Bilineární forma - Bilinear form

v matematika, a bilineární forma na vektorový prostor PROTI je bilineární mapa PROTI × PROTI → K., kde K. je pole z skaláry. Jinými slovy, bilineární forma je funkce B : PROTI × PROTI → K. to je lineární v každém argumentu zvlášť:

• B(u + proti, w) = B(u, w) + B(proti, w) a B(λu, proti) = λB(u, proti)
• B(u, proti + w) = B(u, proti) + B(u, w) a B(u, λproti) = λB(u, proti)

Definici bilineární formy lze rozšířit o moduly přes prsten, s lineární mapy nahrazen homomorfismy modulu.

Když K. je obor komplexní čísla C, člověka často zajímá více sesquilineární formy, které jsou podobné bilineárním formám, ale jsou konjugát lineární v jednom argumentu.

Znázornění souřadnic

Nechat PROTI ≅ K.ⁿ být n-dimenzionální vektorový prostor s základ {E₁, ..., E_n}.

The n × n matice A, definován A_ij = B(E_i, E_j) se nazývá matice bilineární formy na základě {E₁, ..., E_n}.

Pokud n × 1 matice X představuje vektor proti s ohledem na tento základ a obdobně y představuje další vektor w, pak:

${ displaystyle B ( mathbf {v}, mathbf {w}) = mathbf {x} ^ { textyf {T}} A mathbf {y} = součet _ {i, j = 1} ^ { n} x_ {i} a_ {ij} y_ {j}.}$

Bilineární forma má různé matice na různých základnách. Matice bilineární na různých bázích jsou však všechny shodný. Přesněji řečeno, pokud {F₁, ..., F_n} je dalším základem PROTI, pak

${ displaystyle mathbf {f} _ {j} = součet _ {i = 1} ^ {n} S_ {i, j} mathbf {e} _ {i},}$

Kde ${ displaystyle S_ {i, j}}$ pro muže invertibilní matice S. Pak je matice bilineární formy na novém základě S^TTAK JAKO.

Mapy do dvojího prostoru

Každá bilineární forma B na PROTI definuje dvojici lineárních map z PROTI k jeho dvojí prostor PROTI^∗. Definovat B₁, B₂: PROTI → PROTI^∗ podle

B₁(proti)(w) = B(proti, w)

B₂(proti)(w) = B(w, proti)

Toto se často označuje jako

B₁(proti) = B(proti, ⋅)

B₂(proti) = B(⋅, proti)

kde tečka (⋅) označuje slot, do kterého je argument pro výsledek lineární funkční má být umístěn (viz Kari ).

Pro konečný trojrozměrný vektorový prostor PROTI, pokud některý z B₁ nebo B₂ je izomorfismus, pak oba jsou a bilineární forma B se říká, že je nedegenerovat. Přesněji řečeno, pro konečný trojrozměrný vektorový prostor nedegenerovaný znamená, že každý nenulový prvek se netriviálně páruje s nějakým jiným prvkem:

${ displaystyle B (x, y) = 0 ,}$ pro všechny ${ displaystyle y ve V}$ to naznačuje X = 0 a

${ displaystyle B (x, y) = 0 ,}$ pro všechny ${ displaystyle x ve V}$ to naznačuje y = 0.

Odpovídající představa o modulu nad komutativním prstencem je, že bilineární forma je unimodulární -li PROTI → PROTI^∗ je izomorfismus. Vzhledem k definitivně generovanému modulu přes komutativní kruh může být párování injektivní (tedy „nedgenerativní“ ve výše uvedeném smyslu), ale ne unimodulární. Například přes celá čísla, párování B(X, y) = 2xy není nedgenerativní, ale není unimodulární, protože indukovaná mapa z PROTI = Z na PROTI^∗ = Z je násobení 2.

Li PROTI je konečně-dimenzionální, pak lze identifikovat PROTI s jeho dvojitým duálním PROTI^∗∗. Jeden to pak může ukázat B₂ je přemístit lineární mapy B₁ (li PROTI je tedy nekonečně dimenzionální B₂ je transpozice B₁ omezeno na obraz PROTI v PROTI^∗∗). Dáno B lze definovat přemístit z B být bilineární formou danou

^tB(proti, w) = B(w, proti).

