Jednotný princip omezenosti - Uniform boundedness principle

v matematika, jednotný princip omezenosti nebo Věta Banach – Steinhaus je jedním ze základních výsledků v funkční analýza. Spolu s Hahnova – Banachova věta a otevřená věta o mapování, je považován za jeden ze základních kamenů pole. Ve své základní podobě tvrdí, že pro rodinu spojité lineární operátory (a tedy ohraničené operátory), jejichž doménou je a Banachův prostor, bodová omezenost je ekvivalentní uniformní omezenosti v norma operátora.

Věta byla poprvé publikována v roce 1927 autorem Stefan Banach a Hugo Steinhaus, ale také to nezávisle prokázal Hans Hahn.

Teorém

Princip jednotné omezenosti — Nechat X být Banachův prostor a Y A normovaný vektorový prostor. Předpokládejme to F je kolekce spojitých lineárních operátorů z X na Y. Li

{ displaystyle sup nolimits _ {T v F} | T (x) | _ {Y} < infty,}

pro všechny $X \in X$ , pak

{ displaystyle sup nolimits _ {T v F, | x | = 1} | T (x) | _ {Y} = sup nolimits _ {T v F} | T | _ {B (X, Y)} < infty.}

Úplnost X umožňuje následující krátký důkaz pomocí Věta o kategorii Baire.

Důkaz

Nechat $X$ být Banachovým prostorem. Předpokládejme, že pro každého $X \in X$ ,

{ displaystyle sup nolimits _ {T v F} | T (x) | _ {Y} < infty.}

Pro každé celé číslo ${ displaystyle n in mathbb {N}}$ , nechť

{ displaystyle X_ {n} = left {x in X : sup nolimits _ {T in F} | T (x) | _ {Y} leq n right }. }

Každá sada ${ displaystyle X_ {n}}$ je uzavřená sada a za předpokladu,

{ displaystyle bigcup nolimits _ {n in mathbf {N}} X_ {n} = X neq varnothing.}

Podle Věta o kategorii Baire pro neprázdné kompletní metrický prostor X, existují nějaké $m$ takhle ${ displaystyle X_ {m}}$ má neprázdný interiér; to znamená, že existují ${ displaystyle x_ {0} v X_ {m}}$ a $ε> 0$ takhle

{ displaystyle { overline {B _ { varepsilon} (x_ {0})}}: = {x v X ,: , | x-x_ {0} | leq varepsilon } subseteq X_ {m}.}

Nechat $u \in X$ s $ǁ u ǁ \leq 1$ a $T \in F$ . Jeden má to:

{ displaystyle { begin {aligned} | T (u) | _ {Y} & = varepsilon ^ {- 1} left | T left (x_ {0} + varepsilon u right) - T (x_ {0}) right | _ {Y} & [{ text {podle linearity}} T] & leq varepsilon ^ {- 1} left ( left | T (x_ {0} + varepsilon u) right | _ {Y} + left | T (x_ {0}) right | _ {Y} right) & leq varepsilon ^ {- 1 } (m + m). & [{ text {since}} x_ {0} + varepsilon u, x_ {0} v X_ {m}] end {zarovnáno}}}

Převzetí nadvlády u v jednotkové kouliX a znovu $T \in F$ z toho vyplývá, že

{ displaystyle sup nolimits _ {T v F} | T | _ {B (X, Y)} leq 2 varepsilon ^ {- 1} m < infty.}

Existují také jednoduché důkazy nepoužívající Baireovu větu (Sokal 2011 ).

Dodatky

Důsledek — Pokud posloupnost ohraničených operátorů $(T n)$ konverguje bodově, tj. limit ${T n (X) }$ existuje pro všechny $X \in X$ , pak tyto bodové limity definují ohraničený operátor T.

Výše uvedený důsledek ano ne tvrdí, že $T n$ konverguje k T v operátorské normě, tj. rovnoměrně na ohraničených množinách. Nicméně od té doby ${T n}$ je omezen normou operátora a limitním operátorem T je spojitý, standard „3-ε“ odhad ukázat to $T n$ konverguje k T rovnoměrně zapnuto kompaktní sady.

