Polarizační identita - Polarization identity

Vektory zapojené do polarizační identity.

v lineární algebra, pobočka matematika, polarizační identita je kterýkoli z rodiny vzorců, které vyjadřují vnitřní produkt ze dvou vektory z hlediska norma a normovaný vektorový prostor. Ekvivalentně polarizační identita popisuje, kdy a norma lze předpokládat, že vznikají z vnitřního produktu. V této terminologii:^[1][2]

V normovaný prostor (PROTI, ${ displaystyle | cdot |}$), pokud paralelogramový zákon drží, pak je na něm vnitřní produkt PROTI takhle ${ displaystyle | x | ^ {2} = langle x, x rangle}$ pro všechny ${ displaystyle x ve V}$.

Vzorce

Žádný vnitřní produkt na vektorovém prostoru indukuje normu rovnicí

${ displaystyle | v | = { sqrt { langle v, v rangle}}.}$

Polarizační identity zvrátí tento vztah a obnoví vnitřní produkt z normy.

Skutečné vektorové prostory

Pokud je vektorový prostor nad realita, poté se rozšiřují čtverce dvojčlenů

${ displaystyle { begin {zarovnáno} langle u, v rangle & = { frac {1} {2}} left ( | u + v | ^ {2} - | u | ^ { 2} - | v | ^ {2} right) [3pt] & = { frac {1} {2}} left ( | u | ^ {2} + | v | ^ {2} - | uv | ^ {2} right) [3pt] & = { frac {1} {4}} left ( | u + v | ^ {2} - | uv | ^ {2} vpravo). end {zarovnáno}}}$

Všechny tyto různé formy jsou ekvivalentní s paralelogramový zákon:

${ displaystyle 2 | { textbf {u}} | ^ {2} +2 | { textbf {v}} | ^ {2} = | { textbf {u}} + { textbf {v}} | ^ {2} + | { textbf {u}} - { textbf {v}} | ^ {2}.}$

Složité vektorové prostory

Pro vektorové prostory nad komplexní čísla, výše uvedené vzorce nejsou zcela správné. Předpokládají ${ displaystyle langle x, y rangle + langle y, x rangle = 2 langle x, y rangle,}$ ale pro složitý vnitřní produkt tato částka místo toho ruší imaginární část. Analogický výraz však zajišťuje, že jsou zachovány skutečné i imaginární části. Skutečnou součástí vnitřního produktu je symetrická bilineární mapa, která se vždy rovná:

${ displaystyle { begin {alignedat} {4} R (x, y): & = operatorname {Re} langle x mid y rangle = operatorname {Re} langle x, y rangle & = { frac {1} {4}} left ( | x + y | ^ {2} - | xy | ^ {2} right) end {alignedat}}}$

Složitá část vnitřního produktu závisí na tom, zda je antilineární v první nebo druhé souřadnici.

Pokud je vnitřní produkt antilineární v první souřadnici, pak pro všechny ${ displaystyle x, y ve V,}$

${ displaystyle { begin {alignedat} {4} langle x mid y rangle & = { frac {1} {4}} left ( | x + y | ^ {2} - | xy | ^ {2} -i | x + iy | ^ {2} + i | x-iy | ^ {2} vpravo) & = R (x, y) -iR (x, iy). end {alignedat}}}$

Poslední rovnost je podobná vzorci vyjádření lineární funkce z hlediska jeho skutečné části. Pokud je vnitřní produkt antilineární ve druhé souřadnici pak pro všechny ${ displaystyle x, y ve V,}$

${ displaystyle { begin {alignedat} {4} langle x, y rangle & = { frac {1} {4}} left ( | x + y | ^ {2} - | xy | ^ {2} + i | x + iy | ^ {2} -i | x-iy | ^ {2} vpravo) & = R (x, y) + iR (x, iy). end {alignedat}}}$

Tento výraz lze formulovat symetricky:

${ displaystyle langle x, y rangle = { frac {1} {4}} součet _ {k = 0} ^ {3} i ^ {k} left | x + i ^ {k} y right | ^ {2}.}$^[3]

Rekonstrukce vnitřního produktu

V normovaném prostoru (PROTI, ${ displaystyle | cdot |}$), pokud paralelogramový zákon

${ displaystyle | x + y | ^ {2} + | x-y | ^ {2} = 2 | x | ^ {2} +2 | y | ^ {2}}$

drží, pak je na něm vnitřní produkt PROTI takhle ${ displaystyle | x | ^ {2} = langle x, x rangle}$ pro všechny ${ displaystyle x ve V}$.

Důkaz

Zde uvedeme pouze skutečný případ; důkaz pro složité vektorové prostory je analogický.

Podle výše uvedených vzorců, pokud je norma popsána vnitřním produktem (jak doufáme), pak musí vyhovovat

${ displaystyle langle x, y rangle = { frac {1} {4}} vlevo ( | x + y | ^ {2} - | x-y | ^ {2} vpravo)}$ pro všechny ${ displaystyle x, y ve V.}$

Musíme dokázat, že tento vzorec definuje vnitřní produkt, který indukuje normu ${ displaystyle | cdot |}$. To znamená, že musíme ukázat:

1. ${ displaystyle langle x, x rangle = | x | ^ {2}, quad x ve V}$
2. ${ displaystyle langle x, y rangle = langle y, x rangle, quad x, y ve V}$
3. ${ displaystyle langle x + z, y rangle = langle x, y rangle + langle z, y rangle quad}$ pro všechny ${ displaystyle x, y, z ve V,}$
4. ${ displaystyle langle alpha x, y rangle = alpha langle x, y rangle quad}$ pro všechny ${ displaystyle x, y ve V,}$ a všechno ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$

(Tato axiomatizace je vynechána pozitivita, což vyplývá z (1) a skutečnosti, že ||·|| je normou.)

U vlastností (1) a (2) jednoduše dosadíme: ${ displaystyle langle x, x rangle = { frac {1} {4}} vlevo ( | x + x | ^ {2} - | xx | ^ {2} vpravo) = | x | ^ {2}}$, a ${ displaystyle | x-y | ^ {2} = | y-x | ^ {2}}$.

U vlastnosti (3) je vhodné pracovat obráceně. Snažíme se to ukázat

${ displaystyle | x + z + y | ^ {2} - | x + zy | ^ {2} { přesahující {?} {=}} | x + y | ^ {2} - | xy | ^ {2} + | z + y | ^ {2} - | zy | ^ {2}}$

Ekvivalentně

${ displaystyle 2 ( | x + z + y | ^ {2} + | xy | ^ {2}) - 2 ( | x + zy | ^ {2} + | x + y | ^ {2}) { overset {?} {=}} 2 | z + y | ^ {2} -2 | zy | ^ {2}}$

Nyní použijeme identitu rovnoběžníku:

${ displaystyle 2 | x + z + y | ^ {2} +2 | xy | ^ {2} = | 2x + z | ^ {2} + | 2y + z | ^ { 2}}$

${ displaystyle 2 | x + zy | ^ {2} +2 | x + y | ^ {2} = | 2x + z | ^ {2} + | z-2y | ^ { 2}}$

Požadavek, který hledáme, je tedy

${ displaystyle { Cancel { | 2x + z | ^ {2}}} + | 2y + z | ^ {2} - ({ Cancel { | 2x + z | ^ {2}} } + | z-2y | ^ {2}) { overset {?} {=}} 2 | z + y | ^ {2} -2 | zy | ^ {2}}$

${ displaystyle | 2y + z | ^ {2} - | z-2y | ^ {2} { přesahující {?} {=}} 2 | z + y | ^ {2} -2 | zy | ^ {2}}$

Druhé tvrzení lze ale ověřit odečtením následujících dvou dalších aplikací identity rovnoběžníku:

${ displaystyle | 2y + z | ^ {2} + | z | ^ {2} = 2 | z + y | ^ {2} +2 | y | ^ {2}}$

${ displaystyle | z-2y | ^ {2} + | z | ^ {2} = 2 | z-y | ^ {2} +2 | y | ^ {2}}$

Tedy (3) platí.

Je jednoduché ověřit indukcí, že (3) implikuje (4), pokud se omezíme na α∈ℤ. Ale „(4) kdy α∈ℤ„implikuje“ (4), když α∈ℚ". A jakýkoli pozitivní-definitivní, skutečný, ℚ-bilineární forma splňuje Cauchy – Schwarzova nerovnost, aby ⟨·,·⟩ je spojitý. Tím pádem ⟨·,·⟩ musí být ℝ- také lineární.

Aplikace na tečkované výrobky

Vztah k kosinovému zákonu

Druhá forma polarizační identity může být zapsána jako

${ displaystyle | { textbf {u}} - { textbf {v}} | ^ {2} = | { textbf {u}} | ^ {2} + | { textbf {v }} | ^ {2} -2 ({ textbf {u}} cdot { textbf {v}}).}$

Toto je v podstatě vektorová forma zákon kosinů pro trojúhelník tvořené vektory ${ displaystyle { textbf {u}}}$, ${ displaystyle { textbf {v}}}$, a ${ displaystyle { textbf {u}} - { textbf {v}}}$. Zejména,

${ displaystyle { textbf {u}} cdot { textbf {v}} = | { textbf {u}} | , | { textbf {v}} | cos theta,}$

kde ${ displaystyle theta}$ je úhel mezi vektory ${ displaystyle { textbf {u}}}$ a ${ displaystyle { textbf {v}}}$.

Derivace

Základní vztah mezi normou a bodovým součinem je dán rovnicí

${ displaystyle | { textbf {v}} | ^ {2} = { textbf {v}} cdot { textbf {v}}.}$

Pak

${ displaystyle { begin {zarovnáno} | { textbf {u}} + { textbf {v}} | ^ {2} & = ({ textbf {u}} + { textbf {v}} ) cdot ({ textbf {u}} + { textbf {v}}) [3pt] & = ({ textbf {u}} cdot { textbf {u}}) + ({ textbf {u}} cdot { textbf {v}}) + ({ textbf {v}} cdot { textbf {u}}) + ({ textbf {v}} cdot { textbf {v} }) [3pt] & = | { textbf {u}} | ^ {2} + | { textbf {v}} | ^ {2} +2 ({ textbf {u}} cdot { textbf {v}}), end {zarovnáno}}}$

a podobně

${ displaystyle | { textbf {u}} - { textbf {v}} | ^ {2} = | { textbf {u}} | ^ {2} + | { textbf {v }} | ^ {2} -2 ({ textbf {u}} cdot { textbf {v}}).}$

Formy (1) a (2) polarizační identity nyní následují řešením těchto rovnic pro u · proti, zatímco forma (3) vyplývá z odečtení těchto dvou rovnic. (Sečtením těchto dvou rovnic získáte paralelogramový zákon.)

Zobecnění

Symetrické bilineární formy

Polarizační identity nejsou omezeny na vnitřní produkty. Li B je jakýkoli symetrická bilineární forma na vektorovém prostoru a Q je kvadratická forma definován

${ displaystyle Q (v) = B (v, v),}$

pak

${ Displaystyle { begin {zarovnáno} 2B (u, v) & = Q (u + v) -Q (u) -Q (v), 2B (u, v) & = Q (u) + Q (v) -Q (uv), 4B (u, v) & = Q (u + v) -Q (uv). end {zarovnáno}}}$

Takzvaný symetrizační mapa zevšeobecňuje druhý vzorec a nahrazuje jej Q homogenním polynomem stupně k definován Q(proti) = B(proti, ..., proti), kde B je symetrický k-lineární mapa.^[4]

Výše uvedené vzorce platí i v případě, že pole z skaláry má charakteristický dvě, ačkoli levé strany jsou v tomto případě nulové. V důsledku toho v charakteristice dva neexistuje žádný vzorec pro symetrickou bilineární formu, pokud jde o kvadratickou formu, a ve skutečnosti jde o odlišné pojmy, což má důležité důsledky L-teorie; pro stručnost jsou v této souvislosti „symetrické bilineární formy“ často označovány jako „symetrické formy“.

Tyto vzorce platí také pro bilineární formy na moduly přes komutativní prsten, ačkoli opět lze vyřešit pouze pro B(u, proti) pokud je 2 v kruhu invertibilní, a jinak se jedná o odlišné pojmy. Například přes celá čísla se rozlišuje integrální kvadratické tvary z integrálu symetrický formy, které jsou užším pojmem.

Obecněji, v přítomnosti prstencové involuce nebo tam, kde 2 není invertibilní, se rozlišuje ε-kvadratické tvary a ε-symetrické tvary; symetrická forma definuje kvadratickou formu a polarizační identita (bez faktoru 2) z kvadratické formy do symetrické formy se nazývá „mapa symetrie“ a obecně není izomorfismem. Historicky to byl jemný rozdíl: nad celými čísly nebyl vztah mezi „dvojčaty“ (integrálem) až do 50. let kvadratický forma) a „dvojice“ (integrál symetrický formě) - viz diskuse na integrální kvadratická forma; a v algebraizaci teorie chirurgie, Původně použil Mishchenko symetrický L-skupiny, spíše než správné kvadratický L-skupiny (jako ve Wall a Ranicki) - viz diskuse na L-teorie.

Homogenní polynomy vyššího stupně

A konečně, v kterémkoli z těchto kontextů lze tyto identity rozšířit na homogenní polynomy (to znamená, algebraické tvary ) libovolné stupeň, kde je znám jako polarizační vzorec, a je podrobněji přezkoumána v článku o polarizace algebraické formy.

Poznámky a odkazy