Spektrum C * -algebry - Spectrum of a C*-algebra
V matematice je spektrum a C * -algebra nebo duální z C * -algebry A, označeno A, je sada jednotková ekvivalence třídy neredukovatelné * - představení A. A *-zastoupení π z A na Hilbertův prostor H je neredukovatelné pouze tehdy, pokud neexistuje uzavřený podprostor K. odlišný od H a {0} což je neměnné pod všemi operátory π (X) s X ∈ A. Implicitně předpokládáme, že neredukovatelné zastoupení znamená nenulový neredukovatelné reprezentace, čímž se vylučují triviální (tj. shodně 0) reprezentace na jednomdimenzionální mezery. Jak je vysvětleno níže, spektrum A je také přirozeně a topologický prostor; to je podobné pojmu spektrum prstenu.
Jednou z nejdůležitějších aplikací tohoto konceptu je poskytnout představu o dvojí objekt pro všechny lokálně kompaktní skupina. Tento duální objekt je vhodný pro formulaci a Fourierova transformace a a Plancherelův teorém pro unimodulární oddělitelný lokálně kompaktní skupiny typu I a teorém o rozkladu pro libovolné reprezentace oddělitelných lokálně kompaktních skupin typu I. Výsledná teorie duality pro lokálně kompaktní skupiny je však mnohem slabší než Dualita Tannaka – Kerin teorie pro kompaktní topologické skupiny nebo Pontryaginova dualita pro lokálně kompaktní abelian skupiny, z nichž oba jsou úplnými invarianty. Že duál není úplný invariant, lze snadno vidět jako duál jakékoli konečněrozměrné algebry s plnou maticí Mn(C) se skládá z jediného bodu.
Primitivní spektrum
The topologie z A lze definovat několika ekvivalentními způsoby. Nejprve to definujeme z hlediska primitivní spektrum .
Primitivní spektrum A je sada primitivní ideály Prim (A) z A, kde primitivním ideálem je jádro neredukovatelné * reprezentace. Soubor primitivních ideálů je a topologický prostor s topologie jádra trupu (nebo Jacobsonova topologie). To je definováno takto: Pokud X je soubor primitivních ideálů uzavření jádra trupu je
Uzavření jádra trupu se snadno ukazuje jako idempotentní operace, to je
a lze prokázat, že uspokojuje Kuratowského uzavírací axiomy. V důsledku toho lze ukázat, že na Primu je jedinečná topologie τ (A) takové, že uzavření sady X s ohledem na τ je totožný s uzavřením jádra trupu X.
Jelikož jednotně ekvivalentní reprezentace mají stejné jádro, mapa π ↦ ker (π) působí prostřednictvím a surjektivní mapa
Používáme mapu k definovat topologii na A jak následuje:
Definice. Otevřené sady A jsou inverzní obrázky k−1(U) otevřených podmnožin U Prim (A). Toto je skutečně topologie.
Topologie jádra trupu je analogií pro nekomutativní prstence Zariski topologie pro komutativní prsteny.
Topologie zapnuta A indukovaný z topologie jádra trupu má další charakterizace, pokud jde o státy z A.
Příklady
Komutativní C * -algebry

Spektrum komutativní C * -algebry A se shoduje s Gelfand dual z A (nezaměňovat s dvojí A' Banachova prostoru A). Především předpokládejme X je kompaktní Hausdorffův prostor. Pak je tu přírodní homeomorfismus
Toto mapování je definováno
Já (X) je uzavřený maximální ideál v C (X) tak je ve skutečnosti primitivní. Podrobnosti o důkazu najdete v příručce Dixmier. Pro komutativní C * -algebru,
C * -algebra ohraničených operátorů
Nechat H být oddělitelný nekonečně-dimenzionální Hilbertův prostor. L(H) má dvě normálně uzavřené * nabídky: Já0 = {0} a ideální K. = K.(H) kompaktních operátorů. Tak jako sada, Prim (L(H)) = {Já0, K.}. Nyní
- {K.} je uzavřená podmnožina Prim (L(H)).
- Uzavření {Já0} je Prim (L(H)).
Tak Prim (L(H)) je non-Hausdorffův prostor.
Spektrum L(H) je na druhou stranu mnohem větší. S jádrem existuje mnoho nerovnocenných neredukovatelných reprezentací K.(H) nebo s jádrem {0}.
Konečně-rozměrné C * -algebry
Předpokládat A je konečně-rozměrná C * -algebra. Je známo A je izomorfní s konečným přímým součtem algebry plné matice:
kde min (A) jsou minimální centrální projekce A. Spektrum A je kanonicky izomorfní s min (A) s diskrétní topologie. Pro konečně-rozměrné C * -algebry máme také izomorfismus
Další charakterizace spektra
Topologii jádra trupu lze snadno abstraktně popsat, ale v praxi pro C * -algebry spojené s místně kompaktní topologické skupiny, jsou žádoucí další charakterizace topologie na spektru z hlediska pozitivních určitých funkcí.
