Diferenciální geometrie - Differential geometry

Trojúhelník ponořený do roviny sedlového tvaru (a hyperbolický paraboloid ), stejně jako dva odlišné ultraparalelní čáry.

Geometrie
Projektování A koule do a letadlo
Obrys Dějiny
Pobočky Euklidovský Neeuklidovský Eliptický Sférické Hyperbolický Non-Archimédova geometrie Projektivní Afinní Syntetický Analytický Algebraický Aritmetický Diofantin Rozdíl Riemannian Symplektický Diskrétní diferenciál Komplex Konečný Diskrétní / kombinatorické Digitální Konvexní Výpočetní Fraktál Incidence
Koncepty Funkce Dimenze Konstrukce pravítka a kompasu Úhel Křivka Úhlopříčka Ortogonalita (Kolmý ) Paralelní Vrchol Shoda Podobnost Symetrie
Zero-dimenzionální Směřovat
Jednorozměrný Čára segment paprsek Délka
Dvourozměrný Letadlo Plocha Polygon Trojúhelník Nadmořská výška Přepona Pythagorova věta Rovnoběžník Náměstí Obdélník Kosočtverec Kosodélník Čtyřúhelník Lichoběžník papírový drak Kruh Průměr Obvod Plocha
Trojrozměrný Objem Krychle kvádr Válec Pyramida Koule
Čtyři - / jinak-dimenzionální Tesseract Hypersféra
Geometry
podle jména Aida Aryabhata Ahmes Alhazen Apollonius Archimedes Atiyah Baudhayana Bolyai Brahmagupta Cartan Coxeter Descartes Euklid Euler Gauss Gromov Hilbert Jyeṣṭhadeva Katyjana Khayyám Klein Lobachevsky Manava Minkowski Minggatu Pascal Pythagoras Parameshvara Poincaré Riemann Sakabe Sijzi al-Tusi Veblen Virasena Yang Hui al-Yasamin Zhang Seznam geometrů
podle období BCE Ahmes Baudhayana Manava Pythagoras Euklid Archimedes Apollonius 1–1400 Zhang Katyjana Aryabhata Brahmagupta Virasena Alhazen Sijzi Khayyám al-Yasamin al-Tusi Yang Hui Parameshvara 1400–1700 Jyeṣṭhadeva Descartes Pascal Minggatu Euler Sakabe Aida 1700–1900 Gauss Lobachevsky Bolyai Riemann Klein Poincaré Hilbert Minkowski Cartan Veblen Coxeter Současnost Atiyah Gromov

Diferenciální geometrie je matematický disciplína, která využívá techniky diferenciální počet, integrální počet, lineární algebra a multilineární algebra studovat problémy v geometrie. The teorie rovinných a prostorových křivek a povrchy v trojrozměrném Euklidovský prostor tvořily základ pro vývoj diferenciální geometrie v průběhu 18. a 19. století.

Od konce 19. století se diferenciální geometrie rozrostla do pole, které se obecně týká zapnutých geometrických struktur diferencovatelné potrubí. Diferenciální geometrie úzce souvisí s diferenciální topologie a geometrické aspekty teorie diferenciální rovnice. The diferenciální geometrie povrchů zachycuje mnoho klíčových nápadů a technik endemických v této oblasti.

Historie vývoje

Tato sekce případně obsahuje syntéza materiálu což ne prokazatelně zmínit nebo týkat se k hlavnímu tématu. Relevantní diskuse je k dispozici na internetu diskusní stránka. (Února 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Diferenciální geometrie vznikla a byla vyvinuta v důsledku a v souvislosti s matematickou analýzou křivek a ploch.^[1] Matematická analýza křivek a ploch byla vyvinuta pro zodpovězení některých otravných a nezodpovězených otázek, které se objevily v počet, stejně jako důvody pro vztahy mezi složitými tvary a křivkami, řadami a analytickými funkcemi. Tyto nezodpovězené otázky naznačovaly větší skryté vztahy.

Obecná myšlenka přírodních rovnic pro získávání křivek z lokálního zakřivení se zdála být nejprve zvážena Leonhard Euler v roce 1736 a mnoho příkladů s poměrně jednoduchým chováním bylo studováno v 19. století.^[2]

Když bylo zjištěno, že křivky, povrchy ohraničené křivkami a body na křivkách jsou kvantitativně a obecně související s matematickými formami, formální studium povahy křivek a povrchů se stalo samostatným studijním oborem s Monge papír v roce 1795, a zejména s Gauss Publikace jeho článku s názvem "Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas" v Komentář Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis recentiores v roce 1827.^[3]

Zpočátku aplikovaný na euklidovský prostor, další průzkumy vedly k neeuklidovskému prostoru a metrickým a topologickým prostorům.

