$ metoda bude mít chybu objednávky ${displaystyle p = d + 1}$.

Pokud místo výroby h menší, jeden zvyšuje stupeň polynomů použitých v základní funkci, jeden má a str-metoda. Pokud jeden kombinuje tyto dva typy upřesnění, získá jeden hp-metoda (hp-FEM ). V hp-FEM se stupně polynomu mohou lišit od prvku k prvku. Metody vysokého řádu s velkou uniformou str se nazývají spektrální metody konečných prvků (SFEM ). To nelze zaměňovat spektrální metody.

U vektorových parciálních diferenciálních rovnic mohou základní funkce nabývat hodnot v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$.

Různé typy metod konečných prvků

AEM

Metoda aplikovaných prvků nebo AEM kombinuje funkce MKP i Metoda diskrétních prvků nebo (DEM).

Zobecněná metoda konečných prvků

Metoda generalizovaných konečných prvků (GFEM) používá lokální prostory skládající se z funkcí, nikoli nutně polynomů, které odrážejí dostupné informace o neznámém řešení a zajišťují tak dobrou lokální aproximaci. Pak rozdělení jednoty se používá k „propojení“ těchto prostorů dohromady za vzniku přibližného podprostoru. Účinnost GFEM byla prokázána při aplikaci na problémy s doménami, které mají komplikované hranice, problémy s mikroškálami a problémy s hraničními vrstvami.^[14]

Metoda smíšených konečných prvků

Metoda smíšených konečných prvků je typ metody konečných prvků, ve které se během diskretizace problému s parciální diferenciální rovnicí zavádějí další nezávislé proměnné jako uzlové proměnné.

Proměnná - polynom

The hp-FEM kombinuje adaptivně prvky s proměnnou velikostí h a polynomiální stupeň str za účelem dosažení výjimečně rychlých, exponenciálních konvergenčních rychlostí.^[15]

hpk-FEM

The hpk-FEM kombinuje adaptivně prvky s proměnnou velikostí h, polynomiální stupeň lokálních aproximací str a globální diferencovatelnost místních aproximací (k-1) k dosažení nejlepší míry konvergence.

XFEM

The metoda rozšířených konečných prvků (XFEM) je numerická technika založená na zobecněné metodě konečných prvků (GFEM) a metodě rozdělení jednoty (PUM). Rozšiřuje klasickou metodu konečných prvků obohacením prostoru řešení pro řešení diferenciálních rovnic o diskontinuální funkce. Rozšířené metody konečných prvků obohacují aproximační prostor tak, aby mohl přirozeně reprodukovat náročnou vlastnost spojenou s problémem zájmu: diskontinuitu, singularitu, mezní vrstvu atd. Ukázalo se, že u některých problémů takové vložení prvku problému do aproximační prostor může výrazně zlepšit míru konvergence a přesnost. Kromě toho léčba problémů s diskontinuitami pomocí XFEM potlačuje potřebu spojovat a znovu spojovat diskontinuální povrchy, čímž se zmírňují výpočetní náklady a chyby projekce spojené s konvenčními metodami konečných prvků za cenu omezení diskontinuit na hrany sítě.

Několik výzkumných kódů implementuje tuto techniku ​​v různé míře: 1. GetFEM ++ 2. xfem ++ 3. openxfem ++

XFEM byl také implementován v kódech jako Altair Radios, ASTER, Morfeo a Abaqus. Stále častěji je přijímán jiným komerčním softwarem na bázi konečných prvků s několika pluginy a skutečnými implementacemi jádra (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE atd.).

Metoda konečných prvků se zmenšenou hranicí (SBFEM)

Zavedení metody zmenšených hraničních konečných prvků (SBFEM) vychází od Songa a Wolfa (1997).^[16] SBFEM byl jedním z nejvýnosnějších příspěvků v oblasti numerické analýzy problémů lomové mechaniky. Jedná se o semi-analytickou metodu základního řešení, která kombinuje výhody jak formulací a postupů konečných prvků, tak diskretizace hraničních prvků. Na rozdíl od metody hraničních prvků však není nutné žádné zásadní diferenciální řešení.

S-FEM

S-FEM, metody vyhlazených konečných prvků, je zvláštní třída numerických simulačních algoritmů pro simulaci fyzikálních jevů. Byl vyvinut kombinací metod meshfree s metodou konečných prvků.

Metoda spektrálních prvků

Metody spektrálních prvků kombinují geometrickou flexibilitu konečných prvků a akutní přesnost spektrálních metod. Spektrální metody jsou přibližným řešením dílčích rovnic slabé formy, které jsou založeny na Lagrangeových interpolantech vysokého řádu a používají se pouze s určitými pravidly kvadratury.^[17]

Meshfree metody

Diskontinuální Galerkinovy ​​metody

Analýza limitů konečných prvků

Metoda natažené mřížky

Loubignacová iterace

Loubignacová iterace je iterační metoda v metodách konečných prvků.

Propojení s metodou gradientní diskretizace

Některé typy metod konečných prvků (konformní, nekonformní, smíšené metody konečných prvků) jsou konkrétními případy metoda gradientní diskretizace (GDM). Proto pro tyto konkrétní metody konečných prvků platí také konvergenční vlastnosti GDM, které jsou stanoveny pro řadu problémů (lineární a nelineární eliptické problémy, lineární, nelineární a degenerované parabolické problémy).

