Nulová sada - Null set

v matematická analýza, a nulová sada ${displaystyle Nsubset mathbb {R}}$ je sada, která může být kryté podle a počitatelný svaz intervaly libovolně malé celkové délky. Představa nulové hodnoty teorie množin předpokládá vývoj Lebesgueovo opatření protože nulová množina nutně má změřit nulu. Obecněji řečeno změřte prostor ${displaystyle M = (X, Sigma, mu)}$ nulová množina je množina ${displaystyle Ssubset X}$ takhle ${displaystyle mu (S) = 0}$ .

Příklad

Každá spočetná podmnožina reálných čísel (tj. Konečná nebo spočetně nekonečná) má hodnotu null. Například sada přirozených čísel je spočítatelná mohutnost ${displaystyle aleph _ {0}}$ (aleph-zero nebo aleph-null ), je null. Dalším příkladem je sada racionálních čísel, která jsou také spočítatelná, a tedy nulová.

Existuje však několik nespočetných sad, například Cantor set, které jsou nulové.

Definice

Předpokládat ${displaystyle A}$ je podmnožinou souboru skutečná linie ${displaystyle mathbb {R}}$ takhle

{displaystyle forall varepsilon> 0 existuje left {U_ {n} ight} _ {n}, U_ {n} = (a_ {n}, b_ {n}) podmnožina mathbb {R}: quad Asubset igcup _ {n = 1 } ^ {infty} U_ {n} součet půdy _ {n = 1} ^ {infty} vlevo | U_ {n} ight |

Kde $U n$ jsou intervaly a $| U |$ je délka $U$ , pak $A$ je nulová množina,^[1] také známý jako sada nulového obsahu.

V terminologii matematická analýza, tato definice vyžaduje, aby existovala a sekvence z otevřené kryty z $A$ pro které omezit délek krytů je nula.

Nulové sady zahrnují všechny konečné množiny, Všechno spočítatelné sady, a dokonce i některé nespočet sady jako Cantor set.

Vlastnosti

The prázdná sada je vždy nulová množina. Obecněji libovolné počitatelný svaz null sets is null. Jakákoli měřitelná podmnožina nulové množiny je sama nulovou množinou. Tato fakta společně ukazují, že m- nulové sady X formulář a sigma-ideální na X. Podobně měřitelné m- nulové množiny tvoří sigma-ideál sigma-algebra měřitelných množin. Sady null lze tedy interpretovat jako zanedbatelné sady, definující pojem téměř všude.

Lebesgueovo opatření

The Lebesgueovo opatření je standardní způsob přiřazení a délka, plocha nebo objem do podskupin Euklidovský prostor.

Podmnožina N z ${displaystyle mathbb {R}}$ má nulovou Lebesgueovu míru a je považována za nulovou množinu ${displaystyle mathbb {R}}$ právě když:

Vzhledem k jakékoli kladné číslo ε, tady je A sekvence {Já_n} z intervaly v

{displaystyle mathbb {R}}

takhle N je obsažen ve spojení {Já_n} a celková délka spojení je menší než ε.

Tuto podmínku lze zobecnit na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , použitím n-kostky místo intervalů. Ve skutečnosti může být myšlenka vytvořena tak, aby dávala smysl každému Riemannovo potrubí, i když tam není žádné Lebesgueovo opatření.

Například:

S ohledem na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ , Všechno 1bodové sady jsou neplatné, a tedy všechny spočítatelné sady jsou neplatné. Zejména sada Q z racionální čísla je nulová množina, přestože je hustý v ${displaystyle mathbb {R}}$ .
Standardní konstrukce Cantor set je příkladem null nespočetná sada v ${displaystyle mathbb {R}}$ ; jsou však možné i jiné konstrukce, které Cantorově sadě přiřadí libovolné měřítko.
Všechny podskupiny ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ jehož dimenze je menší než n mít nulovou Lebesgueovu míru v ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ . Například rovné čáry nebo kruhy jsou nulové sady ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ .
Sardovo lemma: soubor kritické hodnoty hladké funkce má míru nula.

Pokud λ je Lebesgueova míra pro ${displaystyle mathbb {R}}$ a π je Lebesgueova míra pro ${displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$ , pak míra produktu ${displaystyle lambda imes lambda = pi}$ . Pokud jde o nulové množiny, následující ekvivalence byla označena a Fubiniho věta:^[2]

Pro ${displaystyle Asubset mathbb {R} ^ {2}}$ a ${displaystyle A_ {x} = {y: (x, y) v A},}$
${displaystyle (pi (A) = 0) equiv lambda left (left {x: lambda left (A_ {x} ight)> 0ight} ight) = 0.}$

Použití

Null sady hrají klíčovou roli v definici Lebesgueův integrál: pokud funkce F a G jsou tedy stejné, kromě nulové množiny F je integrovatelný právě tehdy G je a jejich integrály jsou stejné.

Míra, ve které jsou měřitelné všechny podmnožiny nulových množin, je kompletní. Lze dokončit libovolnou neúplnou míru tak, aby tvořila úplnou míru, tvrdením, že podmnožiny nulových sad mají míru nula. Lebesgueovo opatření je příkladem úplného opatření; v některých konstrukcích je definována jako dokončení nedokončeného Borelův rozměr.