Pobočky

Riemannova geometrie

Riemannovy geometrické studie Riemannovy rozdělovače, hladké potrubí s Riemannova metrika. Toto je koncept vzdálenosti vyjádřený pomocí a hladký pozitivní určitý symetrická bilineární forma definované na tečném prostoru v každém bodě. Riemannova geometrie se zobecňuje Euklidovská geometrie do prostor, které nemusí být nutně ploché, i když stále připomínají Euklidovský prostor v každém bodě nekonečně, tj. v prvního řádu aproximace. Různé koncepty založené na délce, například délka oblouku z křivky, plocha rovinných oblastí a objem všech pevných látek vlastní přirozené analogy v Riemannově geometrii. Pojem a směrový derivát funkce z počet proměnných je rozšířen v Riemannově geometrii k pojmu a kovarianční derivace a tenzor. Mnoho koncepcí a technik analýzy a diferenciálních rovnic bylo zobecněno na nastavení Riemannovských variet.

Zachování vzdálenosti difeomorfismus mezi Riemannovými potrubími se nazývá izometrie. Tuto představu lze také definovat lokálně, tj. pro malá sousedství bodů. Jakékoli dvě pravidelné křivky jsou lokálně izometrické. Nicméně Věta Egregium z Carl Friedrich Gauss ukázal, že pro povrchy existence lokální izometrie vnáší do jejich metrik silné podmínky kompatibility: Gaussovské zakřivení v odpovídajících bodech musí být stejné. Ve vyšších dimenzích je Riemannův tenzor zakřivení je důležitý bodový invariant spojený s Riemannovým potrubím, které měří, jak blízko je bytí. Důležitou třídou Riemannovských variet je Riemannovy symetrické prostory, jehož zakřivení nemusí být nutně konstantní. Jedná se o nejbližší analogie k „obyčejné“ rovině a prostoru uvažované v Euklidově a neeuklidovská geometrie.

Pseudo-Riemannova geometrie

Pseudo-Riemannova geometrie zobecňuje Riemannovu geometrii pro případ, ve kterém metrický tenzor nemusí být pozitivní-definitivní. Zvláštním případem je a Lorentzian potrubí, což je matematický základ Einsteinova obecná teorie relativity gravitace.

Finslerova geometrie

Finslerova geometrie má Finsler potrubí jako hlavní předmět studia. Toto je diferenciální potrubí s a Finslerova metrika, tj Banachova norma definované na každém tangenciálním prostoru. Riemannovy rozdělovače jsou speciální případy obecnějších Finslerových rozdělovačů. Finslerova struktura na potrubí M je funkce F : TM → [0, ∞) takové, že:

1. F(X, můj) = m F(X, y) pro všechny (X, y) v TM a všechno m≥0,
2. F je nekonečně diferencovatelné TM ∖ {0},
3. Vertikální pytlovina z F² je pozitivní určitý.

Symplektická geometrie

Symplektická geometrie je studium symplektická potrubí. An téměř symplektické potrubí je diferencovatelné potrubí vybavené a plynule se měnící nedegenerovaný šikmo symetrický bilineární forma na každém tangenciálním prostoru, tj.formulář ω, nazvaný symlektická forma. Symplektický potrubí je téměř symlektický potrubí, pro které je symlektická forma ω je zavřeno: dω = 0.

A difeomorfismus mezi dvěma symplektickými varietami, které zachovávají symplektickou formu, se nazývá a symplectomorphism. Nedegenerované symetrické bilineární tvary zešikmení mohou existovat pouze na sudých trojrozměrných vektorových prostorech, takže symplektická potrubí musí mít nutně sudý rozměr. V dimenzi 2 je symplektický potrubí jen a povrch obdařená plošnou formou a symplektomorfismem je oblast zachovávající difeomorfismus. The fázový prostor mechanického systému je symplektické potrubí a implicitně se objevily již v práci Joseph Louis Lagrange na analytická mechanika a později v Carl Gustav Jacobi a William Rowan Hamilton je formulace klasické mechaniky.