The vlevo radikál a pravý radikál formuláře B jsou jádra z B₁ a B₂ respektive;^[1] jsou to vektory kolmé k celému prostoru nalevo a napravo.^[2]

Li PROTI je konečný-rozměrný pak hodnost z B₁ se rovná hodnosti B₂. Pokud se toto číslo rovná dim (PROTI) pak B₁ a B₂ jsou lineární izomorfismy z PROTI na PROTI^∗. V tomto případě B je nedgenerativní. Podle věta o nulitě, to je ekvivalentní podmínce, že levý a ekvivalentně pravý radikál je triviální. U konečných rozměrných prostorů se to často bere jako definice nedgenerace:

Definice: B je nedegenerovat -li B(proti, w) = 0 pro všechny w naznačuje proti = 0.

Vzhledem k jakékoli lineární mapě A : PROTI → PROTI^∗ lze získat bilineární formu B na PROTI přes

B(proti, w) = A(proti)(w).

Tento formulář bude nedgenerovaný, pokud a pouze pokud A je izomorfismus.

Li PROTI je konečně-dimenzionální pak ve vztahu k některým základ pro PROTI, bilineární forma je zdegenerovaná právě tehdy, když určující přidružené matice je nula. Podobně nedegenerovaná forma je forma, pro kterou je determinant přidružené matice nenulový (matice je ne singulární ). Tato tvrzení jsou nezávislá na zvoleném základě. Pro modul přes komutativní kruh je unimodulární forma taková, pro kterou je determinant přidružené matice a jednotka (například 1), proto termín; Všimněte si, že forma, jejíž matice je nenulová, ale není jednotkou, bude nedgenerativní, ale ne unimodulární, například B(X, y) = 2xy přes celá čísla.

Symetrické, šikmo symetrické a střídavé tvary

Definujeme bilineární formu, která má být

• symetrický -li B(proti, w) = B(w, proti) pro všechny proti, w v PROTI;
• střídavý -li B(proti, proti) = 0 pro všechny proti v PROTI;
• šikmo symetrický -li B(proti, w) = −B(w, proti) pro všechny proti, w v PROTI;

  Tvrzení: Každá střídající se forma je zkosená symetrická.

  Důkaz: To lze vidět rozšířením B(proti + w, proti + w).

Pokud charakteristický z K. není 2, pak platí i obráceně: každý symetrický tvar zešikmení se střídá. Pokud však char (K.) = 2 pak je zkosený symetrický tvar stejný jako symetrický tvar a existují symetrické / zkosené symetrické tvary, které se nestřídají.

Bilineární forma je symetrická (resp. Zkosená symetrická) kdyby a jen kdyby jeho souřadnicová matice (vzhledem k jakémukoli základu) je symetrický (resp. šikmo symetrický ). Bilineární forma se střídá právě tehdy, když je její souřadnicová matice zkosená symetrická a diagonální položky jsou nulové (což vyplývá ze zkosené symetrie, když char (K.) ≠ 2).

Bilineární forma je symetrická právě tehdy, když jsou mapy B₁, B₂: PROTI → PROTI^∗ jsou stejné a šikmé symetrické právě tehdy, pokud jsou navzájem negativy. Li char (K.) ≠ 2 pak je možné rozložit bilineární formu na symetrickou a zkosenou symetrickou část následujícím způsobem

${ displaystyle B ^ {+} = { tfrac {1} {2}} (B + {} ^ { text {t}} B) qquad B ^ {-} = { tfrac {1} {2} } (B - {} ^ { text {t}} B),}$

kde ^tB je transpozice B (definováno výše).

Odvozená kvadratická forma

Pro jakoukoli bilineární formu B : PROTI × PROTI → K., existuje přidružený kvadratická forma Q : PROTI → K. definován Q : PROTI → K. : proti ↦ B(proti, proti).

Když char (K.) ≠ 2kvadratická forma Q je určena symetrickou částí bilineární formy B a je nezávislá na antisymetrické části. V tomto případě existuje vzájemná korespondence mezi symetrickou částí bilineární formy a kvadratickou formou a má smysl hovořit o symetrické bilineární formě spojené s kvadratickou formou.

Když char (K.) = 2 a ztlumit PROTI > 1, tato korespondence mezi kvadratickými formami a symetrickými bilineárními formami se rozpadá.

Reflexivita a ortogonalita

Definice: Bilineární forma B : PROTI × PROTI → K. je nazýván reflexní -li B(proti, w) = 0 naznačuje B(w, proti) = 0 pro všechny proti, w v PROTI.

Definice: Nechat B : PROTI × PROTI → K. být reflexivní bilineární formou. proti, w v PROTI jsou ortogonální vzhledem k B -li B(proti, w) = 0.

