Normální operátor - Normal operator
![]() | tento článek potřebuje další citace pro ověření.Červen 2011) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
v matematika, zvláště funkční analýza, a normální operátor na komplexu Hilbertův prostor H je kontinuální lineární operátor N : H → H že dojíždí s jeho poustevník adjoint N *, to znamená: NN * = N * N.[1]
Normální operátoři jsou důležití, protože spektrální věta drží pro ně. Třída normálních operátorů je dobře pochopena. Příklady běžných operátorů jsou
- nečleněné operátory: N * = N−1
- Hermitovské operátory (tj. operátoři s vlastním nastavením): N * = N
- Skew-Hermitian operátoři: N * = −N
- pozitivní operátoři: N = MM * pro některé M (tak N je self-adjoint).
A normální matice je maticový výraz normálního operátoru v Hilbertově prostoru Cn.
Vlastnosti
Normální operátoři se vyznačují spektrální věta. A kompaktní normální operátor (zejména normální operátor na konečněrozměrném lineárním prostoru) je jednotně diagonalizovatelný.[2]
Nechat T být omezeným operátorem. Následující jsou ekvivalentní.
- T je normální.
- T * je normální.
- ||Tx|| = ||T * x|| pro všechny X (použití ).
- Samoadjunktivní a antiadjasanální části T dojíždět. To znamená, že pokud napíšeme s a , pak .[3]
Li N je tedy normální operátor N a N * mít stejné jádro a stejný rozsah. V důsledku toho je rozsah N je hustá právě tehdy N je injekční.[je zapotřebí objasnění ] Jinými slovy, jádro normálního operátoru je ortogonální doplněk jeho rozsahu. Z toho vyplývá, že jádro operátora Nk se shoduje s tím z N pro všechny k. Každé zobecněné vlastní číslo normálního operátora je tedy pravé. λ je vlastní hodnota normálního operátora N právě když je jeho komplexní konjugát je vlastní číslo z N *. Vlastní vektory normálního operátoru odpovídající různým vlastním hodnotám jsou ortogonální a normální operátor stabilizuje ortogonální doplněk každého ze svých vlastních prostorů.[4] To implikuje obvyklou spektrální teorém: každý normální operátor v prostoru konečných rozměrů je diagonalizovatelný jednotkovým operátorem. K dispozici je také nekonečně-dimenzionální verze spektrální věty vyjádřená v termínech míra projekce. Zbytkové spektrum normálního operátora je prázdné.[4]
Produkt běžných operátorů, kteří dojíždějí, je opět normální; to je netriviální, ale vyplývá to přímo z Fugledova věta, který uvádí (ve formě zobecněné Putnamem):
- Li a jsou normální operátoři a pokud A je omezený lineární operátor takový, že , pak .
Norma operátoru normálního operátora se rovná jeho číselný poloměr[je zapotřebí objasnění ] a spektrální poloměr.
Normální operátor se shoduje s jeho Transformace aluthge.
Vlastnosti v konečném případě
Pokud normální provozovatel T na konečně-dimenzionální nemovitý[je zapotřebí objasnění ] nebo komplexní Hilbertův prostor (vnitřní produktový prostor) H stabilizuje podprostor PROTI, pak také stabilizuje svůj ortogonální doplněk PROTI⊥. (Toto tvrzení je v případě, že T je self-adjoint.)
Důkaz. Nechat PPROTI být ortogonální projekce na PROTI. Potom ortogonální projekce na PROTI⊥ je 1H−PPROTI. Skutečnost, že T stabilizuje PROTI lze vyjádřit jako (1H−PPROTI)TPPROTI = 0, nebo TPPROTI = PPROTITPPROTI. Cílem je ukázat to PPROTIT(1H−PPROTI) = 0.
Nechat X = PPROTIT(1H−PPROTI). Od té doby (A, B) ↦ tr (AB *) je vnitřní produkt v prostoru endomorfismů H, stačí ukázat, že tr (XX *) = 0. Nejprve si všimneme, že
- .
Nyní pomocí vlastností stopa a ortogonálních projekcí máme:
Stejný argument platí pro kompaktní normální operátory v nekonečných dimenzionálních Hilbertových prostorech, kde jeden využívá Hilbert-Schmidt vnitřní produkt, definované tr (AB *) vhodně interpretován.[5] Pro omezené normální operátory však ortogonální doplněk ke stabilnímu podprostoru nemusí být stabilní.[6] Z toho vyplývá, že Hilbertův prostor nelze obecně překlenout vlastními vektory normálního operátora. Zvažte například bilaterální posun (nebo oboustranný posun) působící na , což je normální, ale nemá žádná vlastní čísla.
Invariantní podprostory směny působící na Hardyho prostor jsou charakterizovány Beurlingova věta.
Normální prvky algeber
Pojem normálních operátorů se zobecňuje na involutivní algebru:
Prvek X involutivní algebry se říká, že je normální, pokud xx * = x * x.
Samoadjunktivní a unitární prvky jsou normální.
Nejdůležitějším případem je, když je taková algebra a C * -algebra.
Normální operátoři bez omezení
Definice normálních operátorů se přirozeně zobecňuje na nějakou třídu neomezených operátorů. Výslovně uzavřený operátor N je normální, když umíme psát
Tady, existence adjunktu N * vyžaduje, aby doména N být hustý a rovnost zahrnuje tvrzení, že doména N * N rovná se NN *, což obecně nemusí platit.
Stejně běžní operátoři jsou právě ti, pro které[7]
s
Spektrální věta stále platí pro neomezené (normální) operátory. Důkazy fungují redukcí na omezené (normální) operátory.[8][9]
Zobecnění
Úspěch teorie normálních operátorů vedl k několika pokusům o generalizaci oslabením požadavku komutativity. Třídy operátorů, které zahrnují normální operátory, jsou (v pořadí zařazení)
Reference
- ^ Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Lineární algebra (2. vyd.), Englewood Cliffs, N.J .: Prentice-Hall, Inc., s. 312, PAN 0276251
- ^ Hoffman & Kunze (1971), str. 317.
- ^ Naproti tomu pro důležitou třídu Provozovatelé vytvoření a zničení např. kvantová teorie pole, nedojíždí
- ^ A b Naylor, Arch W .; Prodat George R. (1982). Teorie lineárního operátora ve strojírenství a vědách. New York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3.
- ^ Andô, Tsuyoshi (1963). Msgstr "Poznámka k invariantním podprostorům kompaktního normálního operátoru". Archiv der Mathematik. 14: 337–340. doi:10.1007 / BF01234964.
- ^ Garrett, Paul (2005). „Operátoři v Hilbertových prostorech“ (PDF).
- ^ Weidmann, Lineare Operatoren in Hilberträumen, kapitola 4, část 3
- ^ Alexander Frei, spektrální opatření, výměna matematických zásob, Existence, Jedinečnost
- ^ John B. Conway, Kurz funkční analýzy, druhé vydání, kapitola X, oddíl §4