Důsledek — Jakákoli slabě ohraničená podmnožina S v normovaném prostoru Y je ohraničená.

Ve skutečnosti prvky S definovat bodově ohraničenou rodinu spojitých lineárních forem na Banachově prostoru $X = Y *$ , kontinuální duální z Y. Podle principu jednotné omezenosti norem prvků S, jako funkcionáři na X, tj. normy ve druhém duálu $Y **$ , jsou omezené. Ale pro každého $s \in S$ , norma ve druhém duálu se shoduje s normou v Yv důsledku Hahnova – Banachova věta.

Nechat $L (X, Y)$ označují spojité operátory z X na Y, s normou operátora. Pokud kolekce F je neomezený v $L (X, Y)$ , pak podle principu jednotné omezenosti máme:

{ displaystyle R = left {x in X : sup nolimits _ {T in F} | Tx | _ {Y} = infty right } neq varnothing}

Ve skutečnosti, R je hustá v X. Doplněk R v X je spočetné spojení uzavřených množin $\cup X n$ . Argumentem použitým při dokazování věty $X n$ je nikde hustá podmnožina $\cup X n$ je první kategorie. Proto R je doplňkem podmnožiny první kategorie v prostoru Baire. Podle definice prostoru Baire takové sady (tzv zbytkové sady) jsou husté. Taková úvaha vede k princip kondenzace singularit, které lze formulovat následovně:

Teorém — Nechat X být Banachovým prostorem, ${Y n}$ posloupnost normovaných vektorových prostorů a $F n$ neomezená rodina v $L (X, Y n)$ . Pak sada

{ displaystyle R = left {x in X : forall n in mathbf {N}: sup nolimits _ {T in F_ {n}} | Tx | _ {Y_ { n}} = infty right }}

je zbytková množina, a tedy hustá X.

Důkaz

Doplněk R je spočetná unie

{ displaystyle bigcup nolimits _ {n, m} vlevo {x v X : sup nolimits _ {T v F_ {n}} | Tx | _ {Y_ {n}} leq m right }}

sad první kategorie. Proto je jeho zbytková sada R je hustá.

Příklad: bodová konvergence Fourierovy řady

Nechat ${ displaystyle mathbb {T}}$ být kruh a nechte ${ displaystyle C ( mathbb {T})}$ být Banachovým prostorem spojitých funkcí ${ displaystyle mathbb {T},}$ s jednotná norma. Pomocí principu jednotné omezenosti můžeme ukázat, že v prvku existuje ${ displaystyle C ( mathbb {T})}$ pro které Fourierova řada nesbíhá bodově.

Pro ${ displaystyle f v C ( mathbb {T}),}$ své Fourierova řada je definováno

{ displaystyle sum _ {k in mathbf {Z}} { hat {f}} (k) e ^ {ikx} = sum _ {k in mathbf {Z}} { frac {1 } {2 pi}} left ( int _ {0} ^ {2 pi} f (t) e ^ {- ikt} dt right) e ^ {ikx},}

a N-th symetrický částečný součet je

{ displaystyle S_ {N} (f) (x) = součet _ {k = -N} ^ {N} { hat {f}} (k) e ^ {ikx} = { frac {1} { 2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} f (t) D_ {N} (xt) , dt,}

kde D_N je N-th Dirichletovo jádro. Opravit ${ displaystyle x in mathbb {T}}$ a zvažte konvergenci {S_N(F)(X)}. Funkční ${ displaystyle varphi _ {N, x}: C ( mathbb {T}) do mathbb {C}}$ definován

{ displaystyle varphi _ {N, x} (f) = S_ {N} (f) (x), qquad f v C ( mathbb {T}),}

je omezený. Norma $φ N, X$ , v duálu ${ displaystyle C ( mathbb {T})}$ , je normou podepsaného opatření $(2π) -1 D N (X - t) d t$ , jmenovitě