Bilineární forma B je reflexivní právě tehdy, je-li symetrický nebo střídavý.^[3] Při absenci reflexivity musíme rozlišovat levou a pravou ortogonalitu. V reflexním prostoru se levý a pravý radikál shodují a jsou označovány jako jádro nebo radikální bilineární formy: podprostor všech vektorů kolmých na všechny ostatní vektory. Vektor proti, s maticovou reprezentací X, je v radikálu bilineární formy s maticovým vyjádřením A, právě když Sekera = 0 ⇔ X^TA = 0. Radikál je vždy podprostorem PROTI. Je to triviální, právě když je to matice A je nesingulární, a tedy tehdy a jen tehdy, pokud je bilineární forma nedgenerativní.

Předpokládat Ž je podprostor. Definujte ortogonální doplněk^[4]

${ displaystyle W ^ { perp} = { mathbf {v} mid B ( mathbf {v}, mathbf {w}) = 0 { text {pro všechny}} mathbf {w} in W } .}$

Pro nedegenerovanou formu v prostoru konečných rozměrů mapa V / W → Ž^⊥ je bijektivní a rozměr Ž^⊥ je ztlumit(PROTI) - ztlumit (Ž).

Různé prostory

Velká část teorie je k dispozici pro a bilineární mapování ze dvou vektorových prostorů přes stejné základní pole do tohoto pole

B : PROTI × Ž → K..

Tady stále máme indukované lineární mapování z PROTI na Ž^∗a od Ž na PROTI^∗. Může se stát, že tato zobrazení jsou izomorfismy; za předpokladu konečných dimenzí, pokud je jeden izomorfismus, musí být druhý. Když k tomu dojde, B se říká, že je perfektní párování.

V konečných rozměrech je to ekvivalentní tomu, že párování je nedgenerativní (prostory nutně mají stejné rozměry). Pro moduly (místo vektorových prostorů), stejně jako je nedegenerovaná forma slabší než unimodulární forma, je nedegenerované párování slabší představou než dokonalé párování. Párování může být například nedgenerativní, aniž by bylo dokonalým párováním Z × Z → Z přes (X, y) ↦ 2xy je nedgenerativní, ale na mapě indukuje násobení 2 Z → Z^∗.

Terminologie se liší pokrytím bilineárních forem. Například F. Reese Harvey pojednává o „osmi typech vnitřního produktu“.^[5] K jejich definování používá diagonální matice A_ij mající pouze +1 nebo -1 pro nenulové prvky. Některé z „vnitřních produktů“ jsou symlektické formy a některé jsou sesquilineární formy nebo Hermitovské formy. Spíše než obecné pole K., instance se skutečnými čísly R, komplexní čísla C, a čtveřice H jsou vysvětleny. Bilineární forma

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ {p} x_ {k} y_ {k} - sum _ {k = p + 1} ^ {n} x_ {k} y_ {k}}$

se nazývá skutečný symetrický případ a označené R(str, q), kde str + q = n. Poté formuluje souvislost s tradiční terminologií:^[6]

Některé ze skutečných symetrických případů jsou velmi důležité. Pozitivní určitý případ R(n, 0) je nazýván Euklidovský prostor, zatímco případ jediného mínusu, R(n−1, 1) je nazýván Lorentzianův prostor. Li n = 4, pak se také nazývá Lorentzianův prostor Minkowského prostor nebo Minkowského časoprostor. Zvláštní případ R(str, str) bude označován jako dělený případ.

Vztah k tenzorovým produktům

Podle univerzální vlastnictví z tenzorový produkt, existuje kanonická korespondence mezi bilineárními formami PROTI a lineární mapy PROTI ⊗ PROTI → K.. Li B je bilineární forma na PROTI odpovídající lineární mapa je dána vztahem

proti ⊗ w ↦ B(proti, w)

V opačném směru, pokud F : PROTI ⊗ PROTI → K. je lineární mapa, odpovídající bilineární forma je dána složením F s bilineární mapou PROTI × PROTI → PROTI ⊗ PROTI který posílá (proti, w) na proti⊗w.

Sada všech lineárních map PROTI ⊗ PROTI → K. je dvojí prostor z PROTI ⊗ PROTI, takže bilineární formy lze považovat za prvky (PROTI ⊗ PROTI)^∗ který (když PROTI je konečně-dimenzionální) je kanonicky izomorfní s PROTI^∗ ⊗ PROTI^∗.

Podobně lze symetrické bilineární formy považovat za prvky Sym²(PROTI^∗) (druhý symetrická síla z PROTI^∗) a střídající se bilineární tvary jako prvky Λ²PROTI^∗ (druhý vnější síla z PROTI^∗).