Porovnání s metodou konečných rozdílů

The metoda konečné diference (FDM) je alternativní způsob aproximace řešení PDE. Rozdíly mezi MKP a FDM jsou:

• Nejatraktivnějším rysem MKP je jeho schopnost relativně snadno zvládnout komplikované geometrie (a hranice). Zatímco FDM ve své základní formě je omezeno na zpracování obdélníkových tvarů a jejich jednoduchých změn, manipulace s geometriemi v MKP je teoreticky přímá.
• FDM se obvykle nepoužívá pro nepravidelné geometrie CAD, ale častěji pro obdélníkové nebo blokové modely.^[18]
• Nejatraktivnějším rysem konečných rozdílů je, že je velmi snadno implementovatelný.
• Existuje několik způsobů, jak lze FDM považovat za zvláštní případ přístupu MKP. Například MKP prvního řádu je identická s FDM pro Poissonova rovnice, pokud je problém diskriminován pravidelnou obdélníkovou sítí, přičemž každý obdélník je rozdělen na dva trojúhelníky.
• Existují důvody, proč považovat matematický základ aproximace konečných prvků za zdravější, například proto, že kvalita aproximace mezi body mřížky je ve FDM špatná.
• Kvalita aproximace MKP je často vyšší než v odpovídajícím přístupu FDM, ale toto je extrémně závislé na problému a lze uvést několik opaků.

Obecně je MKP metodou volby u všech typů analýz v konstrukční mechanice (tj. Řešení deformací a napětí v objemových tělesech nebo dynamice konstrukcí), zatímco výpočetní dynamika tekutin (CFD) mají tendenci používat FDM nebo jiné podobné metody metoda konečných objemů (FVM). Problémy s CFD obvykle vyžadují diskretizaci problému do velkého počtu buněk / bodů mřížky (miliony a více), proto cena řešení zvýhodňuje jednodušší aproximaci nižšího řádu v každé buňce. To platí zejména pro problémy s „vnějším tokem“, jako je proudění vzduchu kolem auta nebo letadla nebo simulace počasí.

aplikace

Vizualizace toho, jak se auto deformuje při asymetrické srážce pomocí analýzy konečných prvků.[1]

Řada specializací zastřešených ve strojírenské disciplíně (jako je letecký, biomechanický a automobilový průmysl) běžně používá integrovanou FEM při navrhování a vývoji svých produktů. Několik moderních balíčků FEM zahrnuje specifické součásti, jako je tepelné, elektromagnetické, kapalinové a strukturální pracovní prostředí. Při strukturální simulaci pomáhá FEM ohromně při vytváření vizualizací tuhosti a pevnosti a také při minimalizaci hmotnosti, materiálů a nákladů.^[19]

MKP umožňuje podrobnou vizualizaci míst, kde se konstrukce ohýbají nebo kroutí, a indikuje rozložení napětí a posunů. Software FEM poskytuje širokou škálu možností simulace pro řízení složitosti modelování i analýzy systému. Podobně lze požadovanou úroveň požadované přesnosti a související požadavky na výpočetní čas spravovat současně a řešit tak většinu technických aplikací. MKP umožňuje konstrukci, zdokonalení a optimalizaci celých návrhů před jeho vytvořením. Síť je nedílnou součástí modelu a pro dosažení nejlepších výsledků je nutné ji pečlivě kontrolovat. Obecně platí, že čím vyšší je počet prvků v síti, tím přesnější je řešení diskretizovaného problému. Existuje však hodnota, při které se výsledky sbíhají a další upřesnění sítě nezvyšuje přesnost.^[20]

Finite Element Model of a human knee joint.^[21]

This powerful design tool has significantly improved both the standard of engineering designs and the methodology of the design process in many industrial applications.^[22] The introduction of FEM has substantially decreased the time to take products from concept to the production line.^[22] It is primarily through improved initial prototype designs using FEM that testing and development have been accelerated.^[23] In summary, benefits of FEM include increased accuracy, enhanced design and better insight into critical design parameters, virtual prototyping, fewer hardware prototypes, a faster and less expensive design cycle, increased productivity, and increased revenue.^[22]

3D pollution transport model - concentration field on ground level

3D pollution transport model - concentration field on perpendicular surface

In the 1990s FEA was proposed for use in stochastic modelling for numerically solving probability models^[24] and later for reliability assessment.^[25]

Viz také

• Applied element method
• Metoda hraničních prvků
• Céovo lemma
• Počítačový experiment
• Metoda přímé tuhosti
• Optimalizace rozvržení diskontinuity
• Discrete element method
• Metoda konečných rozdílů
• Stroj s konečnými prvky
• Metoda konečných prvků ve strukturální mechanice
• Metoda konečného objemu
• Metoda konečného objemu pro nestacionární tok
• Metoda nekonečných prvků
• Interval finite element
• Izogeometrická analýza
• Lattice Boltzmann metody
• Seznam softwarových balíků konečných prvků
• Meshfree metody
• Movable cellular automaton
• Multidisciplinární optimalizace designu
• Multifyzika
• Kalmetizace
• Rayleigh – Ritzova metoda
• Mapování prostoru
• Teselace (počítačová grafika)
• Oslabená slabá forma

Reference

Další čtení

• G. Allaire and A. Craig: Numerical Analysis and Optimization: An Introduction to Mathematical Modelling and Numerical Simulation.
• K. J. Bathe: Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall (1976).
• Thomas J.R. Hughes: The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Prentice-Hall (1987).
• J. Chaskalovic: Finite Elements Methods for Engineering Sciences, Springer Verlag, (2008).
• Endre Süli: Finite Element Methods for Partial Differential Equations.
• O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : Metoda konečných prvků: její základy a základy, Butterworth-Heinemann (2005).

externí odkazy

• IFER – Internet Finite Element Resources – describes and provides access to finite element analysis software via the Internet
• NAFEMS – International Association Engineering Modelling
• Mathematics of the Finite Element Method