Na rozdíl od Riemannovy geometrie, kde zakřivení poskytuje lokální invariant Riemannovských variet, Darbouxova věta uvádí, že všechna symplektická potrubí jsou lokálně izomorfní. Jediné invarianty symplektického potrubí jsou globální povahy a topologické aspekty hrají prominentní roli v symplektické geometrii. Prvním výsledkem symplektické topologie je pravděpodobně Poincaré – Birkhoffova věta, domníval se Henri Poincaré a poté prokázáno G.D. Birkhoff v roce 1912. Tvrdí, že pokud oblast zachovávající mapu z prstenec otočí každou hraniční složku v opačných směrech, pak má mapa alespoň dva pevné body.^[4]

Kontaktní geometrie

Kontaktní geometrie se zabývá určitými potrubími liché dimenze. Je blízká symplektické geometrii a stejně jako druhá vznikla v otázkách klasické mechaniky. A kontaktní struktura na (2n + 1)-rozměrné potrubí M je dáno hladkým polem nadroviny H v tečný svazek to je pokud možno spojeno se sadami úrovní diferencovatelné funkce na M (technický termín je „zcela neintegrovatelné tangenciální rozdělení nad rovinou“). Blízko každého bodu str, rozdělení nadroviny je určeno zmizením nikde 1-forma ${ displaystyle alpha}$, což je jedinečné až do násobení funkcí nikde mizející:

${ displaystyle H_ {p} = ker alpha _ {p} podmnožina T_ {p} M.}$

Místní 1 formulář na M je Kontaktní formulář pokud omezení jeho vnější derivace na H je nedegenerovaná dvousložková forma a tak vyvolává symplektickou strukturu H_str v každém bodě. Pokud distribuce H lze definovat globálním jedním formulářem ${ displaystyle alpha}$ pak je tento formulář kontaktním tehdy a jen tehdy, pokud jde o top-dimenzionální formu

${ displaystyle alpha klín (d alfa) ^ {n}}$

je objemová forma na M, tj. nikde nezmizí. Platí kontaktní analogie Darbouxovy věty: všechny kontaktní struktury na lichém dimenzionálním potrubí jsou lokálně izomorfní a vhodnou volbou souřadného systému je lze přivést do určité místní normální formy.

Složitá a Kählerova geometrie

Složitá diferenciální geometrie je studium složité potrubí.An téměř komplexní potrubí je nemovitý potrubí ${ displaystyle M}$, obdařen a tenzor z typ (1, 1), tj. A vektorový endomorfismus svazku (nazývá se téměř složitá struktura )

${ displaystyle J: TM rightarrow TM}$, takový, že ${ displaystyle J ^ {2} = - 1. ,}$

Z této definice vyplývá, že téměř komplexní potrubí je rovnoměrné.

Je nazýváno téměř složité potrubí komplex -li ${ displaystyle N_ {J} = 0}$, kde ${ displaystyle N_ {J}}$ je tenzor typu (2, 1) související s ${ displaystyle J}$, nazvaný Nijenhuis tensor (nebo někdy krouceníTéměř komplexní potrubí je složité právě tehdy, když připouští a holomorfní souřadnicový atlas.An téměř hermitovská struktura je dána téměř složitou strukturou J, spolu s a Riemannova metrika G, splňující podmínku kompatibility

${ displaystyle g (JX, JY) = g (X, Y) ,}$.

Téměř hermitovská struktura definuje přirozeně a diferenciální dvouformát

${ displaystyle omega _ {J, g} (X, Y): = g (JX, Y) ,}$.

Následující dvě podmínky jsou ekvivalentní:

1. ${ displaystyle N_ {J} = 0 { mbox {and}} d omega = 0 ,}$
2. ${ displaystyle nabla J = 0 ,}$

kde ${ displaystyle nabla}$ je Připojení Levi-Civita z ${ displaystyle g}$. V tomto případě, ${ displaystyle (J, g)}$ se nazývá a Kählerova struktura a Kähler potrubí je potrubí vybavené strukturou Kähler. Zejména potrubí Kähler je komplex a symplektické potrubí. Velká třída potrubí Kähler (třída Hodge potrubí ) je dán všemi hladkými komplexní projektivní odrůdy.

CR geometrie

CR geometrie je studium vnitřní geometrie hranic domén v složité potrubí.

Konformní geometrie

Konformní geometrie je studium souboru transformací zachovávajících úhel (konformní) v prostoru.

Diferenciální topologie

Diferenciální topologie je studium globálních geometrických invariants bez metrické nebo symplectic formy.

Diferenciální topologie vychází z přirozených operací, jako je Derivát lži přírodní vektorové svazky a de Rhamův diferenciál z formuláře. Vedle Lež algebroidy, taky Courant algebroids začít hrát důležitější roli.

Lež skupiny

A Lež skupina je skupina v kategorii hladkých potrubí. Kromě algebraických vlastností má toto také diferenciální geometrické vlastnosti. Nejviditelnější konstrukcí je konstrukce Lieovy algebry, která je tečným prostorem v jednotce obdarované Lieovou závorkou mezi levým invariantem vektorová pole. Kromě teorie struktury existuje také široké pole teorie reprezentace.