Ve skutečnosti je topologie zapnutá A je úzce spjat s konceptem slabé zadržení reprezentací, jak ukazuje následující:
- Teorém. Nechat S být podmnožinou A. Pak jsou ekvivalentní pro neredukovatelnou reprezentaci π;
- Třída ekvivalence π v A je v závěru S
- Každý stav spojený s π, to je jeden z tvaru
- s || ξ || = 1, je slabý limit stavů spojených s reprezentacemi v S.
Druhá podmínka znamená přesně to, že π je slabě obsaženo v S.
The GNS konstrukce je recept na sdružování stavů C * -algebry A k reprezentacím A. Podle jedné ze základních vět spojených s konstrukcí GNS, stav F je čistý právě tehdy, je-li přidružená reprezentace πF je neredukovatelný. Navíc mapování κ: PureState (A) → A definován F ↦ πF je surjektivní mapa.
Z předchozí věty lze snadno dokázat následující;
- Teorém Mapování
- daná konstrukcí GNS je spojitá a otevřená.
Prostor Irrn(A)
Existuje ještě další charakterizace topologie A který vzniká uvažováním prostoru reprezentací jako topologického prostoru s vhodnou topologií bodové konvergence. Přesněji řečeno n být světovým číslem a nechat Hn být kanonický Hilbertův prostor dimenze n.
Irrn(A) je prostor neredukovatelných * -reprezentací A na Hn s bodově slabou topologií. Pokud jde o konvergenci sítí, je tato topologie definována πi → π; kdyby a jen kdyby
Ukazuje se, že tato topologie na Irrn(A) je stejná jako bodově silná topologie, tj. πi → π právě tehdy
- Teorém. Nechat An být podmnožinou A skládající se z tříd ekvivalence reprezentací, jejichž podkladový Hilbertův prostor má rozměr n. Kanonická mapa Irrn(A) → An je nepřetržitý a otevřený. Zejména, An lze považovat za kvocient topologického prostoru Irrn(A) pod jednotnou ekvivalencí.
Poznámka. Spojení různých An může být docela komplikované.
Mackey – Borelova struktura
A je topologický prostor, a proto jej lze také považovat za Borelův prostor. Slavná domněnka o G. Mackey navrhl, aby a oddělitelný lokálně kompaktní skupina je typu I právě tehdy, když je Borelův prostor standardní, tj. je izomorfní (v kategorii Borelových prostorů) k podkladovému Borelovu prostoru kompletní oddělitelný metrický prostor. Mackey s touto vlastností nazýval Borelův prostor hladký. Tuto domněnku prokázal James Glimm pro oddělitelné C * -algebry v dokumentu z roku 1961 uvedeném v odkazech níže.
Definice. Nedegenerovaná * reprezentace π oddělitelné C * -algebry A je faktorová reprezentace právě tehdy, pokud střed von Neumannovy algebry generovaný π (A) je jednorozměrný. C * -algebra A je typu I tehdy a jen tehdy, pokud existuje jakýkoli oddělitelný faktor reprezentace A je konečný nebo spočetný násobek neredukovatelného.
Příklady oddělitelných lokálně kompaktních skupin G takový, že C * (G) je typu I. připojeno (nemovitý) nilpotentní Lež skupiny a spojené skutečné částečně jednoduché Lež skupiny. Tak Heisenbergovy skupiny jsou všechny typu I. Kompaktní a abelianské skupiny jsou také typu I.
- Teorém. Li A je oddělitelný, A je hladký právě tehdy A je typu I.
Výsledek znamená dalekosáhlé zobecnění struktury reprezentací oddělitelných C * algeber typu I a odpovídajících oddělitelných lokálně kompaktních skupin typu I.
Algebraická primitivní spektra
Protože C * -algebra A je prsten, můžeme také zvážit soubor primitivní ideály z A, kde A je považována za algebraicky. Pro prsten je ideál primitivní právě tehdy, když je to zničit a jednoduchý modul. Ukázalo se, že pro C * -algebru A, ideál je algebraicky primitivní kdyby a jen kdyby je to primitivní ve smyslu definovaném výše.
- Teorém. Nechat A být C * -algebra. Jakákoli algebraicky neredukovatelná reprezentace A na komplexním vektorovém prostoru je algebraicky ekvivalentní topologicky neredukovatelné * reprezentaci na Hilbertově prostoru. Topologicky neredukovatelné * -reprezentace na Hilbertově prostoru jsou algebraicky izomorfní právě tehdy, pokud jsou jednotně ekvivalentní.
Toto je Dodatek k teorému 2.9.5 Dixmierovy reference.
Li G je lokálně kompaktní skupina, topologie na duálním prostoru skupina C * -algebra C*(G) z G se nazývá Padla topologie, pojmenoval podle J. M. G. Fell.
Reference
- J. Dixmier, Prezentace Les C * -algèbres et leursGauthier-Villars, 1969.
- J. Glimm, Algebra typu C * *, Annals of Mathematics, sv. 73, 1961.
- G. Mackey, Teorie skupinových zastoupení„The University of Chicago Press, 1955.