{ displaystyle left | varphi _ {N, x} right | = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} left | D_ {N } (xt) right | , dt = { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} left | D_ {N} (s) right | , ds = left | D_ {N} right | _ {L ^ {1} ( mathbb {T})}.}

Lze to ověřit

{ displaystyle { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} | D_ {N} (t) | , dt geq { frac {1} {2 pi}} int _ {0} ^ {2 pi} { frac { left | sin left ((N + { tfrac {1} {2}}) t right) right |} {t / 2}} , dt do infty.}

Takže kolekce ${φ N, X}$ je neomezený v ${ displaystyle C ( mathbb {T}) ^ { ast},}$ dvojí ${ displaystyle C ( mathbb {T}).}$ Proto podle principu jednotné omezenosti pro všechny ${ displaystyle x in mathbb {T},}$ množina spojitých funkcí, jejichž Fourierova řada se rozchází X je hustá v ${ displaystyle C ( mathbb {T}).}$

Více lze uzavřít uplatněním principu kondenzace singularit. Nechat ${X m}$ být hustá sekvence v ${ displaystyle mathbb {T}.}$ Definovat $φ N, X m$ podobným způsobem jako výše. Princip kondenzace singularit pak říká, že množina spojitých funkcí, jejichž Fourierova řada se u každého rozchází $X m$ je hustá v ${ displaystyle C ( mathbb {T})}$ (nicméně Fourierova řada spojité funkce F konverguje k $F (X)$ téměř pro každého ${ displaystyle x in mathbb {T}}$ tím, že Carlesonova věta ).

Zobecnění

Nejméně omezující nastavení pro princip jednotné omezenosti je a sudový prostor kde platí následující zobecněná verze věty (Bourbaki 1987, Věta III.2.1):

Teorém — Dostal hlavní prostor X a a lokálně konvexní prostor Y, pak jakákoli rodina bodově ohraničená spojitá lineární zobrazení z X na Y je rovnocenný (dokonce rovnoměrně rovnocenný ).

Případně příkaz také platí kdykoli X je Baireův prostor a Y je lokálně konvexní prostor.^[1]

Dieudonné (1970) dokazuje slabší formu této věty s Fréchetové prostory spíše než obvyklé Banachovy prostory. Konkrétně

Teorém — Nechat X být prostorem Fréchet, Y normovaný prostor a H soubor spojitých lineárních mapování X do Y. Pokud pro každého $X \in X$ ,

{ displaystyle sup nolimits _ {u v H} | u (x) | < infty}

pak rodina H je ekvivalentní.

Viz také

Sudový prostor - Topologický vektorový prostor s téměř minimálními požadavky, aby věta Banach – Steinhaus platila.
Ursescuova věta - Věta, která současně zobecňuje uzavřený graf, otevřené mapování a Banach-Steinhausovy věty.

Citace

^ Shtern 2001.

Bibliografie

Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo (1927), „Sur le principe de la condensation de singularités“ (PDF), Fundamenta Mathematicae, 9: 50–61, doi:10,4064 / fm-9-1-50-61. (francouzsky)
Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Teorie lineárních operací] (PDF). Monografie Matematyczne (ve francouzštině). 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Archivovány od originál (PDF) dne 11.01.2014. Citováno 2020-07-11.
Bourbaki, Nicolasi (1987) [1981]. Topologické vektorové prostory: kapitoly 1–5 [Sur certains espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Přeložil Eggleston, H.G .; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
Dieudonné, Jean (1970), Pojednání o analýze, svazek 2, Academic Press.
Husain, Taqdir; Khaleelulla, S. M. (1978). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Barel v topologických a uspořádaných vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 692. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09096-0. OCLC 4493665.
Khaleelulla, S. M. (1982). Napsáno v Berlíně v Heidelbergu. Protipříklady v topologických vektorových prostorech. Přednášky z matematiky. 936. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370.
Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
Rudin, Walter (1966), Skutečná a komplexní analýza, McGraw-Hill.
Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
Schechter, Eric (1996). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
Shtern, A.I. (2001) [1994], „Jednotný princip omezenosti“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
Sokal, Alan (2011), „Skutečně jednoduchý elementární důkaz věty o jednotné omezenosti“, Amer. Matematika. Měsíční, 118 (5): 450–452, arXiv:1005.1585, doi:10,4169 / amer.math.monthly.118.05.450, S2CID 41853641.
Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

[FOOTNOTEShtern2001-1] Shtern 2001.