Teorie měřidla

Teorie měřidla je studium spojení na vektorových svazcích a hlavních svazcích a vychází z problémů v matematická fyzika a fyzické měřicí teorie které podporují standardní model částicové fyziky. Teorie měřidla se zabývá studiem diferenciálních rovnic pro spojení na svazcích a výslednou geometrií modulové prostory řešení těchto rovnic i invarianty, které z nich lze odvodit. Tyto rovnice často vznikají jako Euler-Lagrangeovy rovnice popisující pohybové rovnice určitých fyzikálních systémů v systému Windows kvantová teorie pole, a proto je jejich studium značného zájmu o fyziku.

Svazky a připojení

Aparát z vektorové svazky, hlavní svazky, a připojení na svazcích hraje v moderní diferenciální geometrii mimořádně důležitou roli. Hladké potrubí vždy nese přirozený vektorový svazek, tečný svazek. Volně řečeno, tato struktura sama o sobě je dostatečná pouze pro vývoj analýzy na potrubí, zatímco provádění geometrie vyžaduje navíc nějaký způsob, jak spojit tečné prostory v různých bodech, tj. Pojem paralelní doprava. Důležitý příklad poskytuje afinní spojení. Pro povrch v R³, tangenciální roviny v různých bodech lze identifikovat pomocí přirozeného cestného paralelismu indukovaného okolním euklidovským prostorem, který má dobře známou standardní definici metriky a paralelismu. v Riemannova geometrie, Připojení Levi-Civita slouží podobnému účelu. (Spojení Levi-Civita definuje dráhovou rovnoběžnost, pokud jde o danou libovolnou Riemannovu metriku na varietě.) Obecněji diferenciální geometři berou v úvahu prostory s vektorovým svazkem a libovolným afinním spojením, které není definováno z hlediska metriky. Ve fyzice může být varietou kontinuum časoprostoru a svazky a připojení souvisí s různými fyzickými poli.

Vnitřní versus vnější

Od začátku a do poloviny 19. století byla diferenciální geometrie studována od vnější úhel pohledu: křivky a povrchy byly považovány za lhaní v Euklidovský prostor vyšší dimenze (například povrch v okolní prostor tří dimenzí). Nejjednodušší výsledky jsou výsledky v diferenciální geometrie křivek a diferenciální geometrie povrchů. Počínaje prací Riemann, vnitřní Byl vyvinut úhel pohledu, ve kterém nelze hovořit o pohybu „mimo“ geometrický objekt, protože je považován za daný volně stojícím způsobem. Základní výsledek je zde Gaussův věta egregium v tom smyslu, že Gaussovo zakřivení je vnitřní invariant.

Vnitřní hledisko je pružnější. Například je to užitečné v relativitě, kde časoprostor nelze přirozeně brát jako vnější (co by bylo „mimo“ vesmír?). V technické složitosti však existuje cena, kterou je třeba zaplatit: vnitřní definice zakřivení a připojení vizuálně méně intuitivní.

Tyto dva úhly pohledu lze sladit, tj. Vnější geometrii lze považovat za konstrukci doplňující vnitřní. (Viz Nashova věta o vložení.) Ve formalizmu geometrický počet jak vnější, tak vnitřní geometrii potrubí lze charakterizovat jedinou bivektorovou jednou formou zvanou operátor tvaru.^[5]

Aplikace

Část série na
Vesmírný čas
Speciální relativita Obecná relativita
Časoprostorové koncepty Časoprostorové potrubí Princip ekvivalence Lorentzovy transformace Minkowského prostor
Obecná relativita Úvod do obecné relativity Matematika obecné relativity Einsteinovy ​​rovnice pole
Klasická gravitace Úvod do gravitace Newtonův zákon univerzální gravitace
Relevantní matematika Čtyři-vektor Derivace relativity Časoprostorové diagramy Diferenciální geometrie Zakřivený časoprostor Matematika obecné relativity Topologie časoprostoru

Níže uvádíme několik příkladů toho, jak se diferenciální geometrie aplikuje na jiné oblasti vědy a matematiky.