Podmnožina sady Cantor, která není Borel měřitelná

Opatření Borel není úplné. Jedna jednoduchá konstrukce je začít se standardem Cantor set K., který je uzavřený, proto je Borel měřitelný, a který má míru nula, a najít podmnožinu F z K. což není Borel měřitelné. (Protože opatření Lebesgue je úplné, toto F je samozřejmě Lebesgue měřitelný.)

Nejprve musíme vědět, že každá sada kladných měr obsahuje neměřitelnou podmnožinu. Nechat F být Funkce Cantor, spojitá funkce, která je lokálně konstantní K.^Ca monotónně se zvyšuje na [0, 1], s F(0) = 0 a F(1) = 1. Je zřejmé, že F(K.^C) je počítatelný, protože obsahuje jeden bod za každou složku K.^C. Proto F(K.^C) má míru nula, takže F(K.) má opatření jedna. Potřebujeme přísně monotónní funkce, tak zvažte G(X) = F(X) + X. Od té doby G(X) je přísně monotónní a spojitý, je to a homeomorfismus. Dále G(K.) má opatření jedna. Nechat E ⊂ G(K.) být neměřitelné a nechat F = G⁻¹(E). Protože G je injekční, máme to F ⊂ K.a tak F je nulová množina. Pokud to však bylo Borel měřitelné, pak G(F) by byl také Borel měřitelný (zde používáme skutečnost, že preimage borelova množina spojitou funkcí je měřitelná; G(F) = (G⁻¹)⁻¹(F) je předobrazem F prostřednictvím nepřetržité funkce h = G⁻¹.) Proto F je nulová, ale ne-borelova měřitelná množina.

Haar null

V oddělitelný Banachův prostor (X, +), operace skupiny přesune libovolnou podmnožinu A ⊂ X k překladačům A + X pro všechny X ∈ X. Když existuje míra pravděpodobnosti μ na σ-algebře Podmnožiny Borel z X, tak, že pro všechny X, μ (A + X) = 0, tedy A je Haarova nulová sada.^[3]

Termín odkazuje na nulovou invariantnost měr překladačů a spojuje ji s úplnou invariancí nalezenou u Haarovo opatření.

Některé algebraické vlastnosti topologické skupiny souvisí s velikostí podmnožin a nulových sad Haar.^[4]Haarovy nulové sady byly použity v Polské skupiny ukázat, že když A není hubená sada pak A⁻¹A obsahuje otevřené sousedství prvek identity.^[5] Tato vlastnost je pojmenována pro Hugo Steinhaus protože se jedná o závěr Steinhausova věta.

Viz také

Reference

^ Franks, John (2009). (Stručný) Úvod do integrace Lebesgue. Matematická knihovna studenta. 48. Americká matematická společnost. p. 28. doi:10.1090 / stml / 048. ISBN 978-0-8218-4862-3.
^ van Douwen, Eric K. (1989). "Fubiniho věta pro nulové množiny". Americký matematický měsíčník. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. PAN 1019152.
^ Matoušková, Eva (1997). "Konvexita a Haarovy nulové sady" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090 / S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.
^ Solecki, S. (2005). Msgstr "Velikosti podmnožin skupin a nulových sad Haar". Geometrická a funkční analýza. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007 / s00039-005-0505-z. PAN 2140632.
^ Dodos, Pandelis (2009). "Vlastnost Steinhaus a sady Haar-null". Bulletin of London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112 / blms / bdp014. PAN 4296513.

Další čtení

Capinski, Marek; Kopp, Ekkehard (2005). Míra, integrál a pravděpodobnost. Springer. p. 16. ISBN 978-1-85233-781-0.
Jones, Frank (1993). Integrace Lebesgue na euklidovských prostorech. Jones & Bartlett. p. 107. ISBN 978-0-86720-203-8.
Oxtoby, John C. (1971). Měření a kategorie. Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-05349-3.

[1] Franks, John (2009). (Stručný) Úvod do integrace Lebesgue. Matematická knihovna studenta. 48. Americká matematická společnost. p. 28. doi:10.1090 / stml / 048. ISBN 978-0-8218-4862-3.

[2] van Douwen, Eric K. (1989). "Fubiniho věta pro nulové množiny". Americký matematický měsíčník. 96 (8): 718–21. doi:10.1080/00029890.1989.11972270. JSTOR 2324722. PAN 1019152.

[3] Matoušková, Eva (1997). "Konvexita a Haarovy nulové sady" (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 125 (6): 1793–1799. doi:10.1090 / S0002-9939-97-03776-3. JSTOR 2162223.

[4] Solecki, S. (2005). Msgstr "Velikosti podmnožin skupin a nulových sad Haar". Geometrická a funkční analýza. 15: 246–73. CiteSeerX 10.1.1.133.7074. doi:10.1007 / s00039-005-0505-z. PAN 2140632.

[5] Dodos, Pandelis (2009). "Vlastnost Steinhaus a sady Haar-null". Bulletin of London Mathematical Society. 41 (2): 377–44. arXiv:1006.2675. Bibcode:2010arXiv1006.2675D. doi:10.1112 / blms / bdp014. PAN 4296513.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]