Besselova nerovnost - Bessels inequality - Wikipedia

v matematika, zvláště funkční analýza, Besselova nerovnost je prohlášení o koeficientech prvku ${ displaystyle x}$ v Hilbertův prostor s ohledem na ortonormální sekvence. Nerovnost byla odvozena od F.W. Bessel v roce 1828.^[1]

Nechat ${ displaystyle H}$ být Hilbertovým prostorem, a předpokládejme, že ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, ...}$ je ortonormální sekvence v ${ displaystyle H}$. Pak pro všechny ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle H}$ jeden má

${ displaystyle sum _ {k = 1} ^ { infty} left vert left langle x, e_ {k} right rangle right vert ^ {2} leq left Vert x vpravo Vert ^ {2},}$

kde ⟨·, ·⟩ označuje vnitřní produkt v Hilbertově prostoru ${ displaystyle H}$.^[2][3][4] Pokud definujeme nekonečný součet

${ displaystyle x '= součet _ {k = 1} ^ { infty} left langle x, e_ {k} right rangle e_ {k},}$

skládající se z "nekonečného součtu" z vektorové rozlišení ${ displaystyle x}$ ve směru ${ displaystyle e_ {k}}$, Bessel nerovnost říká nám to série konverguje. Lze si myslet, že existuje ${ displaystyle x ' v H}$ které lze popsat z hlediska potenciálního základu ${ displaystyle e_ {1}, e_ {2}, tečky}$.

Pro úplnou ortonormální sekvenci (tj. Pro ortonormální sekvenci, která je základ ), my máme Parsevalova identita, který nahradí nerovnost rovností (a následně ${ displaystyle x '}$ s ${ displaystyle x}$).

Besselova nerovnost vyplývá z identity

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 0 leq left | x- sum _ {k = 1} ^ {n} langle x, e_ {k} rangle e_ {k} right | ^ { 2} & = | x | ^ {2} -2 sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {Re} langle x, langle x, e_ {k} rangle e_ {k} rangle + sum _ {k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2} & = | x | ^ {2} -2 sum _ { k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2} + sum _ {k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2} & = | x | ^ {2} - sum _ {k = 1} ^ {n} | langle x, e_ {k} rangle | ^ {2}, end {zarovnáno }}}$

který platí pro všechny přírodní n.

Viz také

• Cauchy – Schwarzova nerovnost
• Parsevalova věta

Poznámky

externí odkazy

• „Besselova nerovnost“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Besselova nerovnost článek o Besselově nerovnosti na MathWorld.

Tento článek obsahuje materiál z Besselovy nerovnosti PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.