• v fyzika, diferenciální geometrie má mnoho aplikací, včetně:
  • Diferenciální geometrie je jazyk, ve kterém Albert Einstein je obecná teorie relativity je vyjádřen. Podle teorie je vesmír plynulé potrubí vybavené pseudoriemanianskou metrikou, která popisuje zakřivení z vesmírný čas. Pochopení tohoto zakřivení je nezbytné pro umístění satelity na oběžnou dráhu kolem Země. Diferenciální geometrie je rovněž nepostradatelná při studiu gravitační čočky a černé díry.
  • Diferenciální formy se používají při studiu elektromagnetismus.
  • Diferenciální geometrie má aplikace pro oba Lagrangian mechanika a Hamiltoniánská mechanika. Symplektické potrubí zejména lze použít ke studiu Hamiltonovské systémy.
  • Riemannova geometrie a kontaktní geometrie byly použity ke konstrukci formalismu geometrothermodynamika který našel uplatnění v klasické rovnováze termodynamika.
• v chemie a biofyzika při modelování struktury buněčné membrány za různého tlaku.
• v ekonomika, diferenciální geometrie má aplikace v oblasti ekonometrie.^[6]
• Geometrické modelování (počítaje v to počítačová grafika ) a počítačem podporovaný geometrický design čerpat z nápadů z diferenciální geometrie.
• v inženýrství, diferenciální geometrii lze použít k řešení problémů v zpracování digitálních signálů.^[7]
• v teorie řízení, diferenciální geometrii lze použít zejména k analýze nelineárních regulátorů geometrická kontrola^[8]
• v pravděpodobnost, statistika, a teorie informace, lze interpretovat různé struktury jako Riemannovy variety, které poskytují pole informační geometrie, zejména prostřednictvím Fisherova metrika informací.
• v strukturní geologie, diferenciální geometrie se používá k analýze a popisu geologických struktur.
• v počítačové vidění, pro analýzu tvarů se používá diferenciální geometrie.^[9]
• v zpracování obrazu, diferenciální geometrie se používá ke zpracování a analýze dat na nerovných površích.^[10]
• Grigori Perelman je důkaz o Poincarého domněnka pomocí technik Ricci teče demonstroval sílu diferenciálně-geometrického přístupu k otázkám v topologie a zdůraznil důležitou roli, kterou hrají jeho analytické metody.
• v bezdrátová komunikace, Grassmannian potrubí se používají pro tvarování paprsku techniky v vícenásobná anténa systémy.^[11]

Viz také

Reference

Další čtení

• Ethan D. Bloch (27. června 2011). První kurz geometrické topologie a diferenciální geometrie. Boston: Springer Science & Business Media. ISBN  978-0-8176-8122-7. OCLC  811474509.
• Burke, William L. (1997). Aplikovaná diferenciální geometrie. Cambridge University Press. ISBN  0-521-26929-6. OCLC  53249854.
• do Carmo, Manfredo Perdigão (1976). Diferenciální geometrie křivek a ploch. Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall. ISBN  978-0-13-212589-5. OCLC  1529515.
• Frankel, Theodore (2004). Geometrie fyziky: úvod (2. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-53927-2. OCLC  51855212.
• Elsa Abbena; Simon Salamon; Alfred Gray (2017). Moderní diferenciální geometrie křivek a povrchů s Mathematica (3. vyd.). Boca Raton: Chapman and Hall / CRC. ISBN  978-1-351-99220-6. OCLC  1048919510.
• Kreyszig, Erwin (1991). Diferenciální geometrie. New York: Dover Publications. ISBN  978-0-486-66721-8. OCLC  23384584.
• Kühnel, Wolfgang (2002). Diferenciální geometrie: Křivky - Povrchy - Rozdělovače (2. vyd.). Providence, R.I .: American Mathematical Society. ISBN  978-0-8218-3988-1. OCLC  61500086.
• McCleary, John (1994). Geometrie z odlišitelného hlediska. Cambridge University Press. ISBN  0-521-13311-4. OCLC  915912917.
• Spivak, Michael (1999). Komplexní úvod do diferenciální geometrie (5 svazků) (3. vyd.). Publikovat nebo zahynout. ISBN  0-914098-72-1. OCLC  179192286.
• ter Haar Romeny, Bart M. (2003). Front-end vision a multi-scale image analysis: multi-scale computer vision theory and applications, written in Mathematica. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN  978-1-4020-1507-6. OCLC  52806205.

externí odkazy

• „Diferenciální geometrie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• B. Conrad. Podklady pro diferenciální geometrii, Stanford University
• Kurz online diferenciální geometrie Michaela Murraye, 1996
• Moderní kurz křivek a povrchu, Richard S Palais, 2003
• Galerie povrchů Richarda Palaise 3DXM
• Poznámky Balázse Csikóse o diferenciální geometrii
• N. J. Hicks, Poznámky k diferenciální geometrii, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Diferenciální geometrie, podzim 2008