Jednotné zastoupení - Unitary representation

v matematika, a jednotkové zastoupení a skupina G je lineární reprezentace π z G na komplexu Hilbertův prostor PROTI takové, že π (G) je nečleněný operátor pro každého G ∈ G. Obecná teorie je dobře vyvinutá pro případ G je místně kompaktní (Hausdorff) topologická skupina a reprezentace jsou silně spojité.

Tato teorie byla široce používána v kvantová mechanika od dvacátých let, zvláště ovlivněno Hermann Weyl kniha z roku 1928 Gruppentheorie und Quantenmechanik. Jeden z průkopníků v konstrukci obecné teorie jednotných reprezentací pro jakoukoli skupinu G spíše než jen pro konkrétní skupiny užitečné v aplikacích George Mackey.

Kontext v harmonické analýze

S teorií jednotných reprezentací skupin úzce souvisí harmonická analýza. V případě skupiny abelianů G, docela ucelený obraz teorie reprezentace G darováno Dualita Pontryagin. Obecně platí, že třídy jednotné ekvivalence (viz níže ) z neredukovatelné unitární reprezentace G tvoří jeho unitární duální. Tuto sadu lze identifikovat pomocí spektrum C * -algebry spojené s G podle skupina C * -algebra konstrukce. Tohle je topologický prostor.

Obecná forma Plancherelův teorém se snaží popsat pravidelné zastoupení G na L²(G) pomocí a opatření na jednotném duálním. Pro G abelian to je dáno Pontryaginovou teorií duality. Pro G kompaktní, to provádí Peter – Weylova věta; v takovém případě je unitární duální a diskrétní prostor, a míra připojí atom ke každému hmotnému bodu rovnému jeho stupni.

Formální definice

Nechat G být topologickou skupinou. A silně spojité jednotné zastoupení z G v Hilbertově prostoru H je skupinový homomorfismus z G do jednotné skupiny H,

{ displaystyle pi: G rightarrow operatorname {U} (H)}

takhle G → π (G) ξ je normální spojitá funkce pro každé ξ ∈ H.

Všimněte si, že pokud G je a Lež skupina, Hilbertův prostor také připouští základní hladké a analytické struktury. Vektor ξ v H se říká, že je hladký nebo analytický pokud mapa G → π (G) ξ je plynulý nebo analytický (v normě nebo slabé topologii na H).^[1] Hladké vektory jsou husté H klasickým argumentem Lars Gårding, protože konvoluce plynulými funkcemi kompaktní podpora poskytuje hladké vektory. Analytické vektory jsou husté klasickým argumentem Edward Nelson, zesílený Roe Goodmanem, protože vektory v obraze tepelného operátora E^–TD, což odpovídá eliptický diferenciální operátor D v univerzální obalová algebra z G, jsou analytické. Hladké nebo analytické vektory nejen vytvářejí husté podprostory; také vytvářejí společná jádra pro neomezené operátory zkosené adjunkce odpovídající prvkům Lež algebra, ve smyslu spektrální teorie.^[2]

Dvě unitární reprezentace π₁: G → U (H₁), π₂: G → U (H₂) se říká, že jsou jednotně ekvivalentní pokud existuje unitární transformace A:H₁ → H₂ takový, že π₁(G) = A^* ∘ π₂(G) ∘ A pro všechny G v G. Když to platí, A se říká, že je operátor prolínání pro reprezentace (π₁,H₁), (π₂,H₂).^[3]

Li ${ displaystyle pi}$ je reprezentace spojené Lieovy skupiny ${ displaystyle G}$ na konečně-dimenzionální Hilbertův prostor ${ displaystyle H}$ , pak ${ displaystyle pi}$ je jednotný právě tehdy, je-li přidružená reprezentace Lie algebry ${ displaystyle d pi: { mathfrak {g}} rightarrow mathrm {End} (H)}$ mapy do prostoru zešikmených samoobslužných operátorů ${ displaystyle H}$ .^[4]

Úplná redukovatelnost

Jednotkové znázornění je zcela redukovatelné, v tom smyslu, že pro všechny uzavřené invariantní podprostor, ortogonální doplněk je opět uzavřený invariantní podprostor. Toto je na úrovni pozorování, ale je to základní vlastnost. Například to znamená, že konečně-rozměrné jednotkové reprezentace jsou vždy přímým součtem neredukovatelných reprezentací v algebraickém smyslu.

Vzhledem k tomu, že se s jednotnými reprezentacemi pracuje mnohem snadněji než s obecným případem, je přirozené to zvážit unitarizovatelná reprezentace, ty, které se staly jednotnými při zavedení vhodné složité Hilbertovy vesmírné struktury. To funguje velmi dobře pro konečné skupiny a obecněji pro kompaktní skupiny průměrným argumentem aplikovaným na libovolnou poustevnickou strukturu.^[5] Například přirozený důkaz Maschkeova věta je touto cestou.

Unitarizovatelnost a jednotná dvojí otázka

Obecně platí, že u nekompaktních skupin je vážnější otázkou, které reprezentace jsou unitarizovatelné. Jedním z důležitých nevyřešených problémů v matematice je popis unitární duální, efektivní klasifikace neredukovatelných unitárních reprezentací všech reálných redukční Lež skupiny. Všechno neredukovatelné unitární reprezentace jsou přípustný (nebo spíše jejich Moduly Harish-Chandra jsou) a přípustná prohlášení jsou dána Langlandsova klasifikace a je snadné zjistit, které z nich mají netriviální invariant sesquilineární forma. Problém je v tom, že je obecně těžké určit, kdy je kvadratická forma pozitivní určitý. U mnoha redukčních Lieových skupin to bylo vyřešeno; vidět teorie reprezentace SL2 (R) a teorie reprezentace skupiny Lorentz například.

Poznámky

^ Warner (1972)
^ Reed a Simon (1975)
^ Paul Sally (2013) Základy matematické analýzy, Americká matematická společnost str. 234
^ Hall 2015 Návrh 4.8
^ Hall 2015 Oddíl 4.4

Reference

Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Reprezentations: An Elementary Introduction, Postgraduální texty z matematiky, 222 (2. vyd.), Springer, ISBN 978-3319134666
Reed, Michael; Simon, Barry (1975), Metody moderní matematické fyziky, sv. 2: Fourierova analýza, sebeobjektivnostAkademický tisk, ISBN 0-12-585002-6
Warner, Garth (1972), Harmonická analýza na polojednodušých lžových skupinách I, Springer-Verlag, ISBN 0-387-05468-5

Viz také

[1] Warner (1972)

[2] Reed a Simon (1975)

[3] Paul Sally (2013) Základy matematické analýzy, Americká matematická společnost str. 234

[4] Hall 2015 Návrh 4.8

[5] Hall 2015 Oddíl 4.4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]