[1]

Funkční analýza (témat – glosář )
Prostory	Hilbertův prostor Banachův prostor Fréchetový prostor topologický vektorový prostor
Věty	Hahnova – Banachova věta věta o uzavřeném grafu jednotný princip omezenosti Kakutaniho věta o pevném bodě Kerin – Milmanova věta věta o min-max Věta Gelfand – Naimark Banach – Alaogluova věta
Operátoři	ohraničený operátor kompaktní operátor operátor adjoint nečleněný operátor Operátor Hilbert – Schmidt stopová třída neomezený operátor
Algebry	Banachova algebra C * -algebra spektrum C * -algebry operátorová algebra skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny von Neumannova algebra
Otevřené problémy	invariantní podprostorový problém Mahlerova domněnka
Aplikace	Besovský prostor Hardy prostor spektrální teorie obyčejných diferenciálních rovnic tepelné jádro věta o indexu variační počet funkční kalkul integrální operátor Jonesův polynom topologická kvantová teorie pole nekomutativní geometrie Riemannova hypotéza
Pokročilá témata	lokálně konvexní prostor aproximační vlastnost vyvážená sada Schwartzův prostor slabá topologie sudový prostor Vzdálenost Banach – Mazur Teorie Tomita – Takesaki

Topologické vektorové prostory (TVS)
Základní pojmy	Banachův prostor Spojitý lineární operátor Funkční Hilbertův prostor Lineární operátory Lokálně konvexní prostor Homomorfismus Topologický vektorový prostor Vektorový prostor
Hlavní výsledky	Věta o uzavřeném grafu Věta F. Riesze Hahn – Banach (oddělení hyperplánů Hahn – Banach s vektorovou hodnotou ) Otevřít mapování (Banach – Schauder) (Ohraničený inverzní ) Jednotná omezenost (Banach – Steinhaus)
Mapy	Téměř otevřený Bilineární (formulář operátor ) a Sesquilineární formy Zavřeno Kompaktní pohon Kontinuální a Přerušovaný Lineární mapy Hustě definované Homomorfismus Funkční Norma Operátor Seminorm Sublear Přemístit
Druhy sad	Absolutně konvexní / disk Absorpční / radiální Afinní Vyvážené / v kroužku Banachovy disky Mezní body Ohraničený Doplněný podprostor Konvexní Konvexní kužel (podmnožina) Lineární kužel (podmnožina) Extrémní bod Pre-compact / Totally ohraničený Radiální Radiálně konvexní / ve tvaru hvězdy Symetrický
Nastavit operace	Afinní trup (Relativní ) Algebraický interiér (jádro) Konvexní obal Lineární rozpětí Minkowského doplnění Polární (Kvazi ) Relativní interiér
Typy TVS	Asplund B-kompletní / Ptak Banach (Spočitatelně ) Sudový (Ultra- ) Bornologické Brauner Kompletní (DF) - prostor Význačný F-prostor Fréchet (zkrotit Fréchet ) Grothendieck Hilbert Infrastruktura Interpolační prostor LB-prostor LF-prostor Lokálně konvexní prostor Mackey (Pseudo) Metrizovatelné Montel Quasibarrelled Kvazi úplná Quasinormed (Polynomiálně Semi- ) Reflexní Riesz Schwartz Polokompletní Kovář Stereotyp (B Přísně Rovnoměrně konvexní (Kvazi- ) Ultrabarelled Rovnoměrně hladký Webbed S aproximační vlastností