Na normovaných vektorových prostorech

Definice: Bilineární forma na a normovaný vektorový prostor (PROTI, ‖·‖) je ohraničený, pokud existuje konstanta C takové, že pro všechny u, proti ∈ PROTI,

${ displaystyle B ( mathbf {u}, mathbf {v}) leq C left | mathbf {u} right | left | mathbf {v} right |.}$

Definice: Bilineární forma na normovaném vektorovém prostoru (PROTI, ‖·‖) je eliptickýnebo donucovací, pokud existuje konstanta C > 0 takové, že pro všechny u ∈ PROTI,

${ displaystyle B ( mathbf {u}, mathbf {u}) geq c vlevo | mathbf {u} vpravo | ^ {2}.}$

Zobecnění na moduly

Vzhledem k tomu, prsten R a právo R-modul M a jeho duální modul M^∗, mapování B : M^∗ × M → R se nazývá a bilineární forma -li

B(u + proti, X) = B(u, X) + B(proti, X)

B(u, X + y) = B(u, X) + B(u, y)

B(αu, xβ) = αB(u, X)β

pro všechny u, proti ∈ M^∗, Všechno X, y ∈ M a všechno α, β ∈ R.

Mapování ⟨⋅,⋅⟩ : M^∗ × M → R : (u, X) ↦ u(X) je známý jako přirozené párování, také nazývaný kanonická bilineární forma na M^∗ × M.^[7]

Lineární mapa S : M^∗ → M^∗ : u ↦ S(u) indukuje bilineární formu B : M^∗ × M → R : (u, X) ↦ ⟨S(u), X⟩a lineární mapa T : M → M : X ↦ T(X) indukuje bilineární formu B : M^∗ × M → R : (u, X) ↦ ⟨u, T(X))⟩.

Naopak bilineární forma B : M^∗ × M → R vyvolává R-lineární mapy S : M^∗ → M^∗ : u ↦ (X ↦ B(u, X)) a T′ : M → M^∗∗ : X ↦ (u ↦ B(u, X)). Tady, M^∗∗ označuje dvojitý duální z M.

Viz také

• Bilineární mapa
• Bilineární operátor
• Vnitřní prostor produktu
• Lineární forma
• Multilineární forma
• Kvadratická forma
• Sesquilineární forma
• Polární prostor

Citace

Reference

• Adkins, William A .; Weintraub, Steven H. (1992), Algebra: Přístup prostřednictvím teorie modulů, Postgraduální texty z matematiky, 136, Springer-Verlag, ISBN  3-540-97839-9, Zbl  0768.00003
• Bourbaki, N. (1970), AlgebraSpringer
• Cooperstein, Bruce (2010), „Ch 8: Bilinear Forms and Maps“, Pokročilá lineární algebra, CRC Press, str. 249–88, ISBN  978-1-4398-2966-0
• Grove, Larry C. (1997), Skupiny a znaky, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-16340-4
• Halmos, Paul R. (1974), Konečně-dimenzionální vektorové prostory, Pregraduální texty z matematiky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90093-3, Zbl  0288.15002
• Harvey, F. Reese (1990), „Kapitola 2: Osm typů vnitřních prostorů produktů“, Spinory a kalibrace, Akademický tisk, s. 19–40, ISBN  0-12-329650-1
• Popov, V. L. (1987), „Bilineární forma“, v Hazewinkel, M. (ed.), Encyclopedia of Mathematics, 1, Kluwer Academic Publishers, str. 390–392. Taky: Bilineární forma, str. 390, v Knihy Google
• Jacobson, Nathan (2009), Základní algebra, Já (2. vyd.), ISBN  978-0-486-47189-1
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973), Symetrické bilineární formuláře, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, 73, Springer-Verlag, ISBN  3-540-06009-X, Zbl  0292.10016
• Porteous, Ian R. (1995), Clifford Algebras a klasické skupiny, Cambridge studia pokročilé matematiky, 50, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-55177-9
• Shafarevich, I. R.; A. O. Remizov (2012), Lineární algebra a geometrie, Springer, ISBN  978-3-642-30993-9
• Shilov, Georgi E. (1977), Silverman, Richard A. (ed.), Lineární algebraDover, ISBN  0-486-63518-X
• Zhelobenko, Dmitriĭ Petrovich (2006), Základní struktury a metody teorie reprezentacePřeklady matematických monografií, Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-3731-1

externí odkazy

• „Bilineární forma“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• „Bilineární forma“. PlanetMath.

Tento článek včlení materiál od Unimodular dne PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.