Skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny - Group algebra of a locally compact group
v funkční analýza a související oblasti matematika, skupinová algebra je libovolná z různých konstrukcí, které lze přiřadit a lokálně kompaktní skupina an operátorová algebra (nebo obecněji Banachova algebra ), takže reprezentace algebry souvisí s reprezentacemi skupiny. Jako takové jsou podobné skupinové vyzvánění přidružené k diskrétní skupině.
Algebra CC(G) nepřetržitých funkcí s kompaktní podporou
Li G je místně kompaktní skupina Hausdorff, G nese v podstatě jedinečnou spočítatelnou aditivní levou invariantu Borelův rozměr μ volal a Haarovo opatření. Pomocí Haarovy míry lze definovat a konvoluce provoz v prostoru CC(G) komplexních hodnot spojitých funkcí na G s kompaktní podpora; CC(G) pak může být uveden některý z různých normy a dokončení bude skupinová algebra.
Chcete-li definovat konvoluční operaci, nechte F a G být dvě funkce v CC(G). Pro t v G, definovat
Skutečnost, že F * G je spojitý je okamžitý z dominující věta o konvergenci. Taky
kde tečka znamená produkt v G. CC(G) má také přirozený involuce definován:
kde Δ je modulární funkce na G. S touto involucí je to *-algebra.
Teorém. S normou:
CC(G) se stává involutivním normovaná algebra s přibližná identita.
Přibližnou identitu lze indexovat na základě sousedství identity skládající se z kompaktních sad. Opravdu, pokud PROTI je kompaktní sousedství identity, pojďme FPROTI být nezápornou spojitou funkcí podporovanou v PROTI takhle
Pak {FPROTI}PROTI je přibližná identita. Skupinová algebra má identitu, na rozdíl od pouze přibližné identity, právě když je topologie skupiny diskrétní topologie.
U diskrétních skupin CC(G) je to samé jako komplexní skupinový kruh C[G].
Význam skupinové algebry je v tom, že zachycuje jednotkové zastoupení teorie G jak je znázorněno v následujícím textu
Teorém. Nechat G být lokálně kompaktní skupinou. Li U je silně spojité jednotné zastoupení G v Hilbertově prostoru H, pak
je nedegenerovaná ohraničená * reprezentace normované algebry CC(G). Mapa
je bijekce mezi množinou silně spojitých jednotných reprezentací G a nedegenerované ohraničené * reprezentace CC(G). Tato bijekce respektuje jednotnou rovnocennost a silné omezení. Zejména, πU je neredukovatelný právě tehdy U je neredukovatelný.
Nedegenerace zastoupení π z CC(G) na Hilbertově prostoru Hπ znamená, že
je hustá v Hπ.
Konvoluční algebra L1(G)
Je to standardní věta o teorie míry že dokončení CC(G) v L1(G) Norma je izomorfní s prostorem L1(G) tříd ekvivalence funkcí, které jsou integrovatelné s ohledem na Haarovo opatření, kde jsou jako obvykle dvě funkce považovány za rovnocenné právě tehdy, když se liší pouze na množině nula Haarovy míry.
Teorém. L1(G) je Banach * -algebra s výše popsaným konvolučním produktem a involucí as L1 norma. L1(G) má také omezenou přibližnou identitu.
Skupina C * -algebra C*(G)
Nechat C[G] být skupinové vyzvánění a diskrétní skupina G.
Pro lokálně kompaktní skupinu G, skupina C * -algebra C*(G) z G je definována jako C * obálka algebry L1(G), tj. dokončení CC(G) s ohledem na největší C * -norm:
kde π se pohybuje ve všech nedegenerovaných * reprezentacích CC(G) na Hilbertových prostorech. Když G je diskrétní, z trojúhelníkové nerovnosti vyplývá, že pro každou takovou π, jeden má:
proto je norma dobře definována.
Z definice vyplývá, že C*(G) má následující univerzální vlastnictví: jakýkoli * -homomorfismus z C[G] některým B(H) (C * -algebra z omezené operátory na některých Hilbertův prostor H) faktory prostřednictvím mapa zařazení:
Redukovaná skupina C * -algebra Cr*(G)
Redukovaná skupina C * -algebra Cr*(G) je dokončení CC(G) s ohledem na normu
kde
je L2 norma. Od dokončení CC(G) s pozdravem L2 normou je Hilbertův prostor, Cr* norma je norma omezeného operátora, na který působí L2(G) konvolucí s F a tedy C * -norm.
Ekvivalentně Cr*(G) je C * -algebra generovaná obrazem levé pravidelné reprezentace na ℓ2(G).
Obecně, Cr*(G) je podíl C*(G). Redukovaná skupina C * -algebra je izomorfní s neredukovanou skupinou C * -algebra definovanou výše právě tehdy, když G je přístupný.
von Neumannovy algebry sdružené do skupin
Skupina von Neumannova algebra W *(G) z G je obklopující von Neumannova algebra C*(G).
Pro diskrétní skupinu G, můžeme uvažovat o Hilbertův prostor ℓ2(G) pro který G je ortonormální základ. Od té doby G pracuje na ℓ2(G) permutací základních vektorů můžeme identifikovat kruh komplexní skupiny C[G] s subalgebrou algebry omezené operátory na ℓ2(G). Slabé uzavření této subalgebry, NG, je von Neumannova algebra.
Centrum města NG lze popsat z hlediska těchto prvků G jehož třída konjugace je konečný. Zejména pokud je prvek identity G je jediný prvek skupiny s touto vlastností (tj. G má nekonečná vlastnost třídy konjugace ), střed NG skládá se pouze ze složitých násobků identity.
NG je isomorfní s hyperfinitní typ II1 faktor kdyby a jen kdyby G je počitatelný, přístupný, a má nekonečnou vlastnost třídy konjugace.
Viz také
- Grafová algebra
- Výskyt algebry
- Hecke algebra lokálně kompaktní skupiny
- Path algebra
- Groupoidní algebra
- Stereotypní algebra
- Stereotypní skupinová algebra
- Hopfova algebra
Poznámky
Reference
- Lang, S. (2002). Algebra. Postgraduální texty z matematiky. Springer. ISBN 978-1-4613-0041-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Vinberg, E.B. (2003). Kurz algebry. Postgraduální studium matematiky. 56. doi:10,1090 / gsm / 056. ISBN 978-0-8218-3318-6.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Dixmier, J. (2003). C * -algebry. Severní Holandsko. ISBN 978-0444557476.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Kirillov, A.A. (1976). Základy teorie reprezentací. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Springer. ISBN 978-3-642-66243-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Loomis, L.H. (2011). Úvod do abstraktní harmonické analýzy. Dover knihy o matematice. Dover Publications. ISBN 978-0486481234.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- A.I. Shtern (2001) [1994], "Skupinová algebra lokálně kompaktní skupiny", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS Tento článek včlení materiál ze skupiny $ C ^ * $ - algebra na PlanetMath, který je licencován pod Creative Commons Attribution / Share